【正文】 n n n n n n n ni j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i ju u u u u u u u ucc hh??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? (222) 令 h??? 得 5 ? ?1 2 2 2 2 2 2 1112 2 0n n n n nj j j j j j j ju c u c u c u u? ? ?????? ? ? ? ? ? (223) 1 , , 1 2 , ,j J n N? ? ? (22)離散為如下 ? ? ? ?100 , 0 , 2 , ,nn nnJuuc f t u n Nh? ? ? ? (224) (23)離散為 100 0 , 0 , 0 , ,jjj uuu j J??? ? ? （ 225） 可以看出， (222)式逼近 (21)式的截斷誤差為 ? ?22h???。 考慮到上述截斷誤差的不匹配，為提高 (22)式及 (23)式的離散精度，可以用兩個虛擬的函數(shù)值? ? ? ?11, , ,nju x t u x t??來處理，注意到 ? ? ? ? ? ? ? ?11 2,0, 2nnn u x t u x tu thxh ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?11 2,0 2jjj u x t u x tu xx ?? ??? ? ? ?? 這樣就得到了 (32)式的另一個逼近 ? ?? ?11 2 0 nnn hf tuu c??? (226) 及 (33)式的另一個逼近 110jjuu??? (227)此兩式中出現(xiàn)的 1 1, njuu? ? 必須設法消去。 在這里為了考慮到計算量的問題，我們選用 (223)式， (224)式和 (229)式計算正問題。 01NftftcTcft?????? ??????，則121JUUXU ??????????????，39。 可得方程為 AX T? (230) 所以求 (21)、 (22)及 (23)的的離散后就轉化為求解 (230)。 數(shù)值算例 電磁波 正演模擬 8 算例 1. 混 凝 土 中 含 有 圓 形 空 洞 模型 ， 反 演 區(qū) 域 ? ? ? ， 空 間 步 長0 .2 5 c mx y l? ? ? ? ? ?，時間 t=12ns ，時間步長 59 ps2lt c?? ? ? ，采用雷克子波作為激勵源，其中心頻率 900MHzf ? ， 混凝土結構示意圖見圖 1， 縱向剖分 260 個節(jié)點，橫向剖分 1000 個節(jié) 點；GPR 剖面圖見圖 2，時間采樣 2036 個，道數(shù) 115 道。 圖 3. 混凝土含 鋼筋 結構示意圖 圖 4. 混凝土 GPR 剖面圖 10 算例 3. 混凝土中含有小圓形鋼筋模型 ，混凝土結構示意圖見圖 5， GPR 剖面圖見圖 6。 圖 7. 混凝土中含有上層小圓形鋼筋模型，下層小圓形空洞 圖 8. 混凝土 GPR 剖面圖 12 算例 5. 混凝土中含有上層小圓形空洞 ， 下層小圓形鋼筋， 混凝土結構示意圖見圖 9， GPR 剖面圖見圖10。 圖 11. 混凝土中含有 兩個豎向裂 縫 圖 12. 混凝土含 有兩個豎向裂縫 GPR 剖面圖 14 算例 7. 混凝土中含有兩個橫向裂縫， 混凝土結構示意圖見圖 13， GPR 剖面圖見圖 14。 圖 15. 混凝土中含有 兩排小圓形鋼筋 圖 16. 混凝土含 有兩排小圓形鋼筋 GPR 剖面圖 16 算例 9. 混凝土中含有兩排大圓形鋼筋， 混凝土結構示意圖見圖 17， GPR 剖面圖見圖 18。 圖 19. 混凝土中含有 四排橫向長鋼筋 圖 20. 混凝土含 有 四排橫向長鋼筋 GPR 剖面圖 18 算例 11. 混凝土中含有四排橫向短鋼筋， 混凝土結構示意圖見圖 21， GPR 剖面圖見圖 22。 圖 23. 混凝土中含有 四列縱向短鋼筋 圖 24. 混凝土含 有四列縱向短鋼筋 GPR 剖面圖 20 聲 波正演模擬 算例 13. 混凝土中含有圓形空洞 模型 ，反演區(qū)域 ? ? ? ，空間步長0 . 2 5 c mx y l? ? ? ? ? ?，時間 t=12ms ，時間步長 0 .0 0 5 9 m s2lt c?? ? ? ，采用雷克子波作為激勵源，其中心頻率 30Hzf ? 。 圖 25. 混凝土含空洞結構示意圖 圖 26. 混凝土含 有四列縱向短鋼筋 聲波反射 剖面圖 21 算例 14. 混凝土中含有小圓形鋼筋大圓形空洞模型 ，混凝土結構示意圖見圖 27， 聲波反射 剖面圖見圖28。 圖 29. 混凝土 結構示意圖 圖 30. 混凝土含 聲波反射 剖面圖 23 算例 17. 混凝土中含有縱向裂縫模型 ，混凝土結構示意圖見圖 31， 聲波反射 剖面圖見圖 32。 圖 33. 混凝土 結構示意圖 圖 34. 混凝土含 聲波反射 剖面圖 25 小結 本節(jié)給出了電磁波及聲波在混凝土介質中傳播的數(shù)學模型，數(shù)值算例中所給出的模型基本上都是含有空洞、鋼筋或二者共存的情況，通過 數(shù) 值算例中 給出的剖面圖 ， 我們認為 電磁波及聲波 無損檢測基本能夠 識別鋼筋、裂縫這樣的目標體，并且對目標體 的形狀和大小比較敏感， 可以通過這樣的剖面圖 的圖像特征 來確定混凝土內部的結構。 圖 1. 模擬 信號在時間域分布圖 圖 2. 模擬 信號在頻率域分布圖 （未去噪 ） 27 圖 3. 模擬 信號在頻率域分布圖 （去噪 ） 在信號處理中，第一步就是將時間信號轉化為頻率信號，通過 FFT把信號的頻率域的特征讀取出來，具體地說就是經過如下離散傅里葉變換： 1010( ) ( ) e xp( ( 2 / ) )1( ) ( ) e xp( ( 2 / ) )NppnNppnX k x n j N nkx n X k j N nkN??????? ?????? ????? 這里 ( ), ( )ppX k x n 分別表示信號的離散頻率函數(shù)和連續(xù)時間函數(shù)， ,Nkn 分別表示采樣數(shù)和采樣點頻率域和時間域序號。 一維 Hilbert變換 在混凝土檢測 技術中，瞬時相位譜是一個非常重要的手段，我們在本項目中將其實現(xiàn)，主要是通過所謂的 Hilbert變換技術，將離散信號轉化為解析信號，這樣就會得到原始信號的瞬時相位譜信息。 其實， Hilbert 變換還有如下特性：（ 1）幅頻特征是全通性的；（ 2）相頻特征是負九十度。 連續(xù)小波變換 小波就是函數(shù)空間 ? ?2LR中滿足下述條件的一個函數(shù)或者信號 ??x? ： ? ? ???? R dC 2)(? ??0??? RR 表示非零實數(shù)全體。對于任意的實數(shù)對 ),( ba ，其中，參數(shù) a 必須為非零實數(shù)，稱如下形式的函數(shù) )(1)(),( a bxaxba ?? ?? 為由小波母函數(shù) ??x? 生成的依賴于參數(shù) ),( ba 的連續(xù)小波函數(shù)，簡稱為小波。 對于任意一個函數(shù)，它的連續(xù)小波變換的定義為 : 29 ?),( baWf dxxxf ba )()( ,??????= 21?a dxa bxxf )()( ??????? 其逆變換為 : 1)( ?? ?Cxf ? ??? ??????0 2)(),(1 dadba bxbaWa f ? 正交多分辨分析 多分辨分析定義： 若下列條件成立，則 ? ?2LR中的一串閉子空間列 ? ?j jZV ? 稱為依尺度函數(shù) ? 的多分辨分析： 1. （嵌套性） 1jjVV?? 2. （稠密性） ? ?2jV L R? 3. （分立性） ??0jV ? 4. （尺度性） ? ? ? ? 02 jjf V f V? ? ? ? ? 5. （平移性） ? ? ? ?00f V f k V? ? ? ?? ? 6. （標準正交基）函數(shù) 0V?? ，且 ? ?? ?,k k Z? ?? ? 是 0V 的標準正交基。由定義不難看出： (1) 對 ,j k Z?? ，函數(shù)族 ? ? ? ?2, 22j jjk x x k??? ?????????是子空間 jV 的一個標準正交基， 2j 被稱為尺度參數(shù)。 (2) 若 jP 是 ? ?2LR到子空間 jV 的正交投影算子，則對 ? ? ? ?2f x L R?? ，有 ? ? ? ?limjj P f x f x??? ? 正交小波的尺度方程和構造方程 對 ???j ，定義如下的子空間 jW ： jjjjj VWVVW ??? ?1, 容易驗證，子空間序列 }。 因此，根據(jù)（ 2）可知，為了得到空間 )(2 RL 的標準正交基，只需構造每一個子空間 jW 的標準正交基；再由（ 3）得到，這只需構造 0W 的標準正交基就足夠了。({ zkkx ??? 是 0W 的標準正交基。2(2{ ??? nnx? ,所以，必存在唯一的系數(shù)序列)(}。所以有 ??? ?? )2(2)( 21, kxx jkj ?? ? ??n njkn xh )(,12 ? 即 kjnj ,1 ,?? ? = knh2? 另一方面，待構造的小波函數(shù) 1)( VWx o ??? ，應該存在序列 }。所以有 ?)(, xkj? ???? )2(2 21 kxj? 212? ? ????njn nkxg )22(2 121 ? =???n nkjn xg )(2,1?=???n njkn xg )(,12 ? 即 knkjnj g 2,1 , ?? ??? ?? 。雖然高頻部分隨著分解級別的降低逐漸顯現(xiàn)，但是，我們還是能夠看出，這些高頻部分的信號振幅是急劇降低的，這樣從另一個側面也能說明，小 波分析也能夠將各個頻率段的信號的能量分離開，這一特性對于混凝土 的無損檢測有著重要的作用。通過 ??st 及??Hst可以求得 ? ? ? ? ? ?22Ha t s t s t?? （ 31） ? ?? ?? ?1 90Hstt tg st? ?? ???????? (32) ? ?? ?? ?1 Hstdt tgdt s t? ? ??? ???? (33) 其 中 ??at ， ??t? ， ??t? 分別為 ??st 的瞬時振幅、瞬時相位、瞬時頻率。瞬時相位波形反映地下介質相位的變化，地下介質電磁性差異常引起相位的變化，因此利用它可推測地下介質的連續(xù)性。瞬時頻率波形也反映了地下介質性質的變化，利用它可推測地下介質的形狀及性質。 34 圖 10 二維小波分解示意圖 Mallat 算法通過一組分解濾波器 H（低通濾波器 LPF）和 G（高通濾波器 HPF）對信號進行濾波，然后對輸出結果進行下二采樣（指隔一取一）來實現(xiàn)小波分解，分解的結果是產生長度減半的兩個部分，一個是經低通濾波器產生 的原始信號的平滑部分，另一個則是經高通濾波器產生的原始信號細節(jié)部分。多級小波分解通過級聯(lián)的方式進行，每一級的小波變換都是在前一級分解產生的低頻分量上的繼續(xù)，重構是分解的逆運算。 圖 剖面圖 LL )(0 nH )(0 nG 21? 21? )(0 nH )(0 nG )(0 nG )(0 nH 12? 12? 12? 12? 1LL 1HH 21? 12? 表 示每兩行中