222指數(shù)函數(shù)課時教案四個課時(參考版)
2024-08-26 13:14本頁面
【正文】 2－ x2x+2－ x = 1－ 222x+1 思維拓展：討論 f(x)= ax－ 1ax+1(a＞ 0， a≠ 1)的單調(diào)性． 討論 f(x)= ax－ a－ xax+a－ x (a＞ 0， a≠ 1)的單調(diào)性． 指 數(shù) 函 數(shù)（ 4） 教學(xué)內(nèi)容 運用指數(shù)函數(shù)模型，解決實際問題． 例 1 截止到 1999 年底我國人口約 13 億．如果今后能將人口平均增長北控制在 1%，那么經(jīng)過 20 年后，我國人口約為多少（精確到億）？ 解 設(shè)經(jīng)過 x 年后，我國人口數(shù)為 y(億 )． 1999 年底，我國人口約為 13 億； 經(jīng)過 1 年，即 2020 年底，人口約為 13＋ 13 1%=13(1＋ 1%)（億）； 經(jīng)過 2 年，即 2020 年底，人口約為 13(1＋ 1%)＋ 13(1＋ 1%) 1% =13(1＋ 1%)2（億）； 經(jīng)過 3 年，即 2020 年底，人口約為 13(1＋ 1%)2＋ 13(1＋ 1%)2 1% =13(1＋ 1%)3（億）； … 所以，經(jīng)過 x 年，人口數(shù)為 y＝ 13(1＋ 1%)x＝ 13 (億 )． 當 x＝ 20 時 ， y＝ 13 ≈ 16(億 )． 答：經(jīng)過 20 年后，我國人口數(shù)約為 16 億． 點評 （ 1）在實際問題中，經(jīng)常會遇到類似的指數(shù)增長模型，設(shè)原有基數(shù)（如本例中的 1999年底的人口數(shù)）為 m，平均增長率為 p，則對 于經(jīng)過時間 x 后的數(shù)值 y 要以用 y＝ m(1＋ p)x表示．我們把形如 y＝ kax(k∈ R， a＞ 0，且 a≠ 1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)，這是非常有用的函數(shù)模型． （ 2）對于實際應(yīng)用問題還有兩點必需注意：一是精確度的問題，同學(xué)們在解決問題時往往忽視題中的精確度；二是定義域，在實際問題中函數(shù)的定義域必需使實際問題有意義． 練習(xí) 2020－ 2020 年，我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值年平均增長 %左右，按照這個速度，從 2020年開始， x 年后我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值為 y， y 與 x 的函數(shù)關(guān)系為 _______________． 解 設(shè) 2020 年年 初國內(nèi)生產(chǎn)總值為，則 xy %)(1 ??? ? （ ?x N*）． 例 2 某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)檢測：如果成人按規(guī)定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量為 y(微克 )與服藥后的時間 t(小時 )之間近似滿足如圖曲線，其中 OA 是線段，曲線 ABC 是函數(shù) y=kat的圖象． （ 1）據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于 2 微克時治療疾病有效，若某病人第一次服藥時間為早上 6： 00，為了保持療效，第二次服藥最遲應(yīng)該在當 天的幾點鐘？ （ 2）若按（ 1）中最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥 3 個小時后，該病人每毫升血液中含藥量為多少微克？（精確到 0． 1 微克） 解：（ 1）由題，當 0≤ t＜ 1 時， y=8t， 當 t≥ 1 時，把 A， B 兩點的坐標代入 y=kat， ??? ?? ,1,87kaka解得???????,28,22ka 所以 y=????? ?? ?? ,1,)22(28,10,8tttt 令 8 2( 22 )t=2，解得 t=5， 因此第 二次服藥最遲應(yīng)在第一次服藥 5 小時后，即上午 11 時． 答：第二次服藥最遲應(yīng)該在當天的 11 點鐘． （ 2）第二次服藥 3 小時后， )1,7(ByO)8,1(AtC每毫升血液中含第一次所服藥的藥量為 y1=8 2( 22 )8= 22 ， 每毫升血液中含第二次所服藥的藥量為 y2=8 2( 22 )3= 4， y1+y2= 22 +4≈ (微克 )， 因此該病人每毫升血液中含藥量為 4． 7 微克． 答：第二次服藥 3 個小時后，該病人每毫升血液中含藥量為 微克． 例 3 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過 1 年剩留的這種物質(zhì)是原來的 84％．畫出這種物質(zhì)的剩留量隨時間變化的圖象，并從圖象上求出經(jīng)過多少年，剩留量是原來的一半(結(jié)果保留一個有效數(shù)字 )． 解 設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是 1，經(jīng)過 x 年，剩留量是 y． 經(jīng)過 1 年，剩留量 y=1 84%=； 經(jīng)過 2 年，剩留量 y= =； …… 一般地，經(jīng)過 x 年，剩留量 y=（ x＞ 0） ． 根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系可以列 表如下： 畫出指數(shù)函數(shù) y= (圖 216)．從圖上看出 y= 只需 x≈ 4． 答：約經(jīng)過 4 年，剩留量是原來的一半． 例 4 某種儲蓄按復(fù)利計算利息，若本金為 a 元，每期利率為 r設(shè)存期是 x，本利和為 y元． （ 1）寫出本利和隨存期 x 變化的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）如果存入本金 1000 元，每期利率為 2． 25%，試計算第 5 期后的本利和． 解 （ 1）已知本金為 a 元，利率為 r，則 1 期后的本利和為 y=a+ar=a(1+r) ， 2 期后的本利和為 y=a(1+r)+a(1+r)r =a(1+r)2 ， 3 期后的本利和為 y=a(1+r)2+a(1+r)2r =a(1+r)3 ， …… x 期后的本利和為 y=a(1+r)x， (2)將 a=1000， r=%,x=5 代入，得 y=1000(1+2． 25%)5 =10001． 02255 ≈(元 )， 即第 5 期后的本利和約為 元． 例 5 對于 5 年可成材的樹木，在此期間的年生長率為 18%，以后的年生長率為 10%，樹木成材后，既可出售樹木，重栽樹苗，也可讓其繼續(xù)生長 5 年，按 10 年的情形考慮哪一種方案可獲得較大的木材量． 解 設(shè)新栽樹苗的木材量為 a，則 10 年后有兩種結(jié)果 （ 1）連續(xù)生長 10 年，木材量為 M=a(1+18%)5(1+10%)5． (2
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