保險(xiǎn)精算學(xué)壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值-wenkub.com
2024-08-17 19:16 本頁(yè)面
【正文】 在比例保費(fèi)下，凈保費(fèi)的精算現(xiàn)值等于保險(xiǎn)賠付現(xiàn)值與比例退還保費(fèi)現(xiàn)值之和。 設(shè)保險(xiǎn)金的現(xiàn)值為 A,均衡凈保費(fèi)為 P，則 : AA P a P a?? 即 對(duì)不同的保險(xiǎn)和不同的保費(fèi)交付方式，保險(xiǎn)金現(xiàn)值和繳費(fèi)現(xiàn)值的具體形式會(huì)有所不同。即保險(xiǎn)人收入的保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值等于支出的保險(xiǎn)金的現(xiàn)值。 則 ： P123 ， 變額生存年金 ? ? ? ?? ?? ?? ?0010:1 1 1:1k xkxxk xx x kkk xkxxk xx x n x nxnxx x n x nxnxSI a k v pDw he re S NSI a k v pDS S nNIaDS S nNIaD??????????? ? ? ? ?? ? ?????????????? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?111:011 2 2110nx x x nkkxxnk xnx x x nkkxxk xnN S SDa n k v pDnN S SDa n k v pD?? ? ???? ? ? ??????? ? ???? ? ??? 非整數(shù)年齡開(kāi)始付款的生命年金 ? ?? ?1,111101xx u x xxxuqua a auq uqxu??????????定 理 假 設(shè) 死 亡 服 從 均 勻 分 布 則其 中 為 整 數(shù) ,? ? ? ?? ? ? ?1:,( 1 ) ( 1 ),1111:1,1:111u x k x u k x u x kx k x u k x x kkx x u x xxxuxx x xx u xxp p p puq p p uqvkuq a a u i i aui a u iauqa v a puquaauq?????????? ? ?? ? ? ? ?? ? ??????????證 明 我 們 首 先 可 以 知 道由 于 死 亡 服 從 均 勻 分 布 可 以 得 到上 式 兩 端 分 別 乘 以 并 且 對(duì) 求 和 可 得即我 們 又 知 道我 們 得 到 所 要 的 公 式? ?? ?11111..xxxxx u x xx u x xauqqa u a uaa a a????????特 別 在 非 常 小 時(shí) ,(222) 式 可 以 近 似 為 :這 一 近 似 結(jié) 果 在 實(shí) 際 的 應(yīng) 用 中 用 處 較 大 且 效 果 較 好 可 以 看 出 上 式 表 明實(shí) 質(zhì) 上 是 與 的 加 權(quán) 平 均 生存年金的遞推公式 1011111111111111:11111x x xkkx k x k xkkx k x k xkx x k xkkx k xktx t x x xtxa v p apr oo f a v p v pp p pa v p pv p v pv p v p v p aa??????????????????????? ? ??? ? ???? ? ? ??????定 理可 以 一 直 遞 推 下 去 ， 而 求 出 。則 ：? ?? ?10110 1 0 1 0 11111 ( 1 ) ( 1 )22hxkmh x k x k x kxkmmmxhxkkhx mm m mx k x k x kk h k h k hxx x xxDhD D D DmaDmDhhD D Dm D m mm m m mm N N Nm D m m??? ? ? ????????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????????? ? ?????? ? ? ? ? ?是 一 個(gè) 非 整 數(shù) 年 齡 的 轉(zhuǎn) 換 函 數(shù) ， 為 了 便 于 計(jì) 算 ， 我 們 可 以 假 設(shè)在 兩 個(gè) 年 齡 之 間 它 是 線 性 的 。 ? ?? ?? ?11100,1Kxx kKkkKxx kKkkL e t x K Kaa E a a qKaa E a a q??????????????的 整 值 余 壽 為 期 首 付 終 身 生 存 年 金 是 在 年 內(nèi) 定期 確 定 年 金 的 期 望 ， 即期 末 付 終 身 生 存 年 金 是 在 年 內(nèi) 定 期 確 定 年 金 的 期 望 ， 即可 以 證 明 兩 種 推 理 方 法 和 結(jié) 論 是 等 價(jià) 的 ， 如 何 證 ？定期生存年金 ? ?::1 1 1 111:1 2 3 1: : 111111111xnnnt x x t x t x n txnt t t txxx x nxxnx x x n xx n x na x na E D D DDDNNDa x na E E E E a??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?用 表 示 某 歲 人 投 保 一 定 期 年 ， 每 年 末 得 到 給 付 單 位 元 的期 末 生 命 年 金 的 現(xiàn) 值 。 基本類型 終身年金 定期年金 延期年金 期首年金與期末年金 終身生存年金 年 金 的 支 付 以 被 保 險(xiǎn) 人 生 存 為 條 件 ， 沒(méi) 有 期 間 限 制 ， 稱 為終 身 生 命 年 金 。1/它 是 利 率 累 積 因 子 ? ?1/nx x ni l l?? 與 生 存 累 積 因 子 的 乘 積 。在實(shí)際中，通常只有生命表提供的整數(shù)年齡上的死亡率，因此需要做出如下變換： 100100111001110001.kttx x x t x x tkkksk s x x k skksk x s x k x k skx k x k s x ksksx k x x k xkA v p dt v p dtv p dsv p v p dsp q sit he n A v p q v ds A??????????????? ? ?????? ? ??? ? ? ??????????? ? ?? ? ????? ?? ?? ?tt在 死 亡 均 勻 分 布 假 設(shè) 下 ， 有定期壽險(xiǎn) ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1:0222 2 1 1::2 1 2:011::000V a rTntx x txnx n x nntx x txnx n x nv t nZtA E Z v p dtZ Z E Z E Z A Aw he re A e p dtiAA???????? ??? ?????? ? ? ?????tt的 方 差 為 ：計(jì) 算 后 得 ，兩全壽險(xiǎn) 11: : :1 1 1: : : : :1x n x n x nx n x n x n x n x nA A AiiA A A A A??????? ? ? ? ?????在 死 亡 均 勻 分 布 假 設(shè) 下 ， 有其他變額壽險(xiǎn) ? ?? ?? ? ? ?011: :011: :0( ) ( ) [ 1 ]( ) [ 1 ] ( ) [ 1 ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]ttx t x x t x x t x x tnn xnnttt x x t x t x x tnxn xnnntx x x t x x tnn x n xniiA v p u dt A I A E z t v p u dt I AiI A t v p u dt I A I A t v p u dtiI A I A I A DA E z n t v p u dt DA????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????， ？？ ， 遞推公式 111001111111 1 10::/x x x xttx x t x t x x tttttx t x x t x x t x x tttkx x k x x k x x xkA v q v A pA v d l v p qv q v p q v q v p v p qv q v p v p q v q v p A????????????? ? ? ?????? ? ? ????????????? ? ? ?? ? ? ??????終 身 壽 險(xiǎn) 的 現(xiàn) 值 之 間 有 這 樣 的 遞 推 公 式證 明實(shí) 際 意 義定 理 : 的 解 釋 :? ?? ?? ?111111011 0 , 1 , 2 ,1x x x xx k x k x k x kkkx x k x kkA v A v A qxkA v A v A
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