【正文】 將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。由此可知一池水的總工作量為又因為在2小時內，每個進水管的注水量為 正反比例問題【含義】 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。 張晗做4道應用題用28分鐘，照這樣計算，91分鐘能做幾道應用題？解： 做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系 設91分鐘可以做X應用題 28X＝91428 X＝13〖例3〗 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。A∶36＝20∶16 B＝20所以，大矩形面積為這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數。 總份數＝比的前后項之和【解題思路和方法】 學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解：三條邊的長各是多少厘米？解： 603/12＝15（厘米） 如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解?？偡輸担?＋6＋2＝17 數80人一共多少人？對應的份數12－88＋12＋21解： 百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。【數量關系】 （1）用去的占（720＋6480）＝10% 6480247。 1－420247。 525247。 （1）男職工占 525247。原來基數100% 合格率＝合格產品數247。實有總人數100%發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數247。油料重量100%廢品率＝廢品數量247。參加考試人數100%19 “牛吃草”問題【含義】 “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量天數。 11510＝原有草量＋10天內生長量由此可知因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發(fā)現漏洞時已經進了一些水。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。 14247。 30247。 這是古典的算術問題。（4＋2）如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。也可以先假設35只全為雞，“每畝菠菜施肥（1247。白菜畝數＝（9－1247。2）＝10（畝）〖例3〗假設45本全都是日記本，則有〖例4〗雞數＝100－20＝80（只）〖例5〗因此，共有小和尚 21（1） 方陣每邊人數與四周人數的關系：（2） 方陣總人數的求法： 實心方陣：總人數＝每邊人數每邊人數實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。解: 有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？解:4－1＝6（人） 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？解:（3）原有棋子數＝77－9＝40（只）答：棋子有40只。這個樹林一共有多少棵樹？解:2＝15（棵） 答：這個三角形樹林一共有15棵樹。 四周人數＝（每邊人數－1）4 方陣問題有實心與空心兩種?！祭?〗 （1）中空方陣外層每邊人數＝52247。（3）中空方陣的總人數＝1414－66＝160（人）答：這隊學生共160人。 （1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）這個樹林一共有多少棵樹？解:2＝15（棵）答：這個三角形樹林一共有15棵樹?！緮盗筷P系】進貨價100%虧損＝進貨價－售價〖例1〗〖例2〗 要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。80%247。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？解: 247。［（1＋40%）］＝80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。解: （1＋30%）＝ 6247。 200＝240（元） 答：乙店的定價是240元。 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。 年（月）利率＝利息247。 因為存款期內的總利息是（1488－1200）元，（1488－1200）247。所以存款月數為%＝30（月）答：李大強的存款期是30月即兩年半。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。 100009%5＝4500（元） 4500－＝（元） 答：乙的收益較多。溶質的量在溶液的量中所占的百分數叫濃度，也叫百分比濃度。溶液＝溶劑＋溶質〖例1〗10%－50＝30（克）600（30%－25%）＝30（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液）把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。下面列表推算：甲容器乙容器原2＝375鹽30247。 25“構圖布數”問題的關鍵是要符合所給的條件?！窘忸}思路和方法】〖例1〗2＝10因為五角星的5條邊交叉重復，應減去一半。解:〖例3〗 43－3＝9解: 12＝1＋5＋6 12＝2＋4＋6據此，我們可以設計出以下三種圖形：最簡單的幻方是三級幻方。三級幻方的幻和＝45247。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）247。看來，用到四次的“中心數”地位重要，宜優(yōu)先考慮。 Χ＝5接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數的位置，它們分別在四個角，再確定其余四個奇數的位置，它們分別在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結果。解:剛好寫成8個算式。 首先確定正中間方格的數。四個角的數都用了三次，而上述8個算式中只有3被用了三次，所以3應填在四個角上。 27這就是數學中的抽屜原則問題。抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有km＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。（1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說明理由，得出結論。 由于1999年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜”，把367個1999年出生的學生看作367個“元素”。〖例2〗3645247。 根據抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數一樣多。 一個袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。 看作11個“抽屜”，那么，至少要?。?1＋1）個球才能保證至少有4個球的顏色相同。 需要用公約數、公倍數來解答的應用題叫做公約數、公倍數問題。 先確定題目中要用最大公約數或者最小公倍數，再求出答案。 60和56的最大公約數是4。答：正方形的邊。問正方形的邊長是多少？解: 絕大多數要用最大公約數、最小公倍數來解答。 28某人閉著眼睛從中取出若干個，試問他至少要取多少個球，才能保證至少有4個球顏色相同？解:〖例3〗 據說人的頭發(fā)不超過20萬跟，如果陜西省有3645萬人，根據這些數據，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數一樣多嗎？解:這說明至少有2個學生的生日是同一天的。通俗地說，如果元素的個數是抽屜個數的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。 基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。 把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現哪些結果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。最后確定其它方格中的數。觀察上述8個算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應填6。 （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）247?！祭?〗設“中心數”為Χ，因為Χ出現在四條線上，而每條線上三個數之和等于15，所以3＝15解:5＝65【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數，然后再確定其它方格中的數。 每行、每列、每條對角線上各數的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。 幻方問題【含義】 12＝3＋4＋5 12＝2＋3＋7 12＝1＋4＋7解: 一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上?！祭?〗解:按照題意來構圖布數，符合題目所給的條件。 這是一種數學游戲，也是現實生活中常用的數學問題。 24247。2＝250鹽60247。解:需要30%的溶液15）＝200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。 100（30%－15%）＝15（克）于是，我們設想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解: 50（1－16%）247。 （1）需要加水多少克？溶液100%【解題思路和方法】 簡單的題可直接利用公式，復雜的題變通后再利用公式。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質、溶液、濃度這幾個量的關系。 溶液濃度問題【含義】 甲的總利息［10000%2＋［10000（1＋%2）］%3＝1584＋11584%3＝（元） 乙的總利息〖例2〗（1488－1200）247。 李大強存入銀行1200元，%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。存款年（月）數100% 利息＝本金存款年（月）數年（月）利率本利和＝本金＋利息＝本金［1＋年（月）利率存款年（月）數］【解題思路和方法】年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數。 存款利率問題【含義】 1（1＋20%）＝由此可得 1－10%＝〖例4〗從題意可知，（1＋40%），所以關鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。 （52－50）247。80%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以成本為 某服裝店因搬遷，店內商品八折銷售。1－（1＋10%）（1－10%）＝1%答：二月份比原價下降了1%。 設這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）（1－10%），所以二月份售價比原價下降了進貨價100%【解題思路和方法】 簡單的題可以直接利用公式，復雜的題變通后利用公式。售價＝進貨價（1＋利潤率）利潤＝售價－進貨價 商品利潤問題【含義】 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）2＝7（只）〖例4〗（2）中空方陣內層每邊人數＝28247。解:答：參加體操表演的同學一共有484人。 2222＝484（人）〖例1〗 每邊人數＝四周人數247。【數量關系】（1）方陣每邊人數與四周人數的關系： 方陣問題【含義】 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）〖例5〗（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數＝（13＋1）247。4＋1＝14（人）〖例3〗〖例2〗 在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？解: 總人數＝（每邊人數－層數）層數4【解題思路和方法】 每邊人數＝四周人數247。 將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。（3－1/3）＝75（人）共有大和尚 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？解: 假設100只全都是雞，則有 兔數＝（2100－80）247。（－）＝15（本）問作業(yè)本和日記本各買了多少本？解:（3247。5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？解:（4－2）＝23（只）請你仔細算一算，多少兔子多少雞？解:通過先假設，再置換，使問題得到解決。（4＋2）【解題思路和方法】（4－2）（4－2）已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。20 原有水量＝1123－3小時進水量＝36－23＝30（3）求17人幾小時淘完 因為，3小時內的總水量＝1123＝原有水量＋3小時進水量求17人幾小時可以淘完？解:5＝25（頭）答：需要5頭牛5