【正文】 y2x2－ 2＝－ 1 ， ∴ y1y2＋ x1x2－ 2( x1＋ x2) ＋ 4 ＝ 0 ， 3 m2－ 4 k23 ＋ 4 k2 ＋4 m2－ 33 ＋ 4 k2 ＋16 mk3 ＋ 4 k2 ＋ 4 ＝ 0 ， 7 m2＋ 16 mk ＋ 4 k2＝ 0 ， 解得 m1＝－ 2 k ， m2＝－2 k7，且滿足 3 ＋ 4 k2－ m20. 當(dāng) m ＝－ 2 k 時(shí)， l ： y ＝ k ( x － 2) ，直線過(guò)定點(diǎn) (2,0) ，與已知矛盾； 當(dāng) m ＝－2 k7時(shí)， l ： y ＝ k ( x －27) ，直線過(guò)定點(diǎn)??????27， 0 . 綜上可知，直線 l 過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為??????27， 0 . . 2222( 2 ) 12 5 9( 1 ) 1 , | | .xyABx y A B?????是 橢 圓 上 任 意 一 點(diǎn) ， 為 圓上 任 意 一 點(diǎn) 求 的 范 圍例 2:(1)求橢圓 上的點(diǎn) 22 194xy??① 與定點(diǎn) (0,1)的最大距離； ② 與直線 2xy+10=0的最大距離。 x 2 ＝4 ? m2－ 3 ?3 ＋ 4 k2 ， 所以 y1bax ，所以bc ??????－ba＝－ 1 ，即 b2＝ ac ， ∴ a2＋ ac ＝ c2，即 e2－ e － 1 ＝ 0 ，注意到 e 1 ，得 e ＝5 ＋ 12，選 D. 題型 三 “ 中點(diǎn)弦 ” 問(wèn)題 例 1 ： 焦點(diǎn)分別為 (0,5 2 ) 和 (0 ，－ 5 2 ) 的橢圓截直線 y ＝ 3 x － 2 所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為12，求此橢圓的方程． [ 分析 ] 解法一：設(shè)出橢圓的方程，再與直線方程聯(lián)系消去 y ，由中點(diǎn)橫坐標(biāo)為12建立方程，再與 a2－ b2＝ c2解方程組即可得 a2，b2. 解法二：由 “ 點(diǎn)差法 ” 求解． [ 解析 ] 解法一：設(shè)橢圓的方程為x2b2 ＋y2a2 ＝ 1( a b 0) ，且 a2－ b2＝ (5 2 )2＝ 50. ① 由????? x2b2 ＋y2a2 ＝ 1y ＝ 3 x － 2，消去 y 得 ( a2＋ 9 b2) x2－ 12 b2x ＋ 4 b2－ a2b2＝ 0. ∵x1＋ x22＝12， ∴6 b2a2＋ 9 b2 ＝12， 即 a 2 ＝ 3 b 2 . ② ，此時(shí) Δ 0. 由 ①② 得 a 2 ＝ 75 ， b 2 ＝ 25 ， ∴ 橢圓的方程為x 225 ＋y 275 ＝ 1. 解法二：設(shè)橢圓方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0) ， 直線 y ＝ 3 x － 2 與橢圓交于 A 、B 兩點(diǎn)，且 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則 ????? y21a2 ＋x21b2 ＝ 1 ， ①y22a2 ＋x22b2 ＝ 1. ② ① － ② 得 ? y1＋ y2?? y1－ y2?a2 ＝－? x1＋ x2?? x1－ x2?b2 即y1－ y2x1－ x2＝a2x1＋ x2－ b2y1＋ y2. ∵ kAB＝ 3 ， AB 中點(diǎn)為 ( x0， y0) ， x0＝12， y0＝－12， ∴ 3 ＝－a2b22 122 －12＝a2b2 ， 即 a2＝ 3 b2. 又 a2－ b2＝ (5 2 )2＝ 50 ， ∴ a2＝ 75 ， b2＝ 25. ∴ 橢圓方程為y275＋x225＝ 1. [ 點(diǎn)評(píng) ] 關(guān)于中點(diǎn)弦問(wèn)題，一般采用兩種方法解決： (1) 聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算 . (2) 利用 “ 點(diǎn)差法 ” 求解，即若橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ，直線與橢圓交于點(diǎn) A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，且弦 AB 的中點(diǎn)為 M ( x0， y0) ，則 ????? x21a2 ＋y21b2 ＝ 1 ， ①x22a2 ＋y22b2 ＝ 1. ② 由 ① － ② 得 a2( y21 － y22 ) ＋ b2( x21 － x22 ) ＝ 0 ， ∴y 1 － y 2x 1 － x 2＝－b2a2 | PF2|cos60176。 y ＝ 0 [ 思路 ] 條件涉及了距離和角度，可使用雙曲線的定義，再構(gòu)造三角形，用余弦定理，求出 a 、 b 之間的關(guān)系，即可求得漸近線方程． D [ 解析 ] 如圖，由雙曲線的定義得 | PF1| － | PF2| ＝ 2 a . 在 △ PF1Q 中，由余弦定理得 (2 7 a )2＝ | PF1|2＋ | PF2|2－2| PF1| ，| OP | ＝ 7 a ，則該雙曲線的漸近線方程為 ( ) A ． x 177。 20 ＝ 10. 方法三：如圖，由拋物線定義， | AF |＝ | AA1|＝ x1＋p2＝ x1＋ 2 ， | BF |＝ | BB1|＝ x2＋p2＝ x2＋ 2 ， ∴ | AB |＝ | AF |＋ | BF |＝ x1＋ x2＋ 4 ＝ 10. [ 點(diǎn)評(píng) ] 方法一和方法二是解決直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)的一般方法．若能具體求出交點(diǎn)坐標(biāo)，則用方法一計(jì)算弦長(zhǎng)；若是交點(diǎn)坐標(biāo)不易求出，或問(wèn)題中含有參數(shù)，則用方法二，方法三利用拋物線的定義求解，若弦不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，則不能使用此法．如下面的變式題，就是用方法二求解的： 已知橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 的離心率 e ＝32，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為 4. ( 1) 求橢圓的方程； ( 2) 設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A ， B ，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( － a ,0) ．若 | AB |＝4 25，求直線 l 的傾斜角． [ 思路 ] ( 1 ) 由離心率和菱形面積得到兩個(gè)關(guān)于 a ， b 的方程，即可求出 a ， b ； ( 2 ) 利用弦長(zhǎng)公式求解． [ 解答 ] ( 1) 由 e ＝ca＝32，得 3 a2＝ 4 c2. 再由 c2＝ a2－ b2，解得 a ＝ 2 b . 由題意可知122 a 2 b ＝ 4 ，即 ab ＝ 2. 解方程組????? a ＝ 2 b ，ab ＝ 2 ，得 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ，所以橢圓的方程為 x24＋ y2＝ 1. ( 2) 由 ( 1) 可知點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 ( － 2,0) ．設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( x1，y1) ，直線 l 的斜率為 k . 則直線 l 的方程為 y ＝ k ( x ＋ 2) ． 于是 A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組????? y ＝ k x ＋ ，x24＋ y2＝ 1.消去 y 并整理，得 (1 ＋ 4 k2) x2＋ 16 k2x ＋ ( 16 k2－ 4) ＝ 0. 由兩根之積得－ 2 x1＝16 k2－ 41 ＋ 4 k2，解得 x1＝2 － 8 k21 ＋ 4 k2. 從而 y1＝4 k1 ＋ 4 k2. 所以 | AB |＝????????－ 2 －2 － 8 k21 ＋ 4 k22＋????????4 k1 ＋ 4 k22＝4 1 ＋ k21 ＋ 4 k2. 由 | AB |＝4 25，得4 1 ＋ k21 ＋ 4 k2＝4 25. 整理得 32 k4－ 9 k2－ 23 ＝ 0 ，即 ( k2－ 1) ( 32 k2＋ 23) ＝ 0 ，解得 k ＝ 177。 這時(shí)要注意考慮 a＝ 0和 a≠0兩種情況，對(duì)雙曲線和拋物線而言，一個(gè)公共點(diǎn)的情況除 a≠0， Δ＝ 0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合時(shí)，都只有一個(gè)交點(diǎn) (此時(shí)直線與雙曲線、拋物線屬相交情況 ). (1)通過(guò)方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解； (2)點(diǎn)差法，設(shè)出兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解； (3)中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法，先設(shè)出一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助中點(diǎn)設(shè)出另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，而后消去二次項(xiàng) . 利用弦長(zhǎng)公式求解： 直線 l:y=kx+b與圓錐曲線交于 A（ x1,y1）、 B（ x2,y2），則弦長(zhǎng)為 222 1 2 1221221 2 1 2122( ) ( )1( 1 ) [ ( ) 4 ]11A B x x y yk x xk x x x xyyk? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?(1)當(dāng)斜率 k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用兩點(diǎn)間距離公式求解 . (2)利用圓錐曲線的定義求解：求經(jīng)過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度，應(yīng)用圓錐曲線的定義，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)焦半徑之和求解 . 例 1： 過(guò)點(diǎn) (0,2)與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 ( ) （ A） 1條 (B)2條 (C)3條 (D)無(wú)數(shù)多條 xy 82 ? C . P 題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 22( 0 , 3 ) 143.xyP L L ??(1) 經(jīng) 過(guò) 點(diǎn) 作 直 線 ， 若 與 雙 曲 線只 有 一 個(gè) 公 共 點(diǎn) 問(wèn) 這 樣 的 直例 2 ：線 有 幾 條 ？221488,xylA B A B l???(2) 過(guò) 雙 曲 線 的 右 焦 點(diǎn) 作 一 直 線 交 雙 曲 線于 ， 兩 點(diǎn) ， 若 則 這 樣 的 直 線 有 幾 條 ？2226,.y k x x yk? ? ? ?(3) 直 線 與 雙 曲 線 的 右 支 交 于兩 個(gè) 不 同 的 點(diǎn) 求 實(shí) 數(shù) 的 取 值 范 圍題型 一： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例 3 ： 已知橢圓 4 x2＋ y2＝ 1 及直線 y ＝ x ＋ m . (1) 當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； (2) 求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度． [ 分析 ] (1) 直線與橢圓位置關(guān)系利用方程組解的情況來(lái)判斷，從方程角度看，當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，一元二次方程根的判別式 Δ ≥ 0 ； (2) 可以結(jié)合 (1) 的結(jié)論，利用弦長(zhǎng)公式求解． 解 ： 由方程組????? 4 x2＋ y2＝ 1y ＝ x ＋ m，消去 y ，整理得 5 x2＋ 2 mx ＋ m2－ 1 ＝ 0. ( 1) ∵ 直線與橢圓有公共點(diǎn)， ∴ Δ ＝ 4 m2－ 20 ( m2－ 1) ＝ 20 － 16 m2≥ 0 ， 解之得：－52≤ m ≤52. ( 2) 由根與系數(shù)關(guān)系得 x1＋ x2＝－2 m5， x16 15