【正文】 故填寫 。 解：由已知有，所求置信區(qū)間為 ， ， σ ＝ 4， a＝ 1－ ＝ ， n＝16， 所以 ，置信區(qū)間為 故填寫 [,]。 x1,x2,?,x n是來自正態(tài)總體 N（ 3， 4）的樣本，則 ～ ________.（標明參數(shù)） [答疑編號 918060211] 答案： x2（ n）； 解析：本題考察正態(tài)分布標準化和 x2分布的概念。 提 示：注意協(xié)方差的求法，這也是一個考點。 提示：（ 1）本題也可 以按如下方法求解： 當 x＞ 0， y＞ 0時， ， 當（ x,y） ∈ 其他時， fx（ x）＝ 0。 解：事件 {X＝ Y}＝ {X＝ 0,Y＝ 0}+{X＝ 1,Y＝ 1}，由于等式右端兩事件互不相容，所以 故填寫 。 提示：同上。 提示：又是 “ 至多 ” 、 “ 至 少 ” 問題，方法同前。 提示：利用已知條件列方程或方程組求概率，是解答比較復雜的概率問題的比較有效的方法。 提示： ① 注意排列、組合運算； ② 注意理解、掌握和正確使用古典概型問題計算概率的公式。 解： A－ B＝ A－ AB，又 ，由已知及差事件的性質(zhì)有 P（ A－ B）＝ P（ A－ AB）＝ P（ A）－ P（ AB）， ＝ － P（ AB）， P（ AB）＝ ， 所以 。 提示： ① “ 樣本 ” ：指簡單隨機樣本，即相互獨立且與總體有同分布； ② 期望的性質(zhì)： E（ aX＋ b）＝ aE（ X）＋ b。復習時可根據(jù)題目的條件查閱課本內(nèi)容，考試前再突擊記憶，應付考試即可。 提示：設 X， Y是隨機變量，且 Y＝ aX＋ b，其中 a， b是常數(shù)，則 D（ Y）＝ D（ aX＋ b）＝ a2D（ X）。 4條性質(zhì)如下： ① f （ x,y） ≥0 ； ② ； ③ 若 f（ x,y）在（ x,y）處連續(xù)，則有 ； ④ 。 （ X,Y ）的聯(lián)合概率密度為 則 k＝（ ） A. B. [答疑編號 918060107] 答案： A； 解析：本題考察連續(xù)型二維隨機變量的聯(lián)合概率密度的性質(zhì)。 （ X， Y ）的概率分布如下表所示，當 X與 Y相互獨立時，（ p， q）＝（ ） A.（ , ） B.（ , ） C.（ ） D.（ ） [答疑編號 918060106] 答案： C； 解析：本題考察二維離散型隨機變量分布律的性質(zhì)。 X服從區(qū)間 [a， b]上的均勻分布，則概率 （ ） B. C. [答疑編號 918060105] 答案： B； 解析：本題考察均勻分布概率的求法。 解：由于隨機變量的取值為－ 1， 0， 1， 2， 4，不含 3，故 P（ X＝ 3）＝ 0。 提示：（ 1）對于求 “ 至多 ” ， “ 至少 ” 之類的事件概率，可在 “ 求原事件概率 ” 和 “ 求對立事件概率 ”之間選擇求解方法，哪個計算簡單，就選擇哪個。 解： A： A， B互不相容， ，而 ＝ ， A不正 確；使用圖示法可以推出， B， C均不正確，只有 D正確，故選擇 D。 解：因為事件 A， B 相互獨立，所以 P（ AB）＝ P（ A） P（ B），又 P（ A∪B ）＝ P（ A）＋ P（ B）－ P（ AB）， 所以 ， ， 。 2. 考點分布 按照以往的分類方法：事件與概率 20分，一維隨機變量（包括數(shù)字特征） 32分，二維隨機變量（包括數(shù)字特征） 22分，大數(shù)定律及中心極限定理 4分，統(tǒng)計量及其分布 2分，參數(shù)估計 6分，假設檢驗 12分，回歸分析 2分。 一點說明：本次串講所使用的課本是 2020年 8月第一版。見課本 p188－ 189，檢驗 與 之間的線性關(guān)系是否顯著。對于給定的顯著水平 α ，經(jīng)查表得臨界值 Fα （ 1,n2），因而拒絕域為 認為回歸方程是顯著的，否則，認為回歸方程不顯著。 設 μ 為檢驗統(tǒng)計量的樣本觀察值， 在例題 8－ 1的推導過程中有 即，當 H0為真時，拒絕 H0的概率為 α 。 [答疑編號 918020205] 解析： “ 犯第一類錯誤 ” 是指犯 “ 棄真錯誤 ” ，即 H0成立而拒絕 H0，其概率為顯著水平 。 解：設需要檢驗的假設 根據(jù)題目的已知條件（單正態(tài)總體、方差已知，對均值進行檢驗），選擇統(tǒng)計量 因為樣本觀察值－ 8 W所以，拒絕原假設 H0，接受 H1，即可以認為估價顯著減小，應該對公司定價進行調(diào)整。屬于 u檢驗，檢驗統(tǒng)計量 為 例 N（ μ ， σ 2）， X1， X2， ? ， Xn為來自該總體的樣本， 為樣本均值， S2為樣本方差，欲檢驗假設 則檢驗用的統(tǒng)計量是（ ） . [答疑編號 918020202] 答案： C 解析：本題考察正態(tài)總體、方差未知、均值的檢驗，屬于 t檢驗，檢驗統(tǒng)計量為 例 ，如果顧客估價的調(diào)查結(jié)果與公司定價有較大差異，則需要調(diào)整產(chǎn)品定價。 （ 2）兩類錯誤的關(guān)系 在樣本容量不變的條件下，如果減小犯第一類錯誤 的概率 α ，必然擴大接受域，縮小拒絕域，則會增加犯第二類錯誤的概率 β ；反之亦然。以單個正態(tài)總體， σ 2 已知，對均值 μ 的區(qū)間估計及對 μ 的雙側(cè)檢驗為例，加以說明。 如對總體均值 μ 檢驗，原假設為 H0： μ=μ 0，備擇假設為下列三種情況之一： ，滿足： ① 必須與假設檢驗中待檢驗的 “ 量 ” 有關(guān)； ② 在原假設成立的條件下，統(tǒng)計量的分布或漸近分布已知。 ： 對一個總體或兩個總體的某個統(tǒng)計 性質(zhì)進行說明或比較時，由于這些性質(zhì)未知或不完全知道，因而作出某種假設 H0，稱為 統(tǒng)計假設 。現(xiàn)抽查 16瓶罐頭進行測試，測得維生素 C的平均含量為 ，樣本標準差為 ，試求 μ 的置信度 95％的置信區(qū)間 . [答疑編號 918020206] 解析：本題為區(qū)間估計的應用題。本人在面授講課中曾經(jīng)證明過。 二、參數(shù)的區(qū)間估計 設 θ 為總體的一個未知參數(shù)， 由樣本 確定的兩個統(tǒng)計量，若對于給定的概率 有 則稱隨機區(qū)間為參數(shù) θ 的置信度為 置信區(qū)間，并稱 為置信度（置信水平）， ： θ 的置信度為 的置信區(qū)間 指的是 θ 包含在區(qū)間 的概率為 100（ 1α ）％ . （ 1）樣本容量 n固定，置信度 1α 增大，置信區(qū)間長度增大，區(qū)間估計精度降低； 1α 減小，區(qū)間長度減小，區(qū)間估計精度提高； （ 2）置信度 1α 固定，樣本容量 n 增大，區(qū)間長度減小，估計精度提高。 專題二 參數(shù)估計 近幾年試題的考點分布和分數(shù)分布 最高分數(shù)分布 最低分數(shù)分布 平均分數(shù)分布 點估價 2, 2 6 2 評價標準 2 區(qū)間估計 10 6 合計 14/100 6/100 10/100 一、參數(shù)的點估計 ： （ 1）參數(shù)： ① 分布中所含有未知參數(shù) θ （ θ 可以是向量）； ② 分布中所含有未知參數(shù) θ 的函數(shù)； ③ 其他數(shù)字特征的未知值。 ： 設 x1,x2?,x n為取自某總體 X的樣本， （ 2）樣本均值的性質(zhì)： ① 若稱樣本的數(shù)據(jù)與樣本均值的差為偏差，則樣本偏差之和為零，即 ② 偏差平方和最小，即對任意常數(shù) C，函數(shù) 時取得最小值 . （ 5）樣本矩 （ 7）正態(tài)分布的抽樣分布 的 為自由度為 n的 X2分布的 α 分位點 .求法：反查 X 2分布表 . [答疑編號 918020201] 答案： D [答疑編號 918020202] 答案： [答疑編號 918020203] 答案： B [答疑編號 918020204] 答案： 1 [答疑 編號 918020205] 答案： B [答疑編號 918020206] 解析： 故填 20. [答疑編號 918020207] 答案： n 解析： [答疑編號 918020208] 答案： 解析：本題考核正態(tài)分布的疊加原理和 x2－分布的概念。 ：從總體中隨機抽取 n個個體 x1,x2?,x n稱為總體的一個樣本，個數(shù) n稱為樣本容量。 本題考核課本第五章大數(shù)定律及中心極限定理的內(nèi)容，理論性比較強，學習起來比較困難 。 答案： 0 專題四 大數(shù)定律及中心極限定理 近幾年試題的考點分布和分數(shù)分布 最低分數(shù)分布 最高分數(shù)分布 平均分數(shù)分布 切比雪夫 不等式 2 大數(shù)定律 中心極限 定理 2 合計 0/100 4/100 1/100 一、切比雪夫不等式 ：隨機變量 ，則對任意給定的 ，總有 。 解：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義有 ， 又由方差的性質(zhì)有 再由協(xié)方差的性質(zhì)有 由已知， b， c， d為常數(shù)， Y為隨機變量，則應用協(xié)方差的計算公式有 所以 ， 其中， ，計算同上。 例 6. 設（ X， Y）服從在區(qū)域 D上的均勻分布，其中 D為 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成，求 X與 Y的協(xié)方差 Cov（ X,Y）。 （ 4） 例 4. 若隨機變量 X， Y滿足 ,則正確的是 A. B. C. D. 答案： B 解析：本題考察方差性質(zhì)： 。 （ 2）求（ X， Y）分別關(guān)于 X， Y的邊緣密度 （ 3）判定 X與 Y的獨立性，并說明理由； （ 4）求 解析：本題考察二維連續(xù)型隨機變量（ X， Y）的概率密度性質(zhì)、關(guān)于 X， Y的邊緣密度 ， 的求法、分量 X與 Y的獨立性以及用 聯(lián)合概率密度求概率的方法。 解：（ 1）由二維離散型隨機變量（ X， Y）的分布律的性質(zhì)，有 ① 又分量 Y的邊緣分布律為 由 得 ② ① ， ② 聯(lián)立，解得 。 B）協(xié)方差的計算 ① 離散型二維隨機變量： ； ② 連續(xù)性二維隨機變量： ； ③ 協(xié)方差計算公式： ； ④ 特例： 。 （ 1）數(shù)學期望：設 為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量（ X， Y）的函數(shù) 離散型：若（ X， Y）為離散型隨機變量，級數(shù) 收斂， 則 ； 連續(xù)型：若（ X， Y）為連續(xù)型隨機變量，積分 收斂，則 。 ② 兩個相互獨立隨機變量和的概率密度： 問題：已知兩個相互獨立的隨機變量 X， Y的概率密度 ，或二維隨機變量（ X， Y）的概率密度 ，求 的 概率密度。 （ 2）二隨機變量相互獨立的等價關(guān)系： 隨機變量 X和 Y相互獨立 （ 3）二維離散型隨機變量的獨立性：設（ X， Y）為離散型隨機變量，其分布律為 ， 邊緣分布律為 則 X與 Y是相互獨立的充要條件是，對一切 （ 4）設二維連續(xù)型隨機變量（ X， Y）的概率密度函數(shù)為 分別是 X和 Y的邊緣概率密度，則 X和 Y相互獨立的充要條件是等式 （ 1）兩個離散型隨機變量函數(shù)的分布 問題提法：已知二維隨機變量（ X， Y）的分布律，求隨機變量函數(shù) 的分布律。 （ 5）求分量 X， Y的數(shù)學期望： （ 1）定義：設二維隨機變量（ X， Y）的分布函數(shù) ，存在非負函數(shù) ，使對任意實數(shù) x， y有 則稱（ X， Y）為連續(xù)型二維隨機向量， 為聯(lián)合密度函數(shù)。 ：設（ X, Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 ，稱 為二維隨機變量（ X, Y）的 邊緣分布函數(shù)。 解：由已知司機通過