【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù) 培優(yōu)練習(xí)(含答案)附答案解析一、二次函數(shù)1．（6分）（2015?牡丹江）如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）．請解答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E（2，m）在拋物線上，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)H，點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，連接FH，求線段FH的長．注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=﹣．【答案】（1）y=2x3；（2）．【解析】試題分析：（1）把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，求待定系數(shù)b,c，進(jìn)而確定拋物線的解析式；（2）連接BE，點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，H是AB中點(diǎn)，則FH為三角形ABE的中位線，求出BE的長，F(xiàn)H就知道了，先由拋物線解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可求BE，再根據(jù)三角形中位線定理求線段HF的長．試題解析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式是：y=2x3；（2）∵點(diǎn)E（2，m）在拋物線上，∴把E點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=2x3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，點(diǎn)H是拋物線的對稱軸與x軸交點(diǎn)，即H為AB的中點(diǎn)，∴FH是三角形ABE的中位線，∴FH=BE==．∴線段FH的長．考點(diǎn)：1．待定系數(shù)法求拋物線的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位線定理．2．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M(m，0)為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，可得矩形PQNM．如圖，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長；(3)當(dāng)矩形PQNM的周長最大時，m的值是多少？并求出此時的△AEM的面積；(4)在(3)的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方)．若FG＝2DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周長＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【解析】【分析】（1）利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）先確定出拋物線對稱軸，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的結(jié)論判斷出矩形周長最大時，確定出m，進(jìn)而求出直線AC解析式，即可；（4）在（3）的基礎(chǔ)上，判斷出N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，求出DQ＝DC＝，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．【詳解】(1)由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．令y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，解得，x＝﹣3或x＝l，∴A(﹣3，0)，B(1，0)．(2)由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x＝﹣1．∵M(jìn)(m，0)，∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周長＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)2＝﹣2m2﹣8m+2．(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，∴矩形的周長最大時，m＝﹣2．∵A(﹣3，0)，C(0，3)，設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)＝kx+b，∴解得k＝l，b＝3，∴解析式y(tǒng)＝x+3，令x＝﹣2，則y＝1，∴E(﹣2，1)，∴EM＝1，AM＝1，∴S＝AMEM＝．(4)∵M(jìn)(﹣2，0)，拋物線的對稱軸為x＝﹣l，∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴DQ＝DC，把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，∴D(﹣1，4)，∴DQ＝DC＝．∵FG＝2DQ，∴FG＝4．設(shè)F(n，﹣n2﹣2n+3)，則G(n，n+3)，∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方且FG＝4，∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．解得n＝﹣4或n＝1，∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)極值的確定，解本題的關(guān)鍵是用m表示出矩形PMNQ的周長．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，當(dāng)△PBQ存在時，求運(yùn)動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？（3）當(dāng)△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2﹣x﹣3（2）運(yùn)動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）【解析】【詳解】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=x﹣3．由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S△CBK=．則根據(jù)圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相關(guān)線段的長度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣3；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．如圖1，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴，即，∴HQ=t．∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．當(dāng)△PBQ存在時，0＜t＜2∴當(dāng)t=1時，S△PBQ最大=．答：運(yùn)動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．∵點(diǎn)K在拋物線上．∴設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m﹣3）．∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m