【正文】 后者與 A 是 {}nx {}nx].,[ BAE ?的聚點矛盾 . 故證得 , 即 從而 Ex ?0 [ , ] ,A B E?定理 設 { xn } 為有界數(shù)列 . 則有 (i) A 是 { xn } 的上極限的充要條件是 (ii) B 是 { xn } 的下極限的充要條件是 證 這里僅證 (i). 設 , 顯然 是一 su p { }nkknax?? }{ nali m su p { } 。 而 (4) 式則可由 ,kkjjnnxy?又因 (1) 與 (3) 式直接推得 . }{ nx 的最小聚點 A 理應 滿足 的聚點 , 它與 BA ?? }{ nxj ?? A? 也 是 . 由于 的極限 ,便得 取 證 這里 只證明 (i) , (ii) 可同理證明 . 設 lim , lim .nnnnA a B b? ? ? ???由定理 , 存在 N, 當 n N 時 , ,2,2 ?? ???? BbAa nn( i ) li m ( ) li m li m 。 )UB ?取 反之 , 若上式成立 , 則 的聚點惟一 (設為 A) , }{ nx一的假設相矛盾 . 另一聚點 , 導致與聚點惟 性定理 , 這無限多項必有 {}nx 的無限多項 . 由致密 0( 。 但是有界數(shù)列 數(shù)列若有界 , 它的極限可以不存在 , 此時想通過 這樣 , 上 、 下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來了 : 一個 例 1 考察以下兩個數(shù)列的上 、下極限 : lim ( 1 ) 1 , lim ( 1 ) 1 .11nnn nnnnn?? ??? ? ? ? ???1 1 1li m li m 0 ( li m ) 。 點 的一個充要條件是 : 存在 的一個子列 { },knx{}nx聚點 和 最小聚點 . 又設 ? ?| { } ,nE x x x? 是 的聚點由于 E 非空有界 , 故由確界原理 , 存在 s u p , i n f .A E A E??下面證明 A 是 { xn } 的最大聚點 , 亦即 .EA?證 設 }{ nx 為有界數(shù)列 , 由致密性定理 , 存在一個 的一個聚點 . 0 {}nxx是收斂子列 0{ } , ( ) ,kknnx x x k? ? ?于是 首先 , 由上確界的性質 , 存在 ,Ean ? 使 .Aa n ?,11 ?? 存在 ,1nx 使 。n} 的 kknn kx x x 0{ } . li m .???? ?一個收斂子列 設.但是總有,bxa kn ???因為 所以由極限的不等式性質 .0 bxa ??連續(xù) , 所以由歸結原理得到 0 l i m | ( ) ( ) |kknnk f x f x? ?? ? ????矛盾 . (證法二 ) 再用有限覆蓋定理來證明 . 00| lim ( ) lim ( ) | 0 ,x x x xf x f x?????0li m li m ( ) li m ,k k k kn n n nk k kx x x x x? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ?因為 以及 f 0, 0, ( 。f x f x ?? ????2 2 2 211, , [ , ] , | | ,22x x a b x x? ? ?? ? ??? ? ? ? ?2 2 0| ( ) ( ) | 。 ) ( , ) .NNN a b U ? ? ? ???論 存在 使的推矛 盾 . 1( 1 ) 1 2 . . .1Hn n?????????比如開區(qū)間集 ， ， 覆蓋了區(qū)間 (0, 1). 很明顯 , H 中的任何有限個開區(qū)間均不 注 定理 間 . 能覆蓋 (0, 1). 我們已經學習了關于實數(shù)完備性的六個定理 , 它 三、實數(shù)完備性定理的等價性 確界定理 單調有界定理 區(qū)間套定理 下面證明這六個定理是等價的 . 們是 : 聚點定理 有限覆蓋定理 柯西收斂準則 柯西收斂準則 區(qū)間套定理 聚點定理 確界定理 有限覆蓋定理 單調有界定理 6 5 4 3 2 1 例 3 用有限覆蓋定理證明聚點定理 . 證 設 S 是無限有界點集 , 則存在 M 0, 使得 [ , ] .S M M??, , [ , ] ,S S x M M x? ? ? ? ?若 的聚點集合 那么 任給xx x. 0 (?? ?都不是聚點 這就是說存在 表示與 有xxx x S) , ( , ) .??? ? ?關 使得 有限集在上圖的等價性關系中 , 僅 和 尚未證 明 .這里 4 6 給出 的證明 , 請大家自己閱讀教材 . 4 6 很明顯 , H 覆蓋了閉區(qū)間 [ – M, M]. 根據(jù)有限覆蓋 { ( , ) | [ , ] , 0 ,x x xH x x x M M? ? ?? ? ? ? ? ?( , ) } .xxx x S??? ? ? 有限集設開區(qū)間集 0 { ( , ) | 1 , 2 , , } .i i i iH x x i n??? ? ? ?由 H 的構造 , 有限集，??? Sxx iiii ?),( ?? 所以 有限集，???????SxxSMMS iiiini??? ),(],[1??矛盾 . 定理 , 存在 H 中的有限子覆蓋 167。 ) ,NNa b U ???所以由所建立的性質 (iii) ( 。 ) 。x U S??? ? ?取? ?2 1 2 2m i n 1 / 2 , , ( 。 ) ,?? ? 無限集即 11 , 1 ( 1 ) .nSn??? ? ? ?????是 的 兩 個 聚 點為了便于應用 ,下面介紹兩個與定義 2 等價的定義 . S R R, . 0 ,??? ? ? ? ?設 若對于任意定義 2? 定義 2″若存在各項互異的收斂數(shù)列 ,}{ Sxn ?.lim 的一個聚點稱為那么極限 Sx nn ????下面簡單敘述一下這三個定義的等價性 . 若設 S 是 [0, 1]中的無理數(shù)全體 , 則 S 的聚點 集合 ( 。 即證明數(shù)列 {an} 收斂的充要條件是 : 對任意的 證 (必要性 ) l i m , ,nn aA?? ?設 由數(shù)列極限的定義, , .nmm n N a a ?? ? ?當 時 有存在 N, ? 0, 11111 1 1, , ( , ) ,2 2 2n N NN n N a a a? ? ? ? ? ?令 存 在 時 ,1111 2111[ , ] [ , ] . ,22 2NNa b a a ?? ? ? ?取 令 存 在. , ( , ) .n N n N Na a n N a a a? ? ?? ? ? ? ? ?即 當 時( : l i m . )nNn aa?? ?注 意 這 并 不 能 說 明N n N, 0 , , ,? ??由題設 對于任意 存在 時()充分性Na??Na ??Nax2 1 2( ) , ,N N n N?? 時n N Na a a222211[ , ] ,22? ? ?a b a b b a1 1 2 2 2 2 1[ , ] [ , ] , ,2? ? ?222 2 1 1 2211[ , ] [ , ] , .22NNa b a b a a??? ? ?????取 顯 然 有nn N a a b2 2 2, [ , ] .??并且當 時......11,.22kkn N Nkka a a??? ? ?????......{ [ , ] } ,kkab這樣就得到一列閉區(qū)間 滿足k k kk N N n N11 , ( ) , ,2? ?? ? ?令 存在 當 時1111[ , ] [ , ] , .22kkk k k k N Nkka b a b a a????? ? ?????取11( i ) [ , ] [ , ] ,k k k ka b a b???1 , 2 , 。 在第一章與第二章中 , 我們已經證明了實數(shù)集中的確界定理 、 單調有界定理并給出了柯西收斂準則 . 這三個定理反映了實數(shù)的一種特性 ,這種特性稱之為完備性 . 而有理數(shù)集是不具備這