【正文】 , ∵ EC⊥ OA,∴∠ OAB+∠ CEA=90176。的橫坐標為 1. ∴ 點 P的坐標為 (1,4)或 (2,2). 7.(2022唐山路南一模 ,24)如圖 ,AB是☉ O的一條弦 ,E是 AB的中點 ,過點 E作 EC⊥ OA于點 C,過點 B作☉ O的切線交 CE的延長線于點 D. (1)求證 :DB=DE。. 6.(2022石家莊裕華一模 ,19)如圖 ,P是雙曲線 y=? (x0)上的一點 ,以點 P為圓心 ,1個單位長度為 半徑作☉ P,當☉ P與直線 y=3相切時 ,點 P的坐標為 . ? 4x答案 (1,4)或 (2,2) 解析 設(shè)點 P的坐標為 (x,y), ∵ 點 P是雙曲線 y=? (x0)上的一點 ,∴ xy=4, 如圖 ,分兩種情況 :當☉ P與直線 y=3相切時 ,點 P的縱坐標為 2, 4x∴ 點 P的橫坐標為 2。,∵∠ DOC=∠ A+∠ OCA=50176。,過點 C作圓 O的 切線 ,交 AB的延長線于點 D,則 ∠ D的度數(shù)是 . ? 答案 40176。=40176。 答案 B ∵ AC是☉ O的切線 ,∴∠ ACB=90176。,則 ∠ COD的大小為 ? ( ) ? 176。,又 ∠ P=40176。 176。 基礎(chǔ)題組 1.(2022石家莊橋西一模 ,6)如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點 P是☉ O外一點 ,PO交☉ O于點 C,連接 BC, PA .若 ∠ P=40176。 (3)設(shè) G是 BD的中點 .探索 :在☉ O上是否存在點 P(不同于點 B),使得 PG=PF?并說明 PB與 AE的位 置關(guān)系 . ? AD︵ BC︵BD︵12解析 (1)連接 OB,OD. ∵∠ DAB=120176。, ∵ OE=OD,∴ △ ODE為等邊三角形 ,∴∠ DOE=60176。,OE=OA,∴ △ OAE為等邊三角形 , ∴∠ AOE=60176。,OC=OD, ∴ △ COD為等邊三角形 ,∴∠ OCD=60176。=3? ,EA=DAtan 30176。,∴∠ COB=120176。,即 OD⊥ EF,? (3分 ) 又 ∵ OD為半圓 O的半徑 ,∴ EF為半圓 O的切線 .? (4分 ) (2)連接 OC與 CD. BC︵∵ DA=DF,∴∠ BAD=∠ F,∴∠ F=∠ BAD=∠ CAD, 又 ∵∠ BAD+∠ CAD+∠ F=90176。,OD=OE=? OA=1 cm. ∴ CF=OF=? cm. ∴ S=S扇形 AOCS△ COD=? ? ODCF=? ? 1? =? cm2.∴ S陰影 =S扇形 AOBSS△ DOE= ? ? ? 11=? cm2. AC︵AB︵12 122245 2360? ? 12 2? 12 2 222????????290 2360? ? 222????????12 122 2 2?????????13.(2022山東濰坊 ,22,8分 )如圖 ,AB為半圓 O的直徑 ,AC是☉ O的一條弦 ,D為 ? 的中點 ,作 DE⊥ AC,交 AB的延長線于點 F,連接 DA. (1)求證 :EF為半圓 O的切線 。,因為 ∠ AOB=90176。,所以劣弧 DE的長為 ? =π. 60 3180? ?思路分析 連接 OD,OE,由三角形 ABC是等邊三角形可推出△ OBE,△ ODA都是等邊三角形 ,從 而可求 ∠ DOE的度數(shù) ,再由弧長公式求解即可 . 解題關(guān)鍵 作出輔助線 OD,OE是解決本題的關(guān)鍵 . 9.(2022云南 ,5,3分 )如圖 ,邊長為 4的正方形 ABCD外切于☉ O,切點分別為 E、 F、 G、 陰影部分的面積為 . ? 答案 2π+4 解析 連接 OH,OF,OE,OG,則由題意可得 H,O,F三點共線 ,E,O,G三點共線 ,OE=OG=OF=OH=2, 易知 EG⊥ FH,∴ S陰影 =S半圓 +S△ HGF=? ,∴ 點 Q走過 的路徑長為 ? =? . 1245 1180???4?6.(2022新疆烏魯木齊 ,14,4分 )將半徑為 12,圓心角為 120176。, ∵ AB為☉ O的直徑 ,AB=12,∴ OE=6. ∴ ? 的長為 ? =π,故選 C. FE︵ 30 6180???評析 本題考查了平行四邊形、切線和圓的有關(guān)知識 ,求弧長的關(guān)鍵是求出圓心角和半徑 . 5.(2022甘肅蘭州 ,15,4分 )如圖 ,☉ O的半徑為 2,AB、 CD是互相垂直的兩條直徑 ,點 P是☉ O上任 意一點 (P與 A、 B、 C、 D不重合 ),過點 P作 PM⊥ AB于點 M,PN⊥ CD于點 N,點 Q是 MN的中點 ,當 點 P沿著圓周轉(zhuǎn)過 45176。,AO=OF, ∴∠ AOF=60176。r,因為圓和正方形是中心對稱圖形 ,∴ S陰影 =S 扇形 AEFS△ ABD=? ? =? ? =4π4,故選 A. 290 4360? ? 2AO BD?290 4360? ? 242?2.(2022浙江杭州 ,8,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。.∴∠ OCP的最大度數(shù)為 30176。 (2)求 ∠ OCP的最大度數(shù) 。,四邊形 ABFE為圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ B=45176。AE, 又 ∵ AC=2? DE, ∴ 20DE2=(AEDE),F為 CE的中點 , ∴ DF=? CE=CF, ∴∠ FDC=∠ FCD,又 ∵ OD=OC, ∴∠ ODC=∠ OCD, ∴∠ ODC+∠ FDC=∠ OCD+∠ FCD, 即 ∠ ODF=∠ OCF, ∵ EC⊥ AC, ∴∠ OCF=90176。 (2)求證 :DF是☉ O的切線 ?！?EAO=80176?！?COP=36176。. ∵∠ CAB=27176。, ∴∠ MFN=∠ ANH,? (3分 ) 又 ∵ ME∥ AC,∴∠ MFN=∠ NAC,∴∠ ANH=∠ NAC, ∴ CA=CN.? (5分 ) (2)∵ cos∠ DFA=? ,∠ DFA=∠ ACH, ∴ cos∠ ACH=? ,? (6分 ) 在 Rt△ AHC中 ,設(shè) AC=5a,HC=4a,則 AH=3a. 由 (1)知 CA=CN,∴ NH=a,? (7分 ) 4545在 Rt△ ANH中 ,利用勾股定理 ,得 AH2+NH2=AN2, 即 (3a)2+a2=(2? )2,解得 a=2,? (8分 ) 連接 OC,在 Rt△ OHC中 ,利用勾股定理 ,得 OH2+HC2=OC2, 設(shè)圓 O的半徑為 R,則 (R6)2+82=R2,解得 R=? ,? (10分 ) ∴ 圓 O的直徑的長度為 2R=? .? (11分 ) 1025350311.(2022天津 ,21,10分 )在☉ O中 ,AB為直徑 ,C為☉ O上一點 . (1)如圖① ,過點 C作☉ O的切線 ,與 AB的延長線相交于點 P,若 ∠ CAB=27176。PO, 即 (2t)2=PF, ∴ PB是☉ O的切線 . 證法二 :連接 OB. ∵ PA是☉ O的切線 ,∴∠ PAO=90176。=26176。. ∴∠ ACD=? ∠ AOD=64176。. (2)如圖 ,連接 OD. AB︵ AD︵ BD︵12∵ DP切☉ O于點 D, ∴ OD⊥ DP,即 ∠ ODP=90176。38176。 (2)如圖② ,過點 D作☉ O的切線 ,與 AB的延長線交于點 P,若 DP∥ AC,求 ∠ OCD的大小 . ? AB︵解析 (1)∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。,∴∠ E=30176。, ∴ BC=OC=3, ∵ OD=OC,∠ COD=60176。. 12 12解題關(guān)鍵 由題意得出 OD垂直平分 AB及 AB=BO是解答本題的關(guān)鍵 . 7.(2022山東泰安 ,22,3分 )如圖 ,半徑為 3的☉ O與 Rt△ AOB的斜邊 AB切于點 D,交 OB于點 C,連接 CD并延長交直線 OA于點 E,若 ∠ B=30176。90176。. ? 答案 60 解析 ∵ AB,AC分別與圓 O相切于點 D,E,∴ OD⊥ AB,OE⊥ AC,在菱形 ABOC中 ,AB=BO,∵ 點 D 是 AB的中點 ,∴ BD=? AB=? BO,∴∠ BOD=30176?！?2=180176?！?D=50176。,∴∠ ABD=? ∠ AOD=25176。 176。(垂線的性質(zhì) ),∠ OEA=90176。35176。=125176。. 因為 ∠ ADC+∠ ABC=180176。, 所以 ∠ MAB=∠ COB=180176。 176。 (2)根據(jù) ∠ ACB=30176。π3? ? 3=? π? ? . 3 3 312 12 12 12332 323思路分析 (1)連接 BO,由 OB=OC可得 ∠ OBC=∠ OCB=30176。tan 30176。=90176。, ∴∠ EBC=180176。,延長 CB至點 D,使得 CB =BD,過點 D作 DE⊥ AC,垂足 E在 CA的延長線上 ,連接 BE. (1)求證 :BE是☉ O的切線 。BB︵7.(2022黑龍江哈爾濱 ,18,3分 )已知扇形的弧長為 4π,半徑為 48,則此扇形的圓心角為 度 . 答案 15 解析 根據(jù)弧長 =? 得 4π=? ,解得 n=15. 180nr?48180n? ?8.(2022吉林長春 ,11,3分 )如圖 ,PA為☉ O的切線 ,A為切點 ,B是 OP與☉ O的交點 .若 ∠ P=20176。CDS△ BCD=? ? ? ? ? 21=? ? . 1222CB CD? 512 14 222 90 5360? ?12 22212 54? 32思路分析 首先確定 ? 所在圓的圓心為點 D,根據(jù)題意求出半徑 DB和圓心角 ∠ B39。,DE= ? AA39。于點 E. ? 在 Rt△ BCD中 ,BC=2,CD=? AC=1,∴ BD=? =? .由旋轉(zhuǎn)得 A39。,其中點 B的運動路徑為 ? ,則圖中陰影部分的面積為 . ? 39。,AC=BC=2,將△ ABC繞 AC的中點 D逆時針旋 轉(zhuǎn) 90176。的面 積與扇形 O39。,O39。=OBtan 60176。+∠ O39。BB39。=O39。. ∴ O、 O39。,∴∠ OO39。=60176。都是等邊三角形 , ∴∠ AO39。,則圖中陰影部分的面積是 ? ( ) ? A.? ? ? ? ? ? ? 23? 3 3? 3 23? 3 23?答案 C 如圖 ,連接 OO39。的扇形 AOB繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn) 60176。, ∴ AC、 BD是直徑 ,∴ 點 O39。,即 OD⊥ DE, DC︵ AC︵12又 ∵ OD為☉ O的半徑 , ∴ DE是☉ O的切線 .? (6分 ) ② 由①知 ,OD⊥ BC, ∴ CF=FB=OBtan 30176。 (2)如圖 3,當 ? =? 時 ,延長 AB至點 E,使 BE=? AB,連接 DE. ① 求證 :DE是☉ O的切線 。,由 OA=OD,得 ∠ ODA=∠ OAD=65176。∠ ABT。, ∵∠ ADC=∠ ABC=50176。. (2)如圖 ,連接 AD. 在△ BCE中 ,BE=BC,∠ EBC=50176。. 連接 AB是☉ O的直徑 ,得 ∠ ACB=90176。 (2)如圖② ,當 BE=BC時 ,求 ∠ CDO的大小 . 圖① 圖② 解析 (1)∵ AT是☉ O的切線 ,AB是☉ O的直徑 , ∴ AT⊥ AB,即 ∠ TAB=90176。AD. ∴ 103=3? AD,∴ AD=2? . 12 125 5思路分析 (1)過點 O作 OE⊥ AB,先由 ∠ BCO=∠ D=90176。tan∠ ABC=8. ∴ AB=? =10. ∵ AB與 BC均為☉ O的切線 , ∴ BE=BC=6.∴ AE=ABBE=106=4. 設(shè) OC=OE=x,則在 Rt△ AEO中 ,有 (8x)2=42+x2,解得 x=3. ∴ OB=? =? =3? . 432268?22OC BC? 2236? 5∵ S△ BOA=? AB. ∵ AD⊥ BD,∴∠ ADB=90176。.(注 :若填為 30,不扣分 )(7分 ) ② 176。 ② 當 ∠ D的度數(shù)為 時 ,四邊形 ECOG為正方形 . ? 解析 (1)證明 :連接 OC. ∵ CE是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CE. ∴∠ FCO+∠ ECF=90176。,∵ AO=5,∴ AB= Rt△ AEB 中 ,AE=6,∴ BE=? =8.∵ 直線 l是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CD,又 ∵ AD⊥ CD,AE⊥ EB,∴ 四邊 形 CDEF為矩形 ,∴ DC=EF=? BE=4. ? 22AB AE?125.(2022山西 ,15,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∵∠ B=? ∠ AOC=40176。 176。,∴∠ D=180176。 176。. 2.(2022吉林長春 ,7,3分 )如圖 ,點 A、 B、 C在☉ O上 ,∠ ABC=2