【正文】 s Method,‖ IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS86, No. 11, pp. 14491460, November 1967. [5] W. F. Tinney, V. Brandwajn, and S. M. Chan, ―Sparse vector methods,‖ IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS104, , pp. 295301, February 1985. [6] R. Betancourt, ―An efficient heuristic ordering algorithm for partial matrix refactorization,‖ IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 3, No. 3, pp. 11811187, August 1988. [7] A. Gomez and . Franquelo. ―An efficient ordering algorithm to improve sparse vector methods,‖ IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 3, No. 4, pp. 外文翻譯（譯文） 22 15381544, November 1988. [8] B. Stott, ―Review of loadflow calculation methods,‖ Proceedings of the IEEE, Vol. 62, No. 7, pp. 916929, July 1974. [9] X. W. Chang and C. C. Paige, ―On the sensitivity of the LU factorization,‖ BIT, Vol. 38, No. 3, pp. 486501, 1998. [10] . Businger, ―Monitoring the numerical stability of Gaussian elimination,‖ Numer. Math, Vol. 16, pp. 360361, 1971. [11] Paola Favati, Mauro Leoncini, and Angeles Martinez, ―On the robustness of gaussian elimination with partial pivoting,‖ BIT, Vol. 40, , , 2020 。在此基礎(chǔ)上，如果同時(shí) 要保證 稀疏 性 ， 為了 減少浮點(diǎn)計(jì)算精度 的需求，我們應(yīng)該獲得更多的精確度 。更重要的是，我們的注意力 應(yīng)該 集中在保持稀疏 性以 以節(jié)省內(nèi)存 需求 和計(jì)算操作 上 。如果節(jié)點(diǎn)排序算法 合理地考慮內(nèi)存和精確度 ，潮流 計(jì)算性能 可以進(jìn)一步 改善。 表 3用方案二給節(jié)點(diǎn)再排序 新節(jié)點(diǎn)號(hào)碼 舊節(jié)點(diǎn)號(hào) 碼 1 4 2 1 3 3 4 5 5 6 6 2 表 4用不同節(jié)點(diǎn)排序方案的進(jìn)行牛頓潮流計(jì)算的性能比較 方案一 方案二 方案三 內(nèi)存（ Kb） 最小填充數(shù) 0 6 0 迭代次數(shù) 33 13 9 分解計(jì)算數(shù)目 123 321 123 總的計(jì)算次數(shù) 7459 5573 2107 a 這里“操作次數(shù)”只代表乘法次數(shù)因?yàn)槌朔ㄗ詈臅r(shí)。尤其 注意的是 ，如果 首先 消除節(jié)點(diǎn) 6，非常小的值可能被添加到節(jié)點(diǎn) 2和節(jié)點(diǎn) 5的節(jié)點(diǎn)元素 ，這將導(dǎo)致嚴(yán)重的舍入誤差。該 方案 能夠滿足 完全消元法 。迭代次數(shù)的減少表明，使用 方案三可以使 線性方程組 得到更加精確的求解 。因此， 最小填充的數(shù)目 ，內(nèi)存 需求 和分解所需的操作 次數(shù) 與方案一相同 。 由于 在系統(tǒng)中 只 存在 一個(gè)小的阻抗分支， 并且 它連接到 節(jié)點(diǎn)度為 1 的 節(jié)點(diǎn)4。這就是我們 所說的 6 個(gè)節(jié)點(diǎn) 網(wǎng)絡(luò)的方案三 。在提出替 代的過程中，一旦節(jié)點(diǎn) 4和節(jié)點(diǎn) 6被 消除，其余元素組成的子矩陣能保持良好的數(shù)值穩(wěn)定性 ，并且 其余節(jié)點(diǎn)的編號(hào)不會(huì) 對(duì)解決方案的精確度產(chǎn)生影響 。最后， 由于迭代次數(shù)的減少 乘法運(yùn)算的 次數(shù) 減少到 5573次。 6 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)次序如表 2 所示 。 對(duì)應(yīng)這些節(jié)點(diǎn)的 主對(duì)角線 的入口模數(shù)通過 總結(jié)更多的分支參數(shù) 而變得更大 ，因此，節(jié) 點(diǎn) 度 越 大 的 往往首先被編號(hào)。 方案二 a 形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣 ； b 用完全消元法 因式分解節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。 在某種程度上 ，導(dǎo)納矩陣的主對(duì)角線上的 入口模數(shù) 可 以 表明雅可比矩陣的主對(duì)角線上的子矩陣的行列式的幅度。 B 目的二：用完全迭代法改善精確度 考慮到 完全消元法在數(shù)值上比部分消元法更可取 ，在本節(jié) 中 ， 為了 提高解決線性方程組 的 準(zhǔn)確性 而 采用 完全消元法 ，旨在減少迭代次數(shù)。 可是 這個(gè)例子所需的迭代 次數(shù) 是三十三 次 ，因?yàn)樾∽杩?分支 所造成的 病態(tài)性 。所以 表格的 因素的內(nèi)存 需求 是 的，這 個(gè) 與該雅可比矩陣相同。 表 1 用方案一給節(jié)點(diǎn)再排序 新節(jié)點(diǎn)號(hào)碼 舊節(jié)點(diǎn)號(hào)碼 1 1 2 3 外文翻譯（譯文） 18 3 2 4 4 5 6 6 5 緊跟著方案一之后， 6 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)次序如表 1 所示。 一旦在上述步驟 中 某個(gè)節(jié)點(diǎn) 被 編號(hào)，更新相關(guān)節(jié)點(diǎn) 度 和拓?fù)湫畔ⅰＨ绻覀儾荒?啟動(dòng)步驟 a和步驟 b，打開步驟 c ； c 當(dāng)這個(gè)節(jié)點(diǎn)被淘汰，編號(hào)那些有最少分支的節(jié)點(diǎn)。如果沒有任何節(jié)點(diǎn) 符合要求 ，啟動(dòng)步驟 b ； b 當(dāng)這個(gè)節(jié)點(diǎn)被淘汰，編號(hào)那些沒有等效的分支節(jié)點(diǎn)可以被引入的節(jié)點(diǎn)。 方案一 a 定義其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)度為一 。為了節(jié)省內(nèi)存， 在這一部分中，提出了與 [2]中提出的 第三種方案類似 一個(gè)動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)排序方案 。在本文中，我們關(guān)注的編號(hào)的 結(jié)果 是如何 影響計(jì)算性能。 對(duì) 減少網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣 有著 最佳 效果的排序 也是相關(guān)的雅可比矩陣表 的 最優(yōu)的因素。 A 目的一：盡可能地節(jié)省內(nèi)存 目前，以減少 最小優(yōu)化 和節(jié)省內(nèi)存節(jié)點(diǎn) ，有各種各樣的方案應(yīng)用于近優(yōu)化的節(jié)點(diǎn)排序 。 在 本節(jié) 中 將 把三種不同的排序方案 應(yīng)用到如圖2 所示 的 6 個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)， 以便對(duì)它們對(duì)潮流計(jì)算中 解的精度 、 收斂速度 、 計(jì)算量和內(nèi)存 需求量進(jìn)行比較 。 4 節(jié)點(diǎn)排序?qū)εｎD 拉夫遜潮流計(jì)算方法的表現(xiàn)形式的影響 圖 2有 著六 個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)樣 本的 直流模型 在 上述分析的基礎(chǔ)上，對(duì)節(jié)點(diǎn)重新排序的 方案 將不僅影響到內(nèi)存的要求，外文翻譯（譯文） 17 而且影響到 求解線性方程組 時(shí) 解的精度。 沒有 消 元 地 對(duì) 公 式 （ 1 ） 執(zhí) 行 高 斯 消 元 得 到 的 解 為[ θ2,θ3,θ4]T=[,]T ， 其 與 精 確 解 [θ2, θ3,θ4]T=[,]的部分元素不同，通過完全消元法可以得到一個(gè)更加精確的解： [θ2,θ3, θ4]T=[,]，并且 行和列的交匯處 的 節(jié)點(diǎn)的 排序 是 3,2,4 。節(jié)點(diǎn) 24負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。 圖 1有 著 四個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)樣 本的 直流模型 外文翻譯（譯文） 16 以 圖 1所示的 有 著 四個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)樣 本的 直流模型 為例。 3 使用部分消元法和完全消元法所產(chǎn)生的精確度差異 對(duì)于解決 系統(tǒng)的線性代數(shù)方程組 ， 完全消元法在數(shù)值上比部分消元法更可取 。這樣 從這些算法形式中 的 獲得的結(jié)果 只會(huì)偏離形成的原則， 但是 后續(xù)的解決方案的精度將提高。其結(jié)果是在節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的對(duì)角線項(xiàng)往往根據(jù)自己的模塊被安排從最小到最大 排列 。 以 稀疏矩陣技術(shù)為導(dǎo)向的節(jié)點(diǎn)重新排序算法已廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)計(jì)算中 ，旨在最大限度地減少 內(nèi)存需求。這相當(dāng)于調(diào)整潮流計(jì)算的節(jié)點(diǎn) 排序 。雖然由于舍入誤差，部分 消元法在 有些極限點(diǎn)附近 不 能 提供準(zhǔn)確的解決 方法 。一旦不能滿足評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)， 就會(huì) 采用完全消元法 ，以獲得更好的數(shù)值穩(wěn)定性。參考文獻(xiàn) [ 9 ]表明 部分 消元法和完全消元法外文翻譯（譯文） 15 是如何 影響 LU分解的靈敏度。 2 節(jié)點(diǎn)排序算法中內(nèi)存和精確度之間的矛盾 根 據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)， 對(duì)于用高斯消元法求解的 系統(tǒng)的線性代數(shù)方程組 ， 完全消元法在數(shù)值上比部分消元法更可取。然后在 第四部分 以 6 個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)作為一個(gè)例子， 對(duì)于 節(jié)點(diǎn) 排序?qū)Τ绷?性能 的 影響進(jìn)行了詳細(xì)分析 。本文安排如下：在第二部分介紹了節(jié)點(diǎn)排序算法的內(nèi)存和準(zhǔn)確性之間的矛盾。因此，有必要討論節(jié)點(diǎn) 編號(hào)對(duì)計(jì)算 精度的影響。 分布式發(fā)電的推廣也 使我們堅(jiān)定地把 分 布 網(wǎng)絡(luò)和傳輸系統(tǒng) 融入到 整個(gè)電力系統(tǒng)潮流計(jì)算 中，當(dāng)然 它會(huì)造成更嚴(yán)重的數(shù)值問題。然而 ，如果 在潮流系統(tǒng)模型中存在 一系列非常高 或 低 的 阻抗，長(zhǎng)的超高壓線路，串聯(lián)和并聯(lián)補(bǔ)償 等問題 ，對(duì)角占優(yōu)將 被 削弱和假設(shè)可能并不總是站不住腳的。 到 目前 為止 ，在 任意一個(gè)節(jié)點(diǎn) 的次序 不 會(huì)對(duì) 數(shù)值精度產(chǎn)生負(fù)面影響的 假設(shè)的基礎(chǔ)上，大多數(shù)節(jié)點(diǎn)排序算法 通常會(huì) 采取單一迭代解決線性方程組作為研究對(duì)象 的方法 ，旨在減少內(nèi)存需求和計(jì)算操作。這相當(dāng)于減少路徑的長(zhǎng)度，但它可能會(huì)導(dǎo)致更多的 最小 填充，更大的復(fù)雜性和費(fèi)用。 外文翻譯（譯文） 14 在 稀疏矩陣的方法 之 后，稀疏向量擴(kuò)展到向量的稀疏 性探索 的方法， 當(dāng) 右手邊的向量是稀疏 的 或在未知向量元素少數(shù)想用于求解線性方程組時(shí) ，這種方法對(duì)求解線性方程是有用的 。每種策略是在結(jié)果和執(zhí)行速度兩者之間的折中，并且它們都被大部分 工業(yè)所采納 。 所以 廣泛的研究與最小填充 的極小值有關(guān) 。這一行動(dòng)被稱為 最小填充 。 在潮流計(jì)算 中的 雅可比矩陣，類似 于 導(dǎo)納矩陣， 有著 對(duì)稱 的 結(jié)構(gòu)和高度的稀疏 性 。線性方程組求解 的 效率和精度直接影響了牛頓 拉夫遜潮流算法的性能。 從 數(shù)學(xué) 上 來 講 ， 潮流 問題是要找到一個(gè)非線性方程 組 的數(shù)值解。 本文列舉出了三種不同目的的排序方案，旨在比較潮流計(jì)算的形式，并且以一個(gè)六節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行具體討論。 然 而隨著現(xiàn)代電力系統(tǒng)的發(fā)展，這個(gè)問題會(huì)變得 更加嚴(yán)重，并且在節(jié)點(diǎn)排序過程中 必須要 把 計(jì)數(shù)精度 考慮在內(nèi) 。s Method,‖ IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS86, No. 11, pp. 14491460, November 1967. [5] W. F. Tinney, V. Brandwajn, and S. M. Chan, ―Sparse vector methods,‖ IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS104, , pp. 295301, February 1985. [6] R. Betancourt, ―An efficient heuristic ordering algorithm for partial matrix refactorization,‖ IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 3, No. 3, pp. 11811187, August 1988. [7] A. Gomez and . Franquelo. ―An efficient ordering algorithm to improve sparse vector methods,‖ IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 3, No. 4, pp. 15381544, November 1988. [8] B. Stott, ―Review of loadflow calculation methods,‖ Proceedings of the IEEE, Vol. 62, No. 7, pp. 916929, July 1974. [9] X. W. Chang and C. C. Paige, ―On the sensitivity of the LU factorization,‖ BIT, Vol. 38, No. 3, pp. 486501, 1998. [10] . Businger, ―Monitoring the numerical stability of Gaussi