【正文】 2,....,2,1。, ?????????? .現(xiàn)在考慮 stj? 的貢獻(xiàn)從每個(gè) jD 中 1?v 列 .第一貢獻(xiàn)列可以看做為jtjsdd 11 ,?.現(xiàn)在，根據(jù)（ 2）式，列 1,......,3,2 ?v中第 s 個(gè)元素和第 t 個(gè)元素也對(duì)應(yīng)一在第一列中的元素 .因此，從 )1( ?h l 列中的第 s 個(gè)元素和第 t 個(gè)元素對(duì) stj? 的貢獻(xiàn)是來自第一列中的對(duì) jpd1 和 jqd1 ， ),(),( tsqp ? ，即滿足 (a) thqshp ???? , 或者 (b) tvhqsvhp ???????? )1()(,)1()( ,此時(shí) hqhp ?? , 都是大于 1?v 的，或者 (c) svhqthp ?????? )1()(, ,此時(shí) hq? 大于 1?v .(a)和 (b)都表示)()( stpq ??? ， (c)表示2,....,2,1。2,....,2,1。否則為 0. 證明：對(duì)于環(huán)狀的施工方法，它可以驗(yàn)證： 南通大學(xué)畢業(yè)論文 12 jqhqjhjphpjh dd dd1,11,1 ?????? ， （ 2） 此 時(shí) ， 如 果 1??? vhu ， 那 么 它 將 被 替 換 為 )1( ??? vhu ，mjvppqvpvhpqu ,....,2,1。( mjvkvvD j ?? 1, . . . . . . . ,2,1。( ?vkvvD 由 k 個(gè) 1循環(huán)設(shè)計(jì)按列并置得到，可以看出，如果常數(shù) st? 對(duì)其每個(gè) k 個(gè) 1循環(huán)組設(shè)計(jì)是穩(wěn)定的，那么 )1,。, . . . . . ,1。( ?vkvvD 表示 .這 kv/ 個(gè)初始區(qū)組 用 kv/,......,3,2,1 標(biāo)號(hào) .在 v 級(jí) 處理組合中，假設(shè)所有初始區(qū)組是用同樣的方法構(gòu)造，則 v 可劃分為 kv/ 組 .假設(shè) id 表示 D 的第 i 列， 1,......,2,1 ?? vi .一般的二水平因子的表示符號(hào)為 E( 2S )， Fang et al.(2020)[15]引用 E( NODf )符號(hào)，定義如下： ???????? 11)2)(1(2)(vjiijN O DN O D fvvfE 此時(shí)， 21, 20 ))((?? ??vqpijpqijN O Dkvvvf， 并且在 D 的 2?v 子矩陣組成的 id 和 jd 列中， ijpqv 是對(duì) (p,q)的頻數(shù) .在 Fang et al.(2020)[15]中證明了下面的結(jié)論： 221)(, 2)()1(2)2)(1(λ)(kv vkv vvv vvvfEvtsts stN O D ???????? ? ?? 222)()1(2)1()2)(1( )1( kv vkv vvv vkv vvv vv ???????? ??， （ 1） 其中 st? 是 D 中 s 行和 t 行之間的任意數(shù) .如果滿足下界 (1)，那么這個(gè)設(shè)計(jì) )( NODfE 是最優(yōu)化 .下 界 被 滿 足 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 對(duì) 于 D 中 所 有 的 行 對(duì) st? 是 一 個(gè) 實(shí) 數(shù) ， 此 時(shí) 等 價(jià) 于南通大學(xué)畢業(yè)論文 11 )}1({))(1( ??? vkvkvvv .對(duì)于多水平超飽和設(shè)計(jì)的其他一些最優(yōu)化符號(hào)參見文獻(xiàn)中的，如在 Xu 和 Wu(2020)[7].然而，對(duì)于多水平實(shí)驗(yàn)關(guān)于具有相同數(shù)量水平的因子，它們中的大多數(shù)與符號(hào) )( NODfE 是等價(jià) .在下文中，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)，即是指通過 )( NODfE 最優(yōu)化 k循環(huán)超飽和設(shè)計(jì) D[11]. 2 構(gòu)造方法的解釋 ?k 循環(huán)設(shè)計(jì)的構(gòu)造是基于循環(huán)法，循環(huán)法是由 Plackett 和 Burman(1946)[5]提出的 .這個(gè)方法中的設(shè)計(jì)利用了生成列的循環(huán)，可以是一個(gè)大小為 v 的行向量或者一個(gè)大小為 1?v的列向量 .此 )1( ??vv 的設(shè)計(jì)是首次基于循環(huán)法構(gòu)造的，后來，對(duì)應(yīng)于第 v 行處理組合的最后一行是被添 加到里面的 .在第 v 行處理組合中，所有的因素產(chǎn)生于同一水平 .對(duì)于 k循環(huán)設(shè)計(jì)，生成列可以是一個(gè)大小為 )1(1 ??? vkv 的行向量或者每個(gè)大小 1?v 的 k 列向量 .Liu和 Dean(2020)[7]通過一個(gè)單個(gè)生成列構(gòu)造了 k循環(huán)設(shè)計(jì) .根據(jù)這些列，使用循環(huán)方法，每個(gè)k 個(gè)生成列產(chǎn)生一個(gè)有 1?v 個(gè)因子的 1循環(huán)設(shè)計(jì) .具有 )1(1 ??? vkv 因子的 k循環(huán)設(shè)計(jì)是通過列并置這 k 個(gè) 1循環(huán)設(shè)計(jì)得到的 .顯然， k循環(huán)設(shè)計(jì)的性質(zhì)是由這 k 個(gè) 1循環(huán)設(shè)計(jì)的性質(zhì)決定的 .因此，為了從這些 k循環(huán)設(shè)計(jì)中得到最優(yōu)設(shè)計(jì)，我們是通過列并置 k 個(gè)生成列計(jì)而不是并置單個(gè)生成列 .如前所訴，如果 st? 對(duì)于它的所有生成列是常數(shù)，那么此 1循環(huán)設(shè)計(jì)是最佳的 .令 )1,。239。, ii pp )γ,...,2,1( ?i 分別是 21,DD 的平行類 .若存在XX?:? 的一個(gè)雙射 ,并且滿足 ??ΒΒβ1 和 },...,{},...,{ 39。239。 而 RBIBDv ?)1,5,( 的存在性問題在國內(nèi)外多位學(xué)者的共同努力下，已接近完整解決 . 定理 5 ([9])當(dāng) )20(mod5?v 且 v?{45,345,465,645}時(shí)，存在 RBIBDv ?)1,5,( . 對(duì)一般的 k ， RayChaudhuri 和 Wilson[10]和 Lu 證明了 RBIBDkv ?),( λ 的“漸近存在性” . XI 定理 6 ([10])對(duì)給定的正整數(shù) k 和 ? ， 除了有限多個(gè)正整數(shù) v 外， RBIBDkv ?),( λ 存在的必 要條件 (2)也是充分的 . 定義 3 若 D=（ X， B）為 BIBDkkv ?? )1,( ，其中 ? }{1 ?? ?VZX ，令1)(1)(: ??????????????vZiiiiXX??? ，? 為 X 的映射， ?B B， },...,{ 21 kaaaB ? ； 令 ) } ,() , . . . ,(),({ 21 kaaaB ???? ? B ?? BB |{ ?? B} ，若 B?? B，則稱 ? 為 D 的一個(gè)自同構(gòu) .此時(shí) BIBDkkv ?? )1,( 稱 為 Rotational BIBD. 進(jìn)一步， B 在 ? 的作用下，產(chǎn)生軌道，軌道長度為 1?v .每個(gè)軌道中取一個(gè)代表，構(gòu)成 D 的一個(gè)基區(qū)組 .如果這個(gè)基區(qū)組構(gòu)成了 X 的一個(gè)劃分，即基區(qū)組是 D 的一個(gè)平行類，稱此平行類為 D的基平行類 .此時(shí) )1,( ?kkv Rotational BIBD 是可分解的 .稱其為 )1,( ?kkv Rotational RBIBD. 本文提供了一個(gè)系統(tǒng)的構(gòu)造轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì) 的方法 .二級(jí)水平設(shè)計(jì)同樣包含于這個(gè)系統(tǒng)方法 .這個(gè)系統(tǒng)的方法是基于利用滿足某些特性的一系列初始區(qū)組的循環(huán)生成法的可分解的平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì) (RBIBDs).有些 ?k 循環(huán)設(shè)計(jì)的其他可供選擇的方法同樣也包含于 Lu et al.(2020)[11]中 .然而，本文呈現(xiàn)最優(yōu) K循環(huán)超飽和設(shè)計(jì)的一個(gè)廣泛比較方法，其包含在有關(guān)計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)方法著作中或者在 Lu et al.(2020)中 .在實(shí)際中，超飽和設(shè)計(jì)對(duì)于因子篩選試驗(yàn)很有幫助．現(xiàn)有的超飽和 設(shè)計(jì)的構(gòu)造方法主要是針對(duì) 二級(jí) 水平和 多級(jí) 水平情形的．但是實(shí)際中，混 和 水平超飽和設(shè)計(jì)有著更廣泛的用途 ，此不部分可做一項(xiàng)獨(dú)立研究，在此不做論述 . 參考文獻(xiàn) ： [1]Liu M and Zhang et al. Construction of E(s2) optimal supersaturated designs using cyclic BIBDs[J]. J. Statist. Plann Inference, 2020, 91: 139–150. [2]Lu X and Hu et al. A systematic procedure in the construction of multilevel supersaturated design[J]. Inference, 2020, 115: 287–310. [3]Ngyuen N K. An algorithmic approach to constructing supersaturated designs[J]. Technometrics, 1996, 38: 69–73. [4]Hanani H. On resolvable balanced inplete block designs[J]. J. Combin. Theory Ser A, 1974, 17: 275289. [5]Plackett R L and Burman et al. The design of optimum multifactorial experiments.[J]. Biometrika, 1946, 33: 305– 325. XII [6]Hanani H. Balanced inplete block designs and related designs[D]. Discrete Math, 1975, 11: 255369. [7] Wu X H A. Construction of optimal multilevel supersaturated designs[J]. Ann. Statist., 2020, 33: 2811–2836. [8]Wilson R M. An existence theory for pairwise balanced design[J]. . Theory Ser. A, 1972, 13: 220273. [9]Wilson D A R. Solution of Kirkman’s schoolgirl problem[J]. Proc. Sympos. Pure Math, 1971, 19: 187203. [10]Lu J. An existence theory for resolvable balanced inplete block designs[J]. Acta Math. Sinica, 1984, 27: 458468. [11]Chen J and Liu, et al. Optimal mixedlevel kcirculant supersaturated designs[J]. J. Statist. Plann Inference, 2020, 138: 4151–4157. [12]Baker R D. Resolvable BIBD and SOLS[J]. Discrete Math, 1983, 44: 1329. [13]Hanani H, Ray Chaudhuri D K and Wilson R. On resolvable designs[J]. Discrete Math, 1972, 3: 343 357. [14]Ray Chaudhuri D K and Wilson R. The existence of resolvable block designs[J]. A Survey of Combinatorial Theory, 1973, 11: 361375. [15]Fang K T and Lin, et al. Optimal mixedlevel supersaturated design[J]. Metrika, 2020, 58: 279–291. 二． 本課題的基本內(nèi)容，預(yù)計(jì)解決的難題 基本內(nèi)容：本課題將研究 不同 構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)可分 解 設(shè) 計(jì)的構(gòu)造及其 應(yīng)用 . 首先，理解設(shè)計(jì)、 BIBD、 RBIBD以及轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)（ Rotational RBIBD）的定義，以及不同構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)的 構(gòu)造方法 .可分解設(shè)計(jì)是組合數(shù)學(xué)中研究的經(jīng)典問題 .具有特殊結(jié)構(gòu)的可分解設(shè)計(jì)密碼理論、統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)中有廣泛應(yīng)用 .如了解不同構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)能在統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的超飽和設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)最優(yōu)的 K循環(huán)的超飽和設(shè)計(jì) ，它廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)、軟件測(cè)試、醫(yī)藥、工業(yè)和生物工程試驗(yàn)領(lǐng)域 .其次了解轉(zhuǎn)動(dòng)可分解的定義 .本課題主要研究轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)（ Rotational RBIBD）的構(gòu)造，并討論它在超飽和設(shè)計(jì)的應(yīng)用 ,同時(shí)利用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算 60?v 的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì) . 預(yù)計(jì)解決的難題：對(duì)于此類最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)未知結(jié)論的構(gòu)造，可能需要較長時(shí)間的尋找，對(duì)于計(jì)算機(jī)運(yùn)算，需要時(shí)間的調(diào)整 . 三、 課題的研究方法、技術(shù)路線 研究方法： ； 長及老師請(qǐng)教； 3. 網(wǎng)上搜集資料； . 技術(shù)路線： (1) 閱讀與轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì) 的構(gòu)造 問題有關(guān)的文獻(xiàn)； (2) 正確理