【正文】 ,i~) is the Green tensor of the system that includes the dielectric body. When the diele。s stress tensor (as opposed to Minkowski39。)), from which the (slowly varying part of the) Lorentz force density follows as Where the limit r39。)) and (t(r,w)B(r39。)), (l(r,w)Bt(r39。)), (t(r,w),E(r39。)), where the angle brackets denote classical and/or quanturn averaging, is sufficient to C0111pute the correlation functions (e(r,w)Et(r39。39。7(r) inside a space region of volume VriI. When the mutual interaction of the atoms can be disregarded, it is permissible to simply add up the CP forces on the individual atoms to obtain the force acting on the collection of atoms due to their interaction with the bodies outside the volume Vm, Le. Since the collection of atoms can be regarded as constituting a weakly dielectric body of susceptibility XNI(r, i~), Eq. (8) gives the Casimir force acting on such a body. Note that special cases of this formula were already used by Lifshitz [7] in the study of Casimir forces between dielectric plates. The question is how Eq. (8) can be generalized to an arbitrary groundstate body whose susceptibility XrvI (r,i~) is not necessarily small. An answer to this and related questions can be given by means of the Lorentzforce approach to dispersion forces, as developed in Refs. [8,9]. 2. Lorentz Force Let us consider macroscopic QED in a linearly, locally and causally responding medium with given (plex) permittivity c( r, w) and perrneability p( r, w). Then, if the current density that enters the macroscopic Maxwell equations is the sourcequantity representations of the electric and induction fields read as 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 23 頁 where the retarded Green tensor G(r,r39。,w) is the scattering part of the Green tensor. Hence, ? ? ? ?,AraAaa rUrUE ?? ? (2) ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? b baAASabababAora dirrGddcrU 0 22 220 ,1 ??? ????? (3) ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? b baabAASabababAra drrGdcrU ???? ,Re1 220 (4) where Ua(rA) has been deposed into an offresonant part U~f(rA) and a resonant part U~(rA), by taking into account the analytic properties of the Green tensor as a function of plex w, and considering explicitly the singularities excluded by the principalval ne integration in Eq. (1). Let us restrict our attention to groundstate at0111S. (Forces on excited atoms lead to dynamical problems in general [2]). In this case, there are of course no resonant contributions, as only upward transitions are possible [Wab 0 in Eq. (4)]. Thus, on identifying the (isotropic) groundstate polarizability of an atom as we may write the CP potential of a groundstate atom in the form of (see, . Refs. [16]) from which the force acting on the at0111 follows as 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 22 頁 ? ? ? ?AAF r U r? ?? (7) Now consider, instead of the force on a single groundstate atom, the force on a collection of groundstate at0111S distributed with a (coarsegrained) nUInber density 39。 Wba==WbWa), where G(r,r39。 a strictly nonprobabilistic regime simply does not exist. Similarly, polarization and magization of any material object are fluctuating quantities in quantum mechanics. As a result, the interaction of the fluctuating electromagic vacuum with the fluctuating polarization and magization of material objects in the ground state can give rise to nonvanishing Lorentz forces。 感謝我的同學(xué)和朋友，在我寫論文的過程中給予我了很多有用的素材，還在論文的撰寫和排版等過程中提供熱情的幫助。在此向幫助和指導(dǎo)過我的各位老師表示最衷心的感謝！ 感謝這篇論文所涉及到的各位學(xué)者。同時(shí)我也深刻的認(rèn)識(shí)到，在對待一個(gè)新事物時(shí)，一定要從整體考慮，完成一步之后再作下一步，這樣才能更加有效。在整個(gè) 論文寫作 過程中，出現(xiàn)過很多的難題，但都在老師和同學(xué)的幫助下順利解決了，在不斷的學(xué)習(xí)過程中我體會(huì)到：寫論文是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)的過程，從最初剛寫論文時(shí)對范德瓦爾斯力的產(chǎn)生機(jī)理的模糊認(rèn)識(shí)到最后能夠?qū)?該問題有深刻的認(rèn)識(shí)，我體會(huì)到 自我探究 對于學(xué)習(xí)的重要性，以前只是明白理論，沒有經(jīng)過 自我探究 ，對知識(shí)的理解不夠明確，通過這次 論文寫作 ，真正做到 知識(shí)融會(huì)貫通 。 這樣就表 明 ： 低維 Van der Waals 色散作用與漲落相對取向有著密切關(guān)系 ，并且得出 低維情形下出現(xiàn)排斥性 Van der Waals 作用的條件。 同理 ， 由圖 形式 (B)，形式 (C)可得橫向及混合型二維色散作用能 ： ? ? ? ????????? 041 26 ???RRU b ； ? ? ? ????????? 01671 26 ???RRU c (式 ) ::1:: ?cba UUU (式 ) 因此 ， 如果只考慮縱向情形 ， 則一維 ， 二維和三維色散作用能之比為 4∶ 5∶ 6；若僅考慮橫向 情形 ， 則其比值為 1∶ 2∶ 6， 即此時(shí)三維情形的 6 倍而不是 倍 。 如圖 所示 ， 這時(shí)有三種互不等價(jià)的情形 。 此外還發(fā)現(xiàn) ， 如果圖 形式 (B)中偶極矩 p? 成為常偶極矩 (例如對于中性激發(fā)態(tài)西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 15 頁 原子 )， 則會(huì)得到排斥性的相互作用能 ： ? ? 3024 RpRU ???? （國際單位制） 注意此時(shí)相互作用能是與 R 的三次方成反比的 。另一方面 ， 在遠(yuǎn)距離極限下 ， ()式中的指數(shù)因子表明低頻貢獻(xiàn)居主要地位 ， 極化率可以取靜態(tài)情形 ， 即 ： ? ? ? ?0??? ?i ； 這時(shí) ， 完成 ()式的積分 ， 得到 ： ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ????027262 02 54/1202 ??????? ? R cedRcRRU ?? (式 ) 這就是縱向情形的一維 Casimir 色散作用能 。 首先 ， ()式必須修正為 ： ? ? ? ? ? ? ? ?11021 , zdRDzE R ??? ? (式 ) 式中 ， ??RD0 為延遲 Green 函數(shù) ： ? ? ? ? ?????? ?????? ?? 2/0 12 cRiReD RciR ??。 即使對于圖 3(A)的情形 ， 也還存在著遠(yuǎn)程的延遲性低維 Van der Waals 色散作用能問題 。 圖 一維色散作用能示意圖 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 14 頁 同樣也可以得到 形式 (B)，形式 (C)兩種情形的如下結(jié)果： ? ? ? ?62 08 RRU b ????? ； ? ? ? ?62 0165 RRU c ????? (式 ) 分別稱為橫向及混合型一維色散作用能 。 必須指出一維色散作用不只一種形式 。 低維色散作用能的計(jì)算 為了方便對比 ， 設(shè)對稱性條件 ()仍然成立 ， 兩體系極化率及躍遷頻率均相同 。 為簡單計(jì) ， 設(shè)對于兩原子都僅有一種躍遷且頻率分別表示為 1? ， 2? ， 即得著名的 London 公式： ? ? ? ? ? ?6 2121 21 0023 RRU ???? ?? ??? ? (式 ) 其中 ， 用到了關(guān)于 ???? 的一個(gè)重要的且與它的積分相聯(lián)系的關(guān)系式 [24]： ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ?0 210 21Im ?????????? diid (式 ) 如果與文獻(xiàn) [25]的結(jié)果比較 ， 即可知那里的極化率 ? 實(shí)際上是靜態(tài)情形 ??0? ， 而其定義的 “ 彈性系數(shù) ” k 與頻率的關(guān)系為 fmk /2?? 。 由零溫時(shí)的漲落 耗散定理 [22]： ? ???? Im2 ??zd (式 ) 和基態(tài)原子極化率公式 [23]： 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 13 頁 ? ? ? ?? ?? ?? nnnm fe 22002 ???? (式 ) nf0 為態(tài)躍遷的振子強(qiáng)度 。 為抓住物理實(shí)質(zhì) ， 考慮兩個(gè)瞬時(shí)偶極矩滿足下述對稱性條件的中性體系 ： ? ? 2222, zyx dddnd ????? (式 ) 設(shè)體系 1 自發(fā)產(chǎn)生偶極矩為 ? ??,11 rd ?? ， 形成的電場譜分量為： ? ? ? ? ???????? ????? RRnrrRR dndnrE ??????????? ,3, 123 1121 ? (式 ) 該場在體系 2 產(chǎn)生一誘導(dǎo)偶極矩 ： ? ? ? ? ? ????? ., 2122 rErd i ???? ? (式 ) ???? 為極化率 。因此，宏觀響應(yīng)理論不僅數(shù)學(xué)形式簡單，而且適用性很廣，對于任