基本不等式的證明教案-wenkub.com
2024-10-27 19:03 本頁面
【正文】 22xy，∴xy163。1)（2）y=2x+2y=a3+(x+1)2+1x+11 y==+2(x+1)22(x+1)在(1,0)上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)x+11=(1179。2+3=5,a31當(dāng)且僅當(dāng)a3=222。179。sin2A≤c2=a2＋b2(∵sin2A≤1)(當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1，A=45176。BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而+如上左圖所示，顯然有(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過．三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90176。R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.+第四篇：基本不等式的證明重要不等式及其應(yīng)用教案教學(xué)目的(1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．(2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．教學(xué)過程一、引入新課師：上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當(dāng)a≠b時，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈R+∪{0}．師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法．二、推導(dǎo)公式1．奠基師：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①把①左邊展開，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)．以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索師：公式②反映了兩個實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個運(yùn)用公式②，有a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)．以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有④(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時取“=”號)．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．3．再探索師：考察兩個以上實(shí)數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個實(shí)數(shù)的立方和．由于a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到a3＋b3≥a2b＋ab2．⑤考查三個正實(shí)數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個正實(shí)數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．三式疊加，并應(yīng)用公式②，得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a解題時要注意a+b179。(a+b)2222。R,求證：+b+c+c+a179。2248。239。R,a+b=1的背后隱含237。R+,a+b=11239。b248。1+247。+a,b206。+a+b2.4．挖掘隱含條件證明不等式1246。232。,1231。230。R,a+b=1求證： a+++b+163。2．利用“1”的代換型111+已知a,b,c206。1a+b+1c)的最小值。技巧四、活用常數(shù)例若x,y206。5452121x1(x185。2a+b2)(ab)2，即S′，得（（五）作業(yè)練習(xí)冊P10/6第三篇：基本不等式與不等式基本證明課時九 基本不等式與不等式基本證明第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時，關(guān)鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。22已知x，y
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