【正文】 將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。由此可知一池水的總工作量為又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為 正反比例問(wèn)題【含義】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)的倍比問(wèn)題基本類似。 張晗做4道應(yīng)用題用28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘能做幾道應(yīng)用題？解： 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系 設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 28X＝91428 X＝13〖例3〗 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。A∶36＝20∶16 B＝20所以，大矩形面積為這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。 總份數(shù)＝比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？解：三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？解： 603/12＝15（厘米） 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解?？偡輸?shù)：9＋6＋2＝17 數(shù)80人一共多少人？對(duì)應(yīng)的份數(shù)12－88＋12＋21解： 百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 （1）用去的占（720＋6480）＝10% 6480247。 1－420247。 525247。 （1）男職工占 525247。原來(lái)基數(shù)100% 合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)247。實(shí)有總?cè)藬?shù)100%發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)247。油料重量100%廢品率＝廢品數(shù)量247。參加考試人數(shù)100%19 “牛吃草”問(wèn)題【含義】 “牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。 草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量天數(shù)。 11510＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量由此可知因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。與上題不同的是，最后一問(wèn)給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。 14247。 30247。 這是古典的算術(shù)問(wèn)題。（4＋2）如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。 長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。也可以先假設(shè)35只全為雞，“每畝菠菜施肥（1247。白菜畝數(shù)＝（9－1247。2）＝10（畝）〖例3〗假設(shè)45本全都是日記本，則有〖例4〗雞數(shù)＝100－20＝80（只）〖例5〗因此，共有小和尚 21（1） 方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：（2） 方陣總?cè)藬?shù)的求法： 實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)每邊人數(shù)實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。解: 有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？解:4－1＝6（人） 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少9只棋子，問(wèn)有棋子多少個(gè)？解:（3）原有棋子數(shù)＝77－9＝40（只）答：棋子有40只。這個(gè)樹林一共有多少棵樹？解:2＝15（棵） 答：這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹。 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）4 方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種?！祭?〗 （1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52247。（3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝1414－66＝160（人）答：這隊(duì)學(xué)生共160人。 （1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）這個(gè)樹林一共有多少棵樹？解:2＝15（棵）答：這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹?！緮?shù)量關(guān)系】進(jìn)貨價(jià)100%虧損＝進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)〖例1〗〖例2〗 要知虧還是盈，得知實(shí)際售價(jià)52元比成本少多少或多多少元，進(jìn)而需知成本。80%247。問(wèn)剩下的作業(yè)本出售時(shí)按定價(jià)打了多少折扣？解: 247。［（1＋40%）］＝80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價(jià)的八折出售的。解: （1＋30%）＝ 6247。 200＝240（元） 答：乙店的定價(jià)是240元。 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。 年（月）利率＝利息247。 因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是（1488－1200）元，（1488－1200）247。所以存款月數(shù)為%＝30（月）答：李大強(qiáng)的存款期是30月即兩年半。如果甲乙二人同時(shí)各存入1萬(wàn)元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。 100009%5＝4500（元） 4500－＝（元） 答：乙的收益較多。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。溶液＝溶劑＋溶質(zhì)〖例1〗10%－50＝30（克）600（30%－25%）＝30（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液）把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。下面列表推算：甲容器乙容器原2＝375鹽30247。 25“構(gòu)圖布數(shù)”問(wèn)題的關(guān)鍵是要符合所給的條件?！窘忸}思路和方法】〖例1〗2＝10因?yàn)槲褰切堑?條邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。解:〖例3〗 43－3＝9解: 12＝1＋5＋6 12＝2＋4＋6據(jù)此，我們可以設(shè)計(jì)出以下三種圖形：最簡(jiǎn)單的幻方是三級(jí)幻方。三級(jí)幻方的幻和＝45247。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）247。看來(lái)，用到四次的“中心數(shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。 Χ＝5接著用奇偶分析法尋找其余四個(gè)偶數(shù)的位置，它們分別在四個(gè)角，再確定其余四個(gè)奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進(jìn)一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。解:剛好寫成8個(gè)算式。 首先確定正中間方格的數(shù)。四個(gè)角的數(shù)都用了三次，而上述8個(gè)算式中只有3被用了三次，所以3應(yīng)填在四個(gè)角上。 27這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問(wèn)題。抽屜原則可以推廣為：如果有m個(gè)抽屜，有km＋r（0＜r≤m）個(gè)元素那么至少有一個(gè)抽屜中要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。（1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說(shuō)明理由，得出結(jié)論。 由于1999年是潤(rùn)年，全年共有366天，可以看作366個(gè)“抽屜”，把367個(gè)1999年出生的學(xué)生看作367個(gè)“元素”?！祭?〗3645247。 根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。 一個(gè)袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。 看作11個(gè)“抽屜”，那么，至少要?。?1＋1）個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。 需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來(lái)解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問(wèn)題。 先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。 60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊。問(wèn)正方形的邊長(zhǎng)是多少？解: 絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來(lái)解答。 28某人閉著眼睛從中取出若干個(gè)，試問(wèn)他至少要取多少個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)球顏色相同？解:〖例3〗 據(jù)說(shuō)人的頭發(fā)不超過(guò)20萬(wàn)跟，如果陜西省有3645萬(wàn)人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？解:這說(shuō)明至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。通俗地說(shuō)，如果元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。 基本的抽屜原則是：如果把n＋1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。 把3只蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜中，會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進(jìn)一個(gè)抽屜，剩下的一個(gè)放進(jìn)另一個(gè)抽屜；要么把3只蘋果都放進(jìn)同一個(gè)抽屜中。最后確定其它方格中的數(shù)。觀察上述8個(gè)算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應(yīng)填6。 （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）247?！祭?〗設(shè)“中心數(shù)”為Χ，因?yàn)棣冻霈F(xiàn)在四條線上，而每條線上三個(gè)數(shù)之和等于15，所以3＝15解:5＝65【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對(duì)角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。 每行、每列、每條對(duì)角線上各數(shù)的和都相等，這個(gè)“和”叫做“幻和”。 幻方問(wèn)題【含義】 12＝3＋4＋5 12＝2＋3＋7 12＝1＋4＋7解: 一個(gè)三角形的頂點(diǎn)在另一個(gè)三角形底邊的中線上?！祭?〗解:按照題意來(lái)構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。 這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實(shí)生活中常用的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 24247。2＝250鹽60247。解:需要30%的溶液15）＝200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。 100（30%－15%）＝15（克）于是，我們?cè)O(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來(lái)“換掉”一部分30%的溶液。 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解: 50（1－16%）247。 （1）需要加水多少克？溶液100%【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題可直接利用公式，復(fù)雜的題變通后再利用公式。這類問(wèn)題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。 溶液濃度問(wèn)題【含義】 甲的總利息［10000%2＋［10000（1＋%2）］%3＝1584＋11584%3＝（元） 乙的總利息〖例2〗（1488－1200）247。 李大強(qiáng)存入銀行1200元，%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長(zhǎng)。存款年（月）數(shù)100% 利息＝本金存款年（月）數(shù)年（月）利率本利和＝本金＋利息＝本金［1＋年（月）利率存款年（月）數(shù)］【解題思路和方法】年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。 存款利率問(wèn)題【含義】 1（1＋20%）＝由此可得 1－10%＝〖例4〗從題意可知，（1＋40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每?jī)?cè)的實(shí)際售價(jià)，為此要知道剩下的每?jī)?cè)盈利多少元。 （52－50）247。80%）元；又因?yàn)樵瓋r(jià)是按期望盈利30%定的，所以成本為 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。1－（1＋10%）（1－10%）＝1%答：二月份比原價(jià)下降了1%。 設(shè)這種商品的原價(jià)為1，則一月份售價(jià)為（1＋10%），二月份的售價(jià)為（1＋10%）（1－10%），所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了進(jìn)貨價(jià)100%【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題可以直接利用公式，復(fù)雜的題變通后利用公式。售價(jià)＝進(jìn)貨價(jià)（1＋利潤(rùn)率）利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)貨價(jià) 商品利潤(rùn)問(wèn)題【含義】 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）2＝7（只）〖例4〗（2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28247。解:答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。 2222＝484（人）〖例1〗 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)247?！緮?shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 方陣問(wèn)題【含義】 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）〖例5〗（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）247。4＋1＝14（人）〖例3〗〖例2〗 在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？解: 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）層數(shù)4【解題思路和方法】 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)247。 將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。（3－1/3）＝75（人）共有大和尚 有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問(wèn)大小和尚各多少人？解: 假設(shè)100只全都是雞，則有 兔數(shù)＝（2100－80）247。（－）＝15（本）問(wèn)作業(yè)本和日記本各買了多少本？解:（3247。5）千克”與“每只兔有4只腳”相對(duì)應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？解:（4－2）＝23（只）請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？解:通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。（4＋2）【解題思路和方法】（4－2）（4－2）已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。20 原有水量＝1123－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－23＝30（3）求17人幾小時(shí)淘完 因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1123＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量求17人幾小時(shí)可以淘完？解:5＝25（頭）答：需要5頭牛5