【正文】 硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長?！祭?〗【解題思路和方法】 公約公倍問題【含義】 把四種顏色的球的總數(shù)（3＋3＋3＋2）＝11 人的頭發(fā)不超過20萬根，可看作20萬個(gè)“抽屜”，3645萬人可看作3645萬個(gè)“元素”，把3645萬個(gè)“元素”放到20萬個(gè)“抽屜”中，得到育才小學(xué)有367個(gè)1999年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天的？解:【解題思路和方法】這兩種情況可用一句話表示：一定有一個(gè)抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。如圖。9274685103然后確定四個(gè)角的數(shù)。最大數(shù)是7： 18＝7＋6＋5最大數(shù)是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4最大數(shù)是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4最大數(shù)是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋33＝18 假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對(duì)角線共8行上的三個(gè)數(shù)之和都等于18，我們看18能寫成哪三個(gè)數(shù)之和： 把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個(gè)數(shù)填到九個(gè)方格中，使每行、每列、以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等。所以 即 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝154276951438九個(gè)數(shù)在這八條線上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻和時(shí)，每個(gè)數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個(gè)數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對(duì)角線這四條線上），四角的四個(gè)數(shù)各用到三次，其余的四個(gè)數(shù)各用到兩次。 幻和的3倍正好等于這九個(gè)數(shù)的和，所以幻和為〖例1〗 把nn個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。在這五個(gè)算式中，4出現(xiàn)三次，其余的7各出現(xiàn)兩次，因此，4應(yīng)位于三條線的交點(diǎn)處，其余數(shù)都位于兩條線的交點(diǎn)處。 把12拆成1到7這七個(gè)數(shù)中三個(gè)不同數(shù)的和，有幾種寫法？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種圖形，填入這七個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)只填一處，且每條線上三個(gè)數(shù)的和都等于12。 符合題目要求的圖形是一個(gè)三角形，每邊栽4棵樹，三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)應(yīng)減去，正好9棵。 九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請(qǐng)你想法子。45247。 符合題目要求的圖形應(yīng)是一個(gè)五角星。 根據(jù)不同題目的要求而定。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計(jì)出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中。500＝%答：%。2＝30鹽水500＋250＝750鹽30第而次把乙中一半倒入甲中后鹽水250＋375＝625鹽30＋15＝45鹽水750247。 由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會(huì)知所求的濃度。 甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。 600－200＝400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。這樣，每“換掉”100克，就會(huì)減少糖 假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會(huì)多出（1－30%）－50＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。 5016%247。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。 銀行定期整存整取的年利率是：%，%，五年期9%。1200247。又因?yàn)橐阎吕剩? 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式?！緮?shù)量關(guān)系】 乙店進(jìn)貨價(jià)為甲店定價(jià)為 某種商品，甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)便宜10%，甲店按30%的利潤定價(jià)，乙店按20%的利潤定價(jià)，結(jié)果乙店的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴6元，求乙店的定價(jià)。 （＋）247。 120040%86%－120040%80%＝（元）剩下的作業(yè)本每冊(cè)盈利剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實(shí)際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即 ，按期望獲得40%的利潤定價(jià)出售，當(dāng)銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%。50＝4%答：該店是盈利的，盈利率是4%。 52247。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價(jià)，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？解:利潤率＝（售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)）247。 這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。第二種方法： （5＋1）5247。 有一個(gè)三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。（3）原有棋子數(shù)＝77－9＝40（只）答：棋子有40只。 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個(gè)？解:4－1＝6（人） 有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？解:答：全方陣84人。 在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？解: 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）層數(shù)4【解題思路和方法】 空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）?（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：4＋1第二種方法： （5＋1）5247。 有一個(gè)三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。2＝7（只）〖例4〗（2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28247。 10－（10－32） ＝84（人） 有一個(gè)3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。 方陣問題有實(shí)心與空心兩種。內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)2 （3） 若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）?4＋1 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）4【數(shù)量關(guān)系】 100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。 假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3100－100）個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們?cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃（3－1/3）個(gè)。（4＋2）＝20（只）日記本數(shù)＝45－15＝30（本）答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。5－1247。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有 此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。兔數(shù)＝35－23＝12（只） 假設(shè)35只全為兔，則〖例1〗 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。兔數(shù)＝（2雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）247。 第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有 假設(shè)全都是兔，則有【數(shù)量關(guān)系】 第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有 雞兔同籠問題【含義】 17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小 時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是 10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1510＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量所以， （10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為: 這是一道變相的“牛吃草”問題?！祭?〗（20－10）＝5 （2）求原有草量 原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝11510－510＝100 （3）求5 天內(nèi)草總量 5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋55＝125 （4）求多少頭牛5 天吃完草問多少頭牛5天可以把草吃完？解: 草總量＝原有草量＋草每天生長量天數(shù)【解題思路和方法】烘前重量100%及格率＝及格人數(shù)247。小麥重量100%出油率＝油的重量247。應(yīng)出勤天數(shù)100%缺席率＝缺席人數(shù)247。 百分?jǐn)?shù)又叫百分率，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣，常見的百分率有： 增長率＝增長數(shù)247。（2）女職工占 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解:或者 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？ 或者 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 720247。 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解:百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。 百分?jǐn)?shù)問題【含義】 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個(gè)車間共多少人？人 大兒子：179/17＝91/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2解： 用60厘米長的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。 三班植樹 二班植樹 一班植樹〖例1〗 所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。 A＝4525∶B＝20∶16寬＝長可知，當(dāng)長一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。 X＝10〖例4〗 24∶36＝X∶15 X＝914247?！祭?〗 由條件知，公路總長不變。 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題?！緮?shù)量關(guān)系】（12）＝≈9（個(gè)）16（15－5）＝1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為（145），2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1215），從而可知 每小時(shí)的排水量為往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率?！祭?〗15＝4 乙：現(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解： 24247。 4＋3 上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為［1247。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解一:1/6＝6（天）答：兩隊(duì)合做需要6天完成。 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解:（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。問有多少車？多少人？解: 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247?！祭?〗（1）有小朋友多少人？問有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？解:分配差【解題思路和方法】分配差如果兩次都盈或都虧，則有： 盈虧問題【含義】這實(shí)際上是一個(gè)追及問題。 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？解: 20247。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。〖例1〗 分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為11/12。 時(shí)鐘問題【含義】（88－58）＝25（米）進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（2558）米，因此，車長為 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。（22－17）＝73（秒） 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長度是多少米？解: 9003＝2700（米）（2）這列火車長多少米？ 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。 火車相遇： 相遇時(shí)間＝（甲車長＋乙車長＋距離）247?！緮?shù)量關(guān)系】（576＋24）＝（小時(shí)）列成綜合算式 ［（576－24）3］247。15＋8＝32（千米）乙船順?biāo)贋?（36－20）247。甲船速＋水速＝360247。10＝32（小時(shí)）8－15＝25（千米）船的逆水速為 由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?20247。 逆水速＝船速2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲?【解題思路和方法】2＝水速【數(shù)量關(guān)系】 □＝42－19＝23（歲）11 △＝61－19＝42（歲）表中兩個(gè)“□”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“△”表示同一個(gè)數(shù)。 △歲 4歲 61歲 □歲 年將來某一年求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解: 這里涉及到三個(gè)年份：過去某一年、今年、將來某一年。 114＝44（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解: 37－7＝30（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 30247?！祭?〗【解題思路和方法】（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 222＝44（盞） 10 500247。＝400（塊）〖例4〗 一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場，每邊長220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？解: 一個(gè)圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解: 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 棵數(shù)＝距離247。三角形植樹 棵數(shù)＝距離247。環(huán)形植樹按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這