高三數(shù)學(xué)圓錐曲線-wenkub.com
2024-11-06 00:28 本頁(yè)面
【正文】 | OB | | x 2 － x 1 |， 則 S2＝ ( x 1 ＋ x 2 ＋ 2 x 1 x 2 ) y － 2 ＝ 0. [ 教師選講 ] ( 2 0 0 9 年全國(guó) Ⅰ ) 如圖， 已知拋物線 E ： y2＝ x 與圓 M ： ( x － 4)2＋ y2＝ r2( r ＞ 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四個(gè)點(diǎn)． (1 ) 求 r 的取值范圍； (2 ) 當(dāng)四邊形 ABCD 的面積最大時(shí)，求對(duì)角線 AC 、BD 的交點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【解析】 (1 ) 將 y2＝ x 代入 ( x － 4)2＋ y2＝ r2，并化簡(jiǎn)得 x2－ 7 x ＋ 16 － r2＝ 0. ① E 與 M 有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程 ① 有兩個(gè)不等的正根 x x2， 由此得????? Δ ＝ ( － 7 )2－ 4 ( 16 － r2) ＞ 0 ，x1＋ x2＝ 7 ＞ 0 ，x1x2＝ 16 － r2＞ 0.解得154＜r2＜ 16 ， 又 r ＞ 0 ，所以 r 的取值范圍是 (152， 4) ． (2 ) 不妨設(shè) E 與 M 的四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為： A ( x1， x1) 、 B ( x1，－ x1) 、 C ( x2，－ x2) 、 D ( x2，x2) ， 則直線 AC 、 BD 的方程分別為 y － x1＝－ x2－ x1x2－ x1 y ( y ≠ 0) 為所求軌跡方程 ． (1 2 分 )( 2 0 0 8 年江西高考 ) 已知拋物線 y ＝x2和三個(gè)點(diǎn) M ( x 0 ， y 0 ) 、 P (0 ， y 0 ) 、 N ( － x 0 ，y 0 )( y 0 ≠ x20 ， y 0 ＞ 0) ， 過點(diǎn) M 的一條直線交拋物線于 A 、 B 兩點(diǎn) ， AP 、 BP 的延長(zhǎng)線分別交拋物線于點(diǎn) E 、 F . ? (1)證明 E、 F、 N三點(diǎn)共線； ? (2)如果 A、 B、 M、 N四點(diǎn)共線，問：是否存在 y0，使以線段 AB為直徑的圓與拋物線有異于 A、 B的交點(diǎn)？如果存在，求出 y0的取值范圍，并求出該交點(diǎn)到直線 AB的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由． ? 【 思路點(diǎn)撥 】 證明三點(diǎn)共線可轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn) N在 EF所在的直線上；證明存在性問題，可先假設(shè)存在，再根據(jù)題意推理論證假設(shè)是否成立． 【規(guī)范解答】 ( 1 ) 證明：設(shè) A ( x 1 ， x21 ) 、 B ( x 2 ，x22 ) 、 E ( x E ， y E ) 、 F ( x F ， y F ) ， 則直線 AB 的方程為 y ＝x21 － x22x 1 － x 2( x － x 1 ) ＋ x21 ， 即 y ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) x － x 1 x 2 . 因?yàn)?M ( x0， y0) 在 AB 上，所以 y0＝ ( x1＋ x2) x0－x1x2① 2 分 又直線 AP 的方程： y ＝x21－ y0x1x ＋ y0， 由????? y ＝x21－ y0x1x ＋ y0x2＝ y，得 x2－x21－ y0x1x － y0＝ 0. 所以 x 1 ＋ x E ＝x21 － y 0x 1? x E ＝－y 0x 1， y E ＝y(tǒng)20x21， 同理， x F ＝－y 0x 2， y F ＝y(tǒng)20x22. 所以直線 EF 的方程： y ＝－ (x 1 ＋ x 2x 1 x 2) y 0 x －y20x 1 x 2. 4 分 令 x ＝－ x 0 ，得 y ＝y(tǒng) 0x 1 x 2[( x 1 ＋ x 2 ) x 0 － y 0 ] ． 將 ① 代入上式得 y ＝ y 0 ，即 N 點(diǎn)在直線EF 上， 所以 E 、 F 、 N 三點(diǎn)共線 .6 分 (2 ) 假設(shè)存在 y0滿足要求． 由已知 A 、 B 、 M 、 N 共線，有 A ( － y0， y0) ，B ( y0， y0) ， 以 AB 為直徑的圓的方程： x2＋ ( y － y0)2＝ y0， 8 分 由????? x2＋ ( y － y0)2＝ y0x2＝ y得 y2－ (2 y0－ 1) y ＋ y20－ y0＝0 ， 解得 y ＝ y0， y ＝ y0－ 1 .1 0 分 要使圓與拋物線有異于 A ， B 的交點(diǎn)，則 y 0 － 1 ≥ 0 ， 所以存在 y 0 ≥ 1 ，使以 AB 為直徑的圓與拋物線有相異于 A 、 B 的交點(diǎn) T ( x T ， y T ) ，則 y T ＝ y 0 － 1 ，所以交點(diǎn) T 到 AB 的距離為 y 0 － y T ＝ y 0 － ( y 0 － 1) ＝ 1 . 1 2 分 ? 探索性問題常見的題型有兩類：一是給出問題對(duì)象的一些特殊關(guān)系，要求解題者探索出一般規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性．通常要求對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律．二是只給出條件，要求解題者論證在此條件下，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)某個(gè)結(jié)論． ? 這類題型常以適合某種條件的結(jié)論“ 存在 ” 、 “ 不存在 ” 、 “ 是否存在 ”等語(yǔ)句表述．解答這類問題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性． 1 ． (2 0 0 9 年全國(guó) ) 已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a ＞ b＞ 0) 的離心率為33，過右焦點(diǎn) F 的直線 l 與 C相交于 A 、 B 兩點(diǎn)．當(dāng) l 的斜率為 1 時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到 l 的距離為22. (1 ) 求 a ， b 的值； (2 ) C 上是否存在點(diǎn) P ，使得當(dāng) l 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 OP→＝ OA→＋ OB→成立？若存在，求出所有的 P 的坐標(biāo)與 l 的方程；若不存在，說明理由． 【解析】 ( 1 ) 設(shè) F ( c, 0) ，當(dāng) l 的斜率為 1 時(shí)，其方程為 x － y － c ＝ 0 ， O 到 l 的距離為|0 － 0 － c |2＝c2，故c2＝22， c ＝ 1. 由 e ＝ca＝33，得 a ＝ 3 ， b ＝ a2－ c2＝ 2 . (2 ) C 上存在點(diǎn) P ，使得當(dāng) l 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 OP→＝ OA→＋ OB→成立． 由 ( 1 ) 知 C 的方程為 2 x2＋ 3 y2＝ 6. 設(shè) A ( x 1 ， y 1 ) ，B ( x 2 ， y 2 ) ． ① 當(dāng) l 不垂直于 x 軸時(shí)，設(shè) l 的方程為 y ＝
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