【正文】 式（28）中的最優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)可以寫成 （C1）這里，是拉格朗日乘數(shù)。把上面算法中的V用代替，矩陣可以取消，然后我們可以獲得先前的結(jié)果。但是，最后的結(jié)果是唯一的。所以，我們必須使。 注釋：注意，在式（B11）中，通常，當?shù)牧芯€性無關的時候。給出U,我們試圖找到一個可以解決以下的最優(yōu)化問題（參考式（12）） （B1）我們首先確定一個矩陣，這樣使V的列包含正交與的子空間，例如，矩陣V式列滿秩（因此是滿秩）。用式（A2）中的結(jié)果，我們可以更深入的表示式（A1）中的最優(yōu)化問題為 （A3）應用柯西施瓦茨等式，我們可以得出結(jié)論如下：（A4）式中，表示絕對值運算。ki, S. K. Mitra, and Y. Neuvo, “Iterative leastsquares synthesis of nonuniformly spaced linear arrays,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. 36, no. 3, pp. 372–380, Mar. 1988.[28] R. L. Haupt, “Thinned arrays using genetic algorithms,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 42, no. 7, pp. 993–999, Jul. 1994.[29] V. Murino, A. Trucco, and C. S. Regazzoni, “Synthesis of unequally spaced arrays by simulated annealing,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 44, no. 1, pp. 119–122, Jan. 1996.[30] S. Holm, B. Elgetun, and G. Dahl, “Properties of the beampattern of weight and layoutoptimized sparse arrays,” IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr., vol. 44, no. 5, pp. 983–991, Sep. 1997.[31] M. Viberg and C. Engdahl, “Element position considerations for robust direction ?nding using sparse arrays,” in Proc. 33rd Asilomar Conf. Signals, Syst. Comput., Paci?c Grove, CA, Nov. 1999, vol. 2, pp. 835–839.[32] R. M. Leahy and B. D. Jeffs, “On the design of maximally sparse beamforming arrays,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 39, no. 8, –1187, Aug. 1991.[33] R. W. Gerchberg and W. O. Saxton, “A practical algorithm for the determination of the phase from image and diffraction plane pictures,” Optik, vol. 35, pp. 237–246, 1972.[34] S. M. Sussman, “Leastsquare synthesis of radar ambiguity functions,”IRE Trans. Inf. Theor., vol. 8, no. 3, pp. 246–254, Apr. 1962.[35] P. Stoica, H. He, and J. Li, “New algorithms for designing unimodular sequences with good correlation properties,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 57, no. 4, pp. 141542 非均勻陣列天線波束成形技術研究–1425, Apr. 2009.[36] M. I. Skolnik, Introduction to Radar System, 3rd ed. New York: McGrawHill, 2002.[37] J. Li, Y. Xie, P. Stoica, X. Zheng, and J. Ward, “Beampattern synthesis via a matrix approach for signal power estimation,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 55, pp. 5643–5657, Dec. 2007.[38] W. Roberts, H. He, J. Li, and P. Stoica, “Probing waveform synthesis and receiver ?lter design,” IEEE Signal. Process. Mag., vol. 27, no. 4, pp. 99–112, Jul. 2010.附錄A 43附錄A在這份附錄里面，我們給出了式（13）提供的更新公式的證明。33 非均勻陣列天線波束成形技術研究 致謝 34致謝本論文是在我的指導老師王勇超老師的親切關懷和悉心指導下完成的，王老師在學業(yè)上上給我以精心指導，他嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神，精益求精的工作作風，深深地感染和激勵著我。此外，我們展示了怎樣把這個循環(huán)算法相似的用來進行用向量和矩陣權重方法設計的稀疏接收天線陣列（來逼近理想的接收波束）。 從例子中可以看出，跟先前的的一樣，矩陣和向量的稀疏陣列算法在不超過5次的循環(huán)之后可以收斂到他們的最終結(jié)果。盡管每個陣列產(chǎn)生相似的（的陣列最接近理想的值），當候選陣列更稠密時（即變?。?，陣列的都明顯變小。在每個例子中，總的候選陣列長度都保持在和之間。我們需要把算法循環(huán)5次來得到收斂。只需要陣列設計員在重新放置天線時限制可用位置，就可以輕易的限制最小間距（）。就像被證明了的，相比較于ULA，凱士陣列和加斯科陣列，稀疏陣列能產(chǎn)生最小的。圖6 天線位置（）表2 四種陣列接收波束性能比較第三章 計算機仿真 30最后，我們在圖四中展示了每個方法中天線選擇好的位置（為簡單起見，我們將用[24]的方法產(chǎn)生的陣列定義為凱士陣列，把用[27]中的方法產(chǎn)生的陣列定義為加斯科陣列）相同的，3dB表示主瓣的3dB角寬（理想波形的3dB帶寬是），PSL表示副瓣峰值水平。和我們的向量權重方法不一樣的是，[25]。為了符合收斂標準我們把算法進行5次循環(huán)。此外，我們讓（這樣理想波束在處的單元功率就可以被保持）。隨著天線數(shù)量的增加，每一個方法的PSL會減小。我們把每個波束的PSL定義為3dB主瓣外的最高副瓣的振幅。圖5 天線位置（）圖5中展示了一系列ULA天線選定的位置。圖3 ULA發(fā)射波束（）圖4 ULA發(fā)射波束（）26 非均勻陣列天線波束成形技術研究接下來，為了證明性能依賴于天線的數(shù)量，我們用個天線來重復先前的波束設計步驟。通過ULA用協(xié)方差矩陣來設計成的發(fā)射波束如圖3所示。23 非均勻陣列天線波束成形技術研究在這個例子中權重矩陣Z的對角線部分選擇為 （33）圖2 設計權值 我們假設，然后讓來確保的單元高度（看式（12））.權重值在圖2中被當做角度的函數(shù)來描繪出來。 發(fā)射波束設計實例我們首先考慮發(fā)射波束設計問題。為了使保持充分分的?。ㄟ@樣可以確保候選位置的密度），我們僅僅忽略那些被固定天線的相鄰位置。使B的第m行對應著第m個天線的新位置。2） 天線選擇：。給出v，遵守的式（28）的閉合形式最小值可以直接得到 （30）第二步。注意，在式（28）中，我們規(guī)定，而不是（一個非線性約束），因為一個變成v的元素的線性相位肯定不會影響到式（26）中的合成波束。在這種假設下，我們簡化成一個相控陣主動遙感系統(tǒng)（1）。接下來，我們將演示通過矩陣權重設計稀疏接收陣列的循環(huán)算法如何被修改成用向量權重設計接收波束成形的方法。跟式（9）中一樣，我們把V限制在正半軸，這個我們可以從（20）中得到。同樣的，我們讓對應著接收天線位置矩陣的行和列。跟式（2）相似，ULA的接受方向向量可以表示為 （18）式中，表示接收天線之間的最小間距，表示接收天線的總數(shù)，表示關于矩陣的寬邊的接收陣列操縱方向（）。傳統(tǒng)的接收波束成形設計都采用向量權重方法。用這種方式，可以使我們在天線選擇中有充分自由的同時，還能調(diào)節(jié)設計約束。此外，我們重復所有的步驟只到達到收斂標準，也就是在一個循環(huán)中沒有天線的位置被移動。如果我們假設剩下的個天線的位置暫時是固定的，那么剩下的個位置暫時沒有被天線占據(jù)。 第三步：重復第一步和第二步知道符合收斂標準，就像（式中，和表示在第i次循環(huán)中更新的矩陣值）。假設R的初始值已經(jīng)被指定了，我們可以用來初始化W，一旦獲得了W的初始值，我們可以直接用一個循環(huán)算法來最小化式（12）中的最優(yōu)化標準，步驟如下：第一步：給出W，式（12）中的最小化矩陣U的列可以用下式來計算： （13）式中，代表矩陣U的第k列，式（13）的求證在附錄A中。例如，如果值被設定在單位值，然后相同的權重會被用于整個角域的每個網(wǎng)格點。1）通過循環(huán)算法確定R：假設一組天線的位置已經(jīng)被指定的（也就是方向矩陣被指定了），我們首先描述一個怎么設計R來逼近理想波束。稀疏MIMO發(fā)射波束設計的目標是確定一組個天線的位置和相應的波形協(xié)防差矩陣R，這樣就可以使（8）可以更好的逼近（7）中的理想波束。用跟（6）相似的方式，我們可以定義一個理想的實數(shù)發(fā)射波束為 （7）為了稀疏矩陣設計，我們假設只有在天線個數(shù)的時候，對于發(fā)射器來說才是可用的。 問題模型 給出一個長度為含有個天線的均勻線性陣列（ULA），表示發(fā)射天線之間的間距。和分別表示一個實數(shù)的LM矩陣和一個復數(shù)的LM矩陣。注釋：我們分別用黑體小寫字母和大寫字母表示向量和矩陣。我們將通過稀疏陣列天線的設計來描述可以用于逼近所需的發(fā)射和接受波束的循環(huán)算法（我們的循環(huán)方法類似于那些已經(jīng)被采用的，區(qū)別是循環(huán)周期不同）。同樣的，[26]中描述的算法把天線的順序添加用于一個系統(tǒng)，這樣天線權重和位置在每一次添加后都被最優(yōu)化。更多近代的方法尋求通過最優(yōu)化策略設計接受天線方位和波束權重的方法，包括單一型探索和分支定界技術。此外，先前的科學家試著去避免為了控制旁瓣水平而逐漸減少的均勻天線，均勻天線的減少會導致主瓣寬度增加。此外，[12]展示了波束匹配和最小化旁瓣水平設計方法，而且，還給出了率先確定所需波束的方法。