【正文】 s lost, I believe, are the interesting setups and pauses that illuminate the Chinese art of storytelling. Much of the plot is still there. It is the flavor that was sacrificed. The American edition uses the framework of the Empress Dowager in her senior years reminiscing at the beginning and the end of each episode, hinting at what39。s Poly Theater. Their show, titled Ulan Muqir on the Grassland, depicted the history and development of the art troupe. Being from the region allowed me to embrace the culture of Inner Mongolia and being a member of the troupe showed me where I belonged, Nasun, the art troupe39。t have a formal stage. The audience just sat on the grass. Usually, the performances became a big party with local people joining in. For him, the rewarding part about touring isn39。s Shaanxi province pass through a stop on the ancient Silk Road, Gansu39。 在這里，我要特別感 謝在論文期間給我悉心指導的王玉芳導師，在本文的選題與寫作過程中，給予我耐心地指導，并針對我的論文，提出了很多寶貴的意見。 用逼近思想來研究 實變函數(shù)論，即逼近思想在可測集、可測函數(shù)、 L 積分和 L 可積函數(shù)的應用，可以清晰地看到實變函數(shù)論的整體框架，即可測集、可測函數(shù)、 L 積分和L 可積函數(shù)。 總結 函數(shù)在有限可測集 E 上有界，則函數(shù)在 E 上可測與函數(shù)在 L 上可積等價，即可測函數(shù)在有限可測集 E 上有界，則函數(shù) L 可積，又閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)是有界的，且 閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)是可測函數(shù)，這樣看來 可測函數(shù)在有限可測集 E 上有界，在一維空間下，包括 閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)的情形。對于 NEE? ，由 定理 9，存在閉集 NNF E E?? 及 1R 上的連續(xù)函數(shù) ()x? ，使 （ 1）在 NF 上， ( ) ( )x f x? ? ,且 ? ?1supxR g x N? ?； （ 2） ? ? 4NNm E E F N?? ? ?。 ( )nE E x f x n? ? ???，則 1nnEE?? 。 ( ) 0m E x f x? ? ?? ? ???。 定義 5 設 nE?R 是任一可測集， ()fx在 E 上非負可測，稱? ? ? ?d lim ( ) dn nEEnf x x f x x?????為 ??fx在 E 上的 L積分。又 ? ?()nfx單調(diào)遞增，事實上當? ?f x n? 時， ? ?1( ) ( )nnf x f x f x???；當 ? ? 1n f x n? ? ?時， ()nf x n? ， ? ?1()nf x f x? ? ，于是 1( ) ( )nnf x f x?? ；當 ? ? 1f x n??時， ()nf x n? ， 1( ) 1nf x n? ??，即 1( ) ( )nnf x f x?? 。 由單調(diào)可測集列性質，得 1 1 1l im ( )nm m m mnm m mE E E K E K E R E? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ?????。 , 1 , 2 ,m n iK x x x x m i n? ? ?， 1,2,m? ，令 mmE E K? 。 從此例題可以看出可測函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)序列來逼近。 由 定理 9，對任意自然數(shù) n ，則存在閉集 nFE? 及 1R 上的連續(xù)函數(shù) ()nx? ，使在 nF 上，( ) ( )x f x? ? ，且 ? ? 1nm E F n??。下面從 F 出發(fā)將 ()fx擴張成 1R 上滿足要求的連續(xù)函數(shù) ()x? ，由于 F 為 1R上閉集，那么 1 F?R 為開集，則 1 F?R 是至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間 ? ?,iiab 的并集，且當 ,iiab為有限數(shù)時， ,iiab屬于 F 。記1nniiFE??，則 nF 為閉集，且 ()fx在 nF 上連續(xù)， ??nF 單調(diào)遞增，又1 n n nnE F E F E E????? ? ? ? ????? ，所以 ? ? ? ?11n n nnm F m E F m E E n??????? ? ? ? ? ?????????。 連續(xù)函數(shù)逼近可測函數(shù) 定理 8 （ Lusin定理）設 ()fx是可測集 E 上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對任意 0?? ，存在閉子集 FE?? ,使 ()fx在 F? 上連續(xù)，且 ? ?m E F? ???。令? ? 12( ) ( )k k kx x x? ? ???，那么 ??k x? 是可測簡單函數(shù)。 對任意 xE? , ()fx??? ，則 kxE? ，從而 ( ) ( )k x k k? ? ? ?? ? ??；若 ()fx??? ，則存在自然數(shù) N ，使 ()f x N? ，則當 kN? 時，有 10 ( ) ( ) 2k kf x x?? ? ?， xE? ， 所以 lim ( ) ( )kk x f x??? ? ， xE? ， 即定理得證。 ( ) ,kE x E f x k? ? ? 作函數(shù)列 ? ? ,2,1,2,2,1,2 1 , ?? ??????????? kkjExkExjx kkjkkk? 并記,211( ) ( ) ( )2kk k jkk E Ekj jx k x x? ? ?? ??? ?,xE? 。 命題得證，此例題說明閉集從內(nèi)向外可逼近可測集。 再證充分性。 證明 先證必要性。那么 11( ) ( ) 2nn nnnm G E m G E? ?????? ? ? ? ???， 即 ()m G E ???。于是存在開集 nG ，有 nnGE? ，使得 ()2nn nm G E ???。 又 mE??? ，則 mG mE ???。令 n?? ，得? ?* 0m G E??，又外測度的正則性，所以 ? ?* 0m G E??，即 GE? 為零測集。 對于每個 1n? ， ? 開集 nGE? ，有 ? ?* 1nm G E n??。 3 逼近思想在實變函數(shù)中的應用 實變函數(shù)是以 Lebesgue積分為中心的新的微積分理論， Lebesgue積分是在 Riemann積分改進的基礎上形成的。 作 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?11()( ) ( ) nniinnn i inniif x f xx f x x xxx????? ? ??，則 ()nx? 在 ? ?,ab 上連續(xù)，那么 ()nx? 在? ?,ab 上可積。 從 定理 5可以看出 R可積函數(shù)可由一個連續(xù)函數(shù)來逼近。 [7] 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則對任意 0?? ，總存在相應的某一分割 T ,即0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?，使得1niii x??? ???。 在其他處作 ( ) ( )h x x?? ，則 ()hx 在 ? ?,ab 上的連續(xù)，且 ( ) ( ) ( )f x x h x???。從而 ( ) ( ) d ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ( ) ) d 22b b b ba a a ag x f x x f x g x x f x x x x g x x ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?。 若 1iimm?? ，對 ? ?,iix x x??? ，作 ? ?11() iiiimmg x m x x? ?? ?? ? ?（如圖 3所示），則1 ()iim g x m? ??。 從 定理 3可以看出 R可積函數(shù)可由兩個階梯函數(shù)來逼近。 從曲邊梯形面積的逼近過程， 結合階梯函數(shù)和 R可積函數(shù)的定義猜測 R可積函數(shù)由階梯函數(shù)來逼近。直線 , 0,1, ,ix x i n?? 與函數(shù) ??fx及 x 軸把曲邊梯形分割成 n 個小曲邊梯形。 定義 3 函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上有定義，將 ? ?,ab 分割成 n 個小區(qū)間 ? ?1,iixx? ， 1,2, ,in? ，在每個小區(qū)間 ? ?1,iixx? 上任取一點 i? ，作 和式1 ()niii fx?? ?? 1()i i ix x x ?? ? ?，稱為函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上的一個積分和。 定理 2（ Taylor定理） 設函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上存在 n 階的連續(xù)導函數(shù)，在 ? ?,ab 內(nèi)存在1n? 階的導函數(shù)，則對任意給定的 ? ?0,x x a b? ，至少存在一點 ? ?,ab?? ，使得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?() ( 1 )21000 0 0 0 0 0( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) 2 ! ! 1 !n nnnf x f x ff x f x f x x x x x x x x xnn ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??[6] 由 Taylor定理可以看出，在一個區(qū)間上可以用多項式函數(shù)來逼近復雜的函數(shù)。這個公式的意義在于，在 0x 點的近旁，一個復雜函數(shù)可以用多項式函數(shù)來近似地代替。相應于 定理 1， ? ?( ) , 0 。 定理 1 設函數(shù) f 在點 0x 處有直到 n 階的導數(shù)，則有 ? ? ? ?? ?0 0 0( ) , 。逼近思想在數(shù)學分析中應用很廣，考慮到本文側重研究逼近思想在實變函數(shù)中應用，而實變函數(shù)是以 Lebesgue積分為中心的新的微積分理論，又 Lebesgue積分是以改進的 Riemann積分建立的 ，所以 接下來我們主要探討 R可積函數(shù)的逼近。在 Zeno’s paradoxes中，運用了這類逼近思想，它在求解方程中有著廣泛的應用。當阿齊列斯跑完這 1000步，烏龜又向前跑了 100步，所以 Achiles要跑完這 100步，如此下去，就可以求出 Achiles趕上烏龜所用的時間。不用公式求解，而用其他方法來求圓的面積是很困難的。 逼近思想方法的含義和分類 我國著名數(shù)學家華羅庚有句名言 ： “ 善于‘退’ , 足夠地‘退’ ， ‘退’ 到最原始而不失去重要性的地方 , 是學好數(shù)學 的一個訣竅 ! ” [2]這句名言揭示了逼近思想的精髓。這樣 , 烏龜總在 Achiles前頭 , 他無論什么時候也趕不上烏龜。 [3] 后來他一直算到圓內(nèi)接正 3072邊形 , 進一步 得到 4 3927 3 .1 4 1 5 91250? ?? , 可以將 ? 精確到五位小數(shù)。 三國時期魏國人 劉徽認為“ 割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，我們結合圖形來說明 劉徽的思想。 [2]用逼近思想來研究實變函數(shù)論，即逼近思想在可測集、可測函數(shù)、 L積分和 L可積函數(shù)的應用，可以讓我們清晰地看到實變函數(shù)論的整體框架。例如，常微分方程里的一階微分方程的解的存在唯一性定理的證明過程中使用的皮卡（ Picard）逐步逼近法，運籌學里最優(yōu) 解問題中線性規(guī)劃的單純形法，解高次方程時所用的牛頓切線法等，都體現(xiàn)了逼近法的思想。 Lebesgue integral。 In terms of integrability,approximation of Riemann integrable functions by staircase function and continuous this paper discusses the application of approximation theory in real variable illustrate the approximation theory embodies in real variable function is from the measurable set, measurable function,Lebesgue integral and Lebesgue integrable function’s approximation. Key words: approximation theory。接著研究逼近思想在數(shù)學分析中的應用，在可微性方面， 用多項式函數(shù)逼近初等函數(shù)；在可積性方面