【正文】 , ∴∠ OAC=∠ OCA=∠ AOC=60176。 (2)若 S△ AOC=? ,求 DE的長(zhǎng) 。,∠ BAC的平分線交 BC于點(diǎn) O,OC=1, 以點(diǎn) O為圓心 ,OC為半徑作半圓 . (1)求證 :AB為☉ O的切線 。 (2)若 tan∠ P=? ,AD=6,求線段 AE的長(zhǎng) . ? 34解析 (1)PC與☉ O相切 ,理由如下 : 連接 OC,∵ AC平分 ∠ EAB,∴∠ EAC=∠ CAB,又 OA=OC, ∴∠ CAB=∠ ACO,∴∠ EAC=∠ ACO, ∴ OC∥ AD,而 AD⊥ PD,∴∠ OCP=∠ D=90176。 (2)已知 AB=10,BC= DFGE是矩形時(shí)☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵ ☉ O與 AB、 AC分別相切于點(diǎn) D、 E, ∴ AD=AE,∴∠ ADE=∠ AED. ∵ DE∥ BC, ∴∠ B=∠ ADE,∠ C=∠ AED. ∴∠ B=∠ C,∴ AB=AC.? (4分 ) (2)如圖 ,連接 AO,交 DE于點(diǎn) M,延長(zhǎng) AO交 BC于點(diǎn) N,連接 OE、 ☉ O的半徑為 r. ? ∵ 四邊形 DFGE是矩形 ,∴∠ DFG=90176。.∴∠ 1=∠ G. 而 ∠ 1=∠ 2, ∴∠ 2=∠ G.∴ FC=FG.? (4分 ) (2)連接 AC. ∵ AB⊥ BG, ∴ AC是☉ O的直徑 .? (5分 ) 又 ∵ FD是☉ O的切線 ,切點(diǎn)為 C, ∴ AC⊥ DF. ∴∠ 1+∠ 4=90176。.? (6分 ) 又 ∵∠ C=∠ ODC=90176。角的直角三角形 ,可求 DE,DF的長(zhǎng) ,進(jìn)而可求四邊形 ACDE的面 積 . ? 129.(2022廣西南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。 ② 由 ∠ ACD=? ∠ AOD=30176。=40176。.∵ CD切☉ O于 D,∴∠ ODC=90176。,所以 ∠ A=∠ DBC=35176。,∴ BC⊥ AC. 又 OE⊥ AC,∴ OE∥ BC. ∴ △ BDH∽ △ OEH. ∴ ? =? ,即 ? =? . 122 2222 22 12212?BDOEBHOH BDr BHr∴ BD=BH=? a. ∴ CD=BC+BD=a+? a=? a. (也可利用平行線性質(zhì)、對(duì)頂角相等和等腰三角形的性質(zhì)與判定證明 BD=BH) 212?212? 212?評(píng)析 本題是一道綜合性較強(qiáng)的幾何計(jì)算題 ,主要考查了圓的切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、等 腰三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)的綜 合應(yīng)用 ,其解題關(guān)鍵是通過三角形相似 ,得到 BD=BH,從而求出線段 CD的長(zhǎng) ,屬較難題 . 5.(2022山東青島 ,12,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BD,CD分別是過☉ O上點(diǎn) B,C的切線 ,且 ∠ BDC =110176。,所 以 ∠ ACD=176。. 22BC AB? 2210 6?CD︵ BD︵212∴∠ DOB=2∠ DAB=60176。 (2)如圖② ,若 ∠ CAB=60176。90176。,∴ OC=? AF=OF=OE,∴ 點(diǎn) C在☉ O上 .? (8分 ) ∵∠ FEC=15176。.? (8分 ) 連接 OC,由 (2)知 ,∠ ACF=90176。,∠ OEF=45176。45176。,∴∠ FCH=45176。,∴∠ FEC+∠ AEB=90176。 (3)連接 AF,過 A,E,F三點(diǎn)作圓 ,如圖 EC=4,∠ CEF=15176。. 又 ∵ OD∥ BC, ∴∠ AEO=∠ ACB=90176。, ∠ ACB+∠ ACT=180176。 (3)在 (2)的條件下 ,如圖 3,連接 BD,E為☉ O上一點(diǎn) ,連接 DE交 BC于點(diǎn) Q、交 AB于點(diǎn) N,連接 OE,BF 為☉ O的弦 ,BF⊥ OE于點(diǎn) R,交 DE于點(diǎn) G,若 ∠ ACD∠ ABD=2∠ BDN,AC=5? ,BN=3? ,tan∠ ABC=? ,求 BF的長(zhǎng) . ? BC︵5 512解析 (1)證明 :∵ OD⊥ BC, ∴ BH=HC,? (1分 ) ∵ OA=OB,∴ OH=? AC, ∴ AC=2OH.? (3分 ) (2)證明 :∵ OD⊥ BC,∴ ? =?, ? (4分 ) ∴∠ BCD=∠ CAD,? (5分 ) ∵∠ APB=∠ ACB+∠ CAD,∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD, ∴∠ ACD=∠ APB.? (6分 ) (3)如圖 ,連接 AF,在 AB上截取 AM=AC,連接 DM, ? 由 (2)知 ? =?, ∴∠ 1=∠ 2,BD=DC, 12BD︵ DC︵BD︵ DC︵又 ∵ AD=AD,∴ △ ADM≌ △ ADC,∴∠ AMD=∠ ACD,DM=DC, ∴ BD=DM,∵∠ ACD=∠ ABD+2∠ 3,∠ AMD=∠ ABD+∠ BDM, ∴∠ BDM=2∠ 3,∴∠ 3=∠ MDN,∴ DN⊥ AB.? (7分 ) ∵ OE⊥ BF,∴∠ 5+∠ 8=∠ 6+∠ 9=90176。,? (8分 ) 又 ∵∠ FBA=∠ FDB, ∴∠ FDB=30176。, 又 ∵∠ CAD+∠ FAC=180176。∠ A(∠ ADO+∠ AEO)=50176?！?BDO)+(180176。. ? 答案 50 解析 因?yàn)?∠ A=65176。+70176。. 評(píng)析 本題考查同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理的推論 ,屬容易題 . 12.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,在☉ O的內(nèi)接五邊形 ABCDE中 ,∠ CAD=35176。=80176。=100176。sin D=8 ? =2. 1411.(2022江西南昌 ,10,3分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C在☉ O上 ,CO的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn) D,∠ A=50176。=62176。. ? 答案 62 解析 ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, ∴ AE=? PA =? a,∠ APC=60176。當(dāng) I在△ ABC的外部時(shí) ,如圖 2,∠ A+? ∠ BIC=180176。. ? 7.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設(shè) I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176。. ? AB︵答案 119 解析 如圖 ,在扇形 AOB所在圓優(yōu)弧 AB上取一點(diǎn) D,連接 DA,DB.∵∠ AOB=122176。.因?yàn)?OB=OC=1,所以 ∠ OCB=30176。.∵ OM=OC,∴ △ MOC為等邊三角形 .∵ AB=8,∴ MC=OM =4.∴ △ PMN的周長(zhǎng)的最小值為 1+4= B. ? BM︵3.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,16,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于半徑為 5的☉ O,圓心 O到弦 BC的距離等于 3,則 ∠ A 的正切值等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 35 45 34 43答案 D 連接 CO并延長(zhǎng)交☉ O于點(diǎn) D,則 CD為☉ O的直徑 ,連接 BD,作 OE⊥ BC交 BC于點(diǎn) E, 依題意可得 BD=2OE=6,又 CD=25=10, 所以 BC=? =8,所以 tan D=? =? =? . ? 又因?yàn)?∠ A=∠ D,所以 tan A=? ,故選 D. 22CD BD?BCBD 86 4343評(píng)析 本題綜合考查圓周角定理 ,垂徑定理 ,解直角三角形等有關(guān)知識(shí) ,屬中等難度題 . 4.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )如圖 ,CD是☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD于 E,連接 BC, 正確的是 ? ( ) ? =BE B.?=? =DE D.∠ DBC=90176。,∴∠ MOB=40176。,因?yàn)?∠ A+∠ BCD=180176。 176。. ∵ AC=8,AB=25=10,∴ BC=? =6.? (5分 ) 又 ∵∠ BCA=∠ ABE=90176。.? (1分 ) ∴∠ BAE+∠ E=90176。 (2)連接 BE交 AC于點(diǎn) F,若 cos∠ CAD=? ,求 ? 的值 . ? 45 AFFC解析 (1)證明 :連接 OC. ∵ CD為☉ O的切線 ,且 AD⊥ CD, ∴ AD∥ OC,? (1分 ) ∴∠ CAD=∠ ACO. ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ ACO, ∴∠ CAD=∠ CAO,即 AC平分 ∠ DAB.? (3分 ) ? (2)連接 BC,記 OC交 BE于點(diǎn) G. 設(shè) AD=4t,OG=x. ∵∠ D=90176?！?EAO=80176?！?COP=36176。. ∵∠ CAB=27176。AE, ∴ (AE5DE)(AE+4DE)=0, ∴ AE=5DE,∴ AD=4DE. 在 Rt△ ACD中 ,AC2=AD2+CD2, ∴ CD=2DE. 又 ∵∠ ABD=∠ ACD, ∴ tan∠ ABD=tan∠ ACD=? =2. ACAE ADAC5ADCD11.(2022天津 ,21,10分 )在☉ O中 ,AB為直徑 ,C為☉ O上一點(diǎn) . (1)如圖① ,過點(diǎn) C作☉ O的切線 ,與 AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P,若 ∠ CAB=27176。, ∴∠ ODF=90176。 (3)若 AC=2? DE,求 tan∠ ABD的值 . ? 5解析 (1)∵ AC為☉ O的直徑 , ∴∠ ADC=90176。.由 AD= AP,∠ CAD=∠ ADP+∠ APD得 ∠ ADP=176。. 又 ∵ OD是半徑 ,∴ PD是☉ O的切線 . 12解題思路 (1)連接 OC,OD,由圓周角定理可得 ∠ COD=90176。,∴∠ ODA=? =176。, ∴∠ COD=90176。. ∴∠ OBA+∠ EBD=∠ A+∠ AEC=90176。AF=xy,即 AD=? 。,又 ∠ C=90176。 (3)若 BE=8,sin B=? ,求 DG的長(zhǎng) . ? 513解析 (1)證明 :如圖 ,連接 OD. ∵ AD為 ∠ BAC的平分線 ,∴∠ BAD=∠ CAD, ∵ OA=OD,∴∠ ODA=∠ OAD,∴∠ ODA=∠ CAD,∴ OD∥ AC. 又 ∵∠ C=90176。.(注 :若填為 30,不扣分 )(7分 ) ② 176。 ② 當(dāng) ∠ D的度數(shù)為 時(shí) ,四邊形 ECOG為正方形 . ? 解析 (1)證明 :連接 OC. ∵ CE是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CE. ∴∠ FCO+∠ ECF=90176。,∵ AO=5,∴ AB= Rt△ AEB 中 ,AE=6,∴ BE=? =8.∵ 直線 l是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CD,又 ∵ AD⊥ CD,AE⊥ EB,∴ 四邊 形 CDEF為矩形 ,∴ DC=EF=? BE=4. ? 22AB AE?125.(2022遼寧沈陽 ,11,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ B=30176。,又因?yàn)?AC是☉ O的切線 ,所以 OA⊥ AC,在 Rt△ OAC中 ,∠ C=90176。 176。∠ B=50176。 176。, ∴ PA =? =3? . ? 1222PD BD? 1322AB PB? 131.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C在☉ O上 ,AE是☉ O的切線 ,A為切點(diǎn) ,連接 BC并延 長(zhǎng)交 AE于點(diǎn) ∠ AOC=80176。,∠ C=∠ C, CBCECACD10 CB CDCA? 6310? 95109510 104510∴ △ ADC∽ △ BEC,? (10分 ) ∴ ? =? , ∴ CE=? =? =? ,? (11分 ) ∴ AE=CEAC=? .? (12分 ) CDCE CACBCD CBCA? 3610?9 1 054 1 05評(píng)析 本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì) ,等腰三角形的性質(zhì) ,勾股定理 ,相似三角形的性質(zhì)與判定 .屬 中檔題 . 14.(2022湖北武漢 ,22,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,P是 ? 上兩點(diǎn) ,AB=13,AC=5. (1)如圖① ,若點(diǎn) P是 ? 的中點(diǎn) ,求 PA的長(zhǎng) 。(或 60).? (9分 ) 13.(2022貴州遵義 ,26,12分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑作☉ O,交 BC于點(diǎn) D,交 CA的延 長(zhǎng)線于點(diǎn) E,連接 AD、 DE. (1)求證 :D是 BC的中點(diǎn) 。 ② 連接 OD,OE,當(dāng) ∠ A的度數(shù)為 時(shí) ,四邊形 ODME是菱形 . ? 解析 (1)證明 :在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。, ∴∠ DBP=∠ DBC+∠ CBP=90176。,∴∠ BOD=60176。.∵ ? =? ,∴∠ ABD=∠ CBD=? ∠ ABC=25176。,∴∠ ABC=90176。,所以 AB=? =? =4? .在 Rt△ ABC中 ,AC=ABcos 60176。,弦 AD平分 ∠ CAB,若 AD=6,則 AC= . ? 答案 2? 3解析 連接 BD,因?yàn)?AB為☉ O的直徑 ,所以 ∠ ADB=90176。OD=? ? ? =? , ∴ △ ABC的面積 =3S△ BOC=3? =? .故選 C. 12 126 22 3232 3326.(2022內(nèi)蒙