換元積分法與分部積分法(參考版)
2024-08-24 09:16本頁面
【正文】 c ax bx c xt c? ? ? ? ?若令2( c ) , ,a x b x c ????若 有兩個(gè)不同實(shí)根 令).(2 ????? xtcbxax返回 后頁 前頁 .32d2? ?? xxx x求例 9 解 用方法 1: 221dd( 1 ) 4 ( 1 ) 4xuxux x u u???? ? ? ???2 se c 2 sec t an dd( 2 sec 1 ) 2 t an 2 c osu ? ? ? ??? ? ?? ?????2d23xx x x???返回 后頁 前頁 22 222t an221dd1 321t tttt tt?? ??? ?????2 arc t an33t C??21ar c t an ( t an ) .233 C???sin t a nt a n2 1 c o s se c 1? ? ???????由于? ? 2 221 23,2 1 1u xxux? ??????返回 后頁 前頁 22d 2 2 3ar c t an .3 3 ( 1 )23x x x Cxx x x????????得22 : 2 3 ,x x x t? ? ? ?用方法 令 則? ? ???? ?2223 2 3, d d ,2 ( 1 ) 2 ( 1 )t t tx x tt t.)1(2 )32()1(2 332222???????????ttttttxx返回 后頁 前頁 22 2 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 d3 ( 2 3 ) 2 ( 1 )t t t t tt t t t? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??222d ar c t an3 33ttCt? ? ? ? ???因此 2d23xx x x???22 2 3ar c t an .33x x x C? ? ???返回 后頁 前頁 2 2 21 2 ,x x t tx x? ? ? ? ?.1d 2? ??? xxx x求例 10 2 1,x x t x? ? ? ?令則解 注 1 對(duì)于本題來說 ,方法 2 顯然比方法 1 簡捷 . ,d)12( )1(2d 22tt ttx ? ???2 1,21tx t ?? ?但實(shí)質(zhì)上只相差某一常數(shù)而已 . 注 2 由以上兩種方法所得的結(jié)果 , 形式雖不相同 返回 后頁 前頁 22 3 3[ ] d2 1 ( 2 1 ) tt t t? ? ????332 l n l n 2 12 2 ( 2 1 )t t Ct? ? ? ? ??1122ln231ln2 22 ????????? xxxxxx23 .2 ( 2 2 1 1 )Cx x x??? ? ? ?222d 2 2 2 d( 2 1 )1x t t tttx x x????? ? ???從而有 返回 后頁 前頁 注 雖然初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù) ,從而它們都存在 22 s in de d , s in d , d ,lnx xxx x x xxx?? ? ? ?都不是初等函數(shù) ,因此都不可能用我們介紹的方 例如 原函數(shù) ,但并非初等函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) . 法把它們的原函數(shù)求出來 . 。u k t? ?方法 2 (歐拉變換 ) 2( a ) 0, 。R u v R u v t x? ? ? ?若 可作變換?為 什 么 以 上 變 換 可 使 不 定 積 分 簡 化( i ) ,R若 滿 足 條 件 由 代 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) 可 知 , 存 在 有 理 函0 ,R數(shù) 使 得選用如下三種變換 , 使不定積分簡化 . 返回 后頁 前頁 因此? ? ?? 20 ( 1 c os , c os ) d ( c os )R x x x20( , ) ( , ) .R u v R u v u?0( ii ) , ,RR若 滿 足 條 件 則 存 在 有 理 函 數(shù) 使 得20( , ) ( , ) .R u v R u v v?類 似 可 得20 ( 1 , ) d .R t t t? ? ????? 20( si n , c os ) d ( si n , c os ) si n dR x x x R x x x x返回 后頁 前頁 ??? 20( si n , c os ) d ( si n , c os ) c os dR x x x R x x x x??? 20 ( si n , 1 si n ) d ( si n )R x x x0( ii i ) , ,RR若 滿 足 條 件 則 存 在 有 理 函 數(shù) 使 得0( , ) , , .uuR u v R v v R vvv? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?0 ,uRvv??????而 滿 足0 0 0, , ( , ) , .u u uR v R v R u v R vv v v?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? 20 ( , 1 ) d .R t t t返回 后頁 前頁 1 ( , ) ,R u v同 樣 由 代 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) , 存 在 有 理 函 數(shù) 使 得201, , ,uuR v R vvv? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?21( sin , c os ) d ( t an , c os ) dR x x x R x x x???1 221 d ( t an )t an ,1 t an 1 t anxRxxx????? ?????因 此1 221d,.11tRttt??? ???????返回 后頁 前頁 則因此可設(shè) ,c os xt ?22sin 2 sin c o sd 2 dsin 2 c o s sin 2 c o sx x xxxx x x x?????22c o s d2 d c o s 21 2 c o s c o s 1 2x t txx x t t?? ? ?? ? ? ???.dc os2s i n 2s i n2? ? xxx x求例 5 22sin 2 2 sin c o s ( i) ,sin 2 c o s sin 2 c o sx x xx x x x???由于 滿足情形解 返回 后頁 前頁 22 2 22 2 2 d ( 1 2 ) 2 dd1 2 1 2 2 ( 1 )t t t ttt t t t t? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2 1 2 1ln
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