【正文】 ∴，∴，即 ，∵，∴，∴P2（1，－4）．綜上所述，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，－4）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．14．如圖1，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C，D．（1）求直線和拋物線的表達(dá)式；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△PDC為直角三角形？請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值；（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，在直線EF上是否存在點(diǎn)N，使DM+MN的值最??？若存在，求出其最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，BD解析式為y=﹣；（2）t的值為、．（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），. 【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥x軸、DF⊥y軸，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三種情況，利用相似三角形的性質(zhì)逐一求解可得；（3）通過(guò)作對(duì)稱點(diǎn)，將折線轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間距離，應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短．詳解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得，解得：，∴拋物線解析式為：y=，∵過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+，∴代入（1，0），得：k=﹣，∴BD解析式為y=﹣；（2）由得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣5，4），如圖1，過(guò)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，當(dāng)P1D⊥P1C時(shí)，△P1DC為直角三角形，則△DEP1∽△P1OC，∴=，即=，解得t=，當(dāng)P2D⊥DC于點(diǎn)D時(shí)，△P2DC為直角三角形由△P2DB∽△DEB得=，即=，解得：t=；當(dāng)P3C⊥DC時(shí)，△DFC∽△COP3，∴=，即=，解得：t=，∴t的值為、．（3）由已知直線EF解析式為：y=﹣x﹣，在拋物線上取點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作D′N⊥EF于點(diǎn)N，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)N作NH⊥DD′于點(diǎn)H，此時(shí)，DM+MN=D′N最?。畡t△EOF∽△NHD′設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，﹣），∴=，即=，解得：a=﹣2，則N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），求得直線ND′的解析式為y=x+1，當(dāng)x=﹣時(shí)，y=﹣，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），此時(shí)，DM+MN的值最小為==2．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)和幾何問(wèn)題綜合題，應(yīng)用了二次函數(shù)性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想．解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合．15．如圖1,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為軸于點(diǎn)．將拋物線平移后得到頂點(diǎn)為且對(duì)稱軸為直的拋物線．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2,在直線上是否存在點(diǎn),使是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，若以為頂點(diǎn)的三角形與全等,求直線的解析式．【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為,；（3）的解析式為或.【解析】分析：（1）把和代入求出a、c的值，進(jìn)而求出y1，再根據(jù)平移得出y2即可；（2）拋物線的對(duì)稱軸為,設(shè),已知，過(guò)點(diǎn)作軸于,分三種情況時(shí)行討論等腰三角形的底和腰，得到關(guān)于t的方程，解方程即可；（3）設(shè),則,根據(jù)對(duì)稱性得,分點(diǎn)在直線的左側(cè)或右側(cè)時(shí),結(jié)合以構(gòu)成的三角形與全等求解即可.詳解:(1)由題意知，解得， 所以,拋物線y的解析式為；因?yàn)閽佄锞€平移后得到拋物線,且頂點(diǎn)為，所以拋物線的解析式為，即： ；(2)拋物線的對(duì)稱軸為,設(shè),已知，過(guò)點(diǎn)作軸于,則 ， ，當(dāng)時(shí)，即，解得或；當(dāng)時(shí),得，無(wú)解；當(dāng)時(shí),得,解得。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度隨著的增大而減小，即取． 綜上，當(dāng)或時(shí)，的長(zhǎng)度隨著的增大而減?。驹斀狻浚?）點(diǎn)，4＞1，根據(jù)“友好點(diǎn)”定義，得到點(diǎn)的“友好點(diǎn)”的坐標(biāo)是（2）點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，．，根據(jù)友好點(diǎn)的定義，點(diǎn)的坐標(biāo)為， ①當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合，．解得或． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是或． ②當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B不重合，且．當(dāng)或時(shí)，． 當(dāng)a≤時(shí)，的長(zhǎng)度隨著的增大而減小，取．當(dāng)時(shí)， ．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度隨著的增大而減小，取． 綜上，當(dāng)或時(shí)，的長(zhǎng)度隨著的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題屬于閱讀理解題型，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行解題，第二問(wèn)的第二小問(wèn)的關(guān)鍵是求出AB的長(zhǎng)用a進(jìn)行表示，然后利用二次函數(shù)基本性質(zhì)進(jìn)行分類討論10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，直線CD與x軸交于點(diǎn)C、與y軸交于點(diǎn)D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為：　 ?。ㄖ苯犹羁眨?；（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)P為第二象限”母線”上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，交”姊線”CD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，連接OH，若GH＝，請(qǐng)直接寫出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而求得直線CD的表達(dá)式；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達(dá)式，將直線OP和CD表達(dá)式聯(lián)立并解得點(diǎn)Q坐標(biāo)，由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，由此可得點(diǎn)H坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)G坐標(biāo)，由勾股定理得：m值，即可求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而得到 “母線”函數(shù)的表達(dá)式．【詳解】（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，則答案為：y＝（x+6）；（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），則直線CD的表達(dá)式為：y＝（x+4）＝x+2；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P（m，n），n＝﹣m2﹣