【正文】 =90176。 ∴∠ DEC=60176。時， △ DEC 是等邊三角形，理由如下： ∵∠ ACB=∠ ADB=90176。求出 ∠ DEC=60176。取 AB 中點 E，連 DE、 CE、 CD． （ 1）求證： DE=CE （ 2）當 ∠ CAB+∠ DBA= 60176。 在 Rt△ ABC 和 Rt△ BAD 中， ∵ ， ∴ Rt△ ABC≌ Rt△ BAD（ HL）， ∴ BC=AD， （ 2） ∵ Rt△ ABC≌ Rt△ BAD， ∴∠ CAB=∠ DBA， ∴ OA=OB， ∴△ OAB 是等腰三角形． 【點評】 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；用到的知識點是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重點，本題是道基礎(chǔ)題，是對全等三角形的判定的訓練． 23．（ 10 分）（ 2022 秋 ?宜興市期中）已知：如圖，在 △ ABC 中， D 是 BC 上的點， AD=AB， E、 F 分別是 AC、 BD 的中點， AC=6．求 EF 的長． 【考點】 直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 連接 AF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得 AF⊥ BD，在 Rt△ AFC 中，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出 EF= AC． 【解答】 解：連接 AF． ∵ AB=AD， F 是 BD 的中點， ∴ AF⊥ BD， 又 ∵ E 是 AC 的中點， ∴ EF= AC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） ∵ AC=6， ∴ EF=3． 故答案為： 3． 【點評】 本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵． 24．（ 10 分）（ 2022 秋 ?興化市校級期中）如圖 ， Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。． （ 1）用尺規(guī)在邊 BC 上求作一點 P，使 PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）． （ 2）連結(jié) AP，如果 AP 平分 ∠ CAB．求 ∠ B 的度數(shù)． 【考點】 作圖 —復雜作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）如圖，作 AB 的垂直平分線交 BC 于 P，則點 P 滿足條件； （ 2）由 PA=PB 得到 ∠ B=∠ PAB，再由 AP 平分 ∠ CAB 得到 ∠ PAB= ∠ CAB，則 ∠CAB=2∠ B，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算 ∠ B． 【解答】 解：（ 1）如圖，點 P 為所作； （ 2） ∵ PA=PB， ∴∠ B=∠ PAB， ∵ AP 平分 ∠ CAB， ∴∠ PAB= ∠ CAB， ∴∠ CAB=2∠ B， ∵∠ CAB+∠ B=90176。 ∴∠ DAE=∠ DAC+∠ CAE=35176。 ∴∠ CAE= ∠ ACB=176。 AB=AC， ∴∠ B=∠ ACB=55176。 ∴ BC2=AB2﹣ AC2=225﹣ 81=144， 則 S3=BC2=144． 故答案為： 144． 【點評】 考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、正方形的面積；熟練掌握勾股定理，由勾股定理求出 BC 的平方是解決問題的關(guān)鍵． 15．如圖， △ ABC 的三邊 AB、 BC、 CA 長分別為 50、 60．其三條角平分線交于點 O，則 S△ ABO： S△ BCO： S△ CAO= 4： 5： 6 ． 【考點】 角平分線的性質(zhì)． 【分析】 首先過點 O 作 OD⊥ AB 于點 D，作 OE⊥ AC 于點 E，作 OF⊥ BC 于點 F，由 OA， OB， OC是 △ ABC 的三條角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得 OD=OE=OF，又由 △ ABC 的三邊 AB、 BC、 CA 長分別為 50、 60，即可求得 S△ ABO： S△ BCO： S△ CAO的值． 【解答】 解：過點 O 作 OD⊥ AB 于點 D，作 OE⊥ AC 于點 E，作 OF⊥ BC 于點 F， ∵ OA， OB， OC 是 △ ABC 的三條角平分線， ∴ OD=OE=OF， ∵△ ABC 的三邊 AB、 BC、 CA 長分別為 50、 60， ∴ S△ ABO： S△ BCO： S△ CAO=（ AB?OD）：（ BC?OF）：（ AC?OE） =AB： BC： AC=40：50： 60=4： 5： 6． 故答案為： 4： 5： 6． 【點評】 此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用． 16．如圖，在三角形 ABC 中， ∠ BAC=70176。或 20176。﹣ 80176。） =50176?；?80176。 AD⊥ BC 于點 D， AE 為 BC 邊上的中線，且 AE=4，AD=3，則 △ ABC 的面積為（ ） A． 6 B． 8 C． 10 D． 12 【考點】 直角三角形斜邊上的中線；三角形的面積． 【分析】 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】 解： ∵∠ BAC=90176。以 AB 長為一邊作 △ ABD， ∠ ADB=90176。 3 ，其中 a=4． （ 2）已知 x﹣ 2 的平方根是 177。則 ∠ B= ． 13．如圖，在 △ ABC 中， ∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分線交于點 E，過點 E 作 MN∥ BC交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM+CN=9，則線段 MN 的長為 ． 14．如圖，已知 △ ABC 中， ∠ ACB=90176。﹣ ∠ B=52176。﹣ 38176。 ，其中 a=﹣ 6． 【考點】 分式的化簡求值． 【分析】 先對原式化簡，然后將 a 的值代入即可解答本題． 【解答】 解：原式 = = = ， 當 a=﹣ 6 時，原式 = =1． 【點評】 本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 20．如圖，已知 AD=BC， AC=BD． （ 1）求證： △ ADB≌△ BCA； （ 2） OA 與 OB 相等嗎？若相等，請說明理由． 【考點】 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定． 【分析】 （ 1）根據(jù) SSS 定理推出全等即可； （ 2）根據(jù)全等得出 ∠ OAB=∠ OBA，根據(jù)等角對等邊得出即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 在 △ ADB 和 △ BCA 中， ， ∴△ ADB≌△ BCA（ SSS）； （ 2）解： OA=OB， 理由是： ∵△ ADB≌△ BCA， ∴∠ ABD=∠ BAC， ∴ OA=OB． 【點評】 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定的應用，能正確運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵． 21．某商場購進甲、乙兩種商品，乙商品的單價是甲商品單價的 2 倍，購買 240元甲商品的數(shù)量比購買 300 元乙商品的數(shù)量多 10 件，求兩種商品單價各為多少元？ 【考點】 分式方程的應用． 【分析】 設(shè)甲商品的單價為 x 元，乙商品的單價為 2x 元，根據(jù)購買 240 元甲商品的數(shù)量比購買 300 元乙商品的數(shù)量多 10 件列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果． 【解答】 解：設(shè)甲商品的單價為 x 元，乙商品的單價為 2x 元， 根據(jù)題意，得 ， 解這個方程，得 x=9， 經(jīng)檢驗， x=9 是所列方程的根， ∴ 2x=2 9=18（元）， 答：甲、乙兩種商品的單價分別為 9 元、 18 元． 【點評】 此題考查了分式方程的應用，找出題中的等量關(guān)系 “購買 240 元甲商品的數(shù)量比購買 300 元乙商品的數(shù)量多 10 件 ”是解本題的關(guān)鍵． 22．如圖， △ ABC 中， AB=AC，且 AC 上的中線 BD 把這個三角形的周長分成了12cm 和 6cm 的兩部分，求這個三角形的腰長和底邊的長． 【考點】 等腰三角形的性質(zhì)；解二元一次方程組；三角形三邊關(guān)系． 【分析】 設(shè) AD=CD=x， AB=AC=2x， BC=y，再分 AB+AD=12 和 AB+AD=6 兩種情況進行討論． 【解答】 解：設(shè) AD=CD=x， AB=AC=2x， BC=y， 當 AB+AD=12 時， ，解得 ； 當 AB+AD=6 時， ，解得 （不合題意，舍去）． 答：這個三角形的腰長是 8，底邊長是 2． 【點評】 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時要注意進行分類討論． 23．（ 10 分）（ 2022 秋 ?永定區(qū)期中）如圖，在 △ ABC 中， ∠ B=38176。﹣ 50176。 ∴∠ ABD=∠ A=50176。 ∴∠ A=∠ ABD， ∵∠ ADE=40176。 1， ∵ 當 x=1 時， x﹣ 1=0，分式無意義， ∴ x=﹣ 1． 故答案為﹣ 1． 【點評】 本題主要考查分式有意義的條件，分式值為零的條件，關(guān)鍵在于正確的確定 x 的取值． 12．如圖，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC， DE 垂直平分 AB，已知 ∠ ADE=40176。 ∵∠ 1+∠ 2+∠ B+∠ C=360176。然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和為 360176。 B． 140176。 ，其中 a=﹣ 6． 20．（ 8 分）如圖，已知 AD=BC， AC=BD． （ 1）求證： △ ADB≌△ BCA； （ 2） OA 與 OB 相等嗎？若相等，請說明理由． 21．（ 8 分）某商場購進甲、乙兩種商品，乙商品的單價是甲商品單價的 2 倍，購買 240 元甲商品的數(shù)量比購買 300 元乙商品的數(shù)量多 10 件，求兩種商品單價各為多少元？ 22．（ 8 分）如圖， △ ABC 中， AB=AC，且 AC 上的中線 BD 把這個三角形的周長分成了 12cm 和 6cm 的兩部分，求這個三角形的腰長和底邊的長． 23．（ 10 分）如圖，在 △ ABC 中， ∠ B=38176。 二、填空題（本題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分） 9． 2﹣ 3= ． 10．如圖，在 △ ABC 中， ∠ B=∠ C， AB=5，則 AC 的長為 ． 11．若分式 的值為零，則 x 的值為 ． 12．如圖，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC， DE 垂直平分 AB，已知 ∠ ADE=40176。直線 DE 分別與 AB， AC 交于 D， E 兩點，則 ∠1+∠ 2=（ ） A． 110176。 B． 140176。則 ∠ DBC= 176。 ∠ C=112176。 C． 180176。計算 ∠ 1+∠ 2 的度數(shù)． 【解答】 解： ∵∠ A+∠ B+∠ C=180176。 ∴∠ 1+∠ 2=250176。則 ∠ DBC= 15 176。 ∴∠ A=90176。 ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C= （ 180176。=15176。 ∠ C=112176。=30176。 ∴∠ DAE=∠ DAB﹣ ∠ BAE=37176。以 △ ABC 的各邊為邊在 △ ABC 外作三個正方形， S S S3 分別表示這三個正方形的面積．若 S1=81， S2=225，則 S3= ． 15．如圖， △ ABC 的三邊 AB、 BC、 CA 長分別為 50、 60．其三條角平分線交于點 O，則 S△ ABO：