20xx版高考人教版數(shù)學一輪學案：選修4-5-第一講-絕對值不等式-(含解析)(參考版)
2025-04-03 03:22本頁面
【正文】 山西大學附中月考)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋a|－|x－3|(a∈R)．(1)若a＝－1，求不等式f(x)＋1＞0的解集；(2)已知a＞0，若f(x)＋3a＞2對于任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．[解析] (1)因為a＝－1，所以f(x)＝所以不等式f(x)＋1＞0等價于或或，解得x＜－1或x＞1．所以不等式f(x)＋1＞0的解集為{x|x＜－1或x＞1}．(2)因為a＞0，所以f(x)＝根據(jù)函數(shù)的單調性可知函數(shù)f(x)的最小值為f＝－－3，因為f(x)＋3a＞2恒成立，所以－－3＋3a＞2，解得a＞2．所以實數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞)． 9 。課標Ⅲ卷)設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|．(1)畫出y＝f(x)的圖象；(2)當x∈[0，＋∞)時，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[解析] (1)f(x)＝y(tǒng)＝f(x)的圖象如圖所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當a≥3且b≥2時，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值為5．例4 (2021b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對值的不等式．(2)求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型函數(shù)的最值問題時，利用絕對值三角不等式更方便．〔變式訓練2〕(2020福建永安一中期中)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－4|．(1)解不等式f(x)≤6；(2)若不等式f(x)＋|x－4|＜a2－8a有解，求實數(shù)a的取值范圍．[解析] (1)由已知得f(x)＝當x＜－時，－3x＋3≤6即x≥－1，∴－1≤x＜－；當－≤x≤4時，x＋5≤6即x≤1，∴－≤x≤1；當x＞4時，3x－3≤6，即x≤3舍．綜上得f(x)≤6的解集為[－1,1]．(2)f(x)＋|x－4|＝|2x＋1|＋|2x－8|≥9，∵f(x)＋|x－4|＜a2－8a有解，∴a2－8a＞9，(a－9)(a＋1)＞0，a＜－1或a＞9，∴a的取值范圍是(－∞，－1)∪(9，＋∞)．[引申1]本例中，若不等式f(x)＋|x－4|≥a2－8a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__
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