亞正定變換研究-資料下載頁(yè)
2025-08-02 15:51本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】，則稱A為亞正定矩陣.應(yīng)用等方面進(jìn)行了進(jìn)一步的探討，所用方法基本上都是純矩陣方法.對(duì)稱陣的研究更為深刻。本文將在這些方面作些嘗試。相關(guān)聯(lián)系，獲得一些有益結(jié)果。等表示線性變換，用(,)??下面結(jié)果表明，歐氏空間中亞正定變換與文獻(xiàn)[1-3]中亞正定矩陣相對(duì)應(yīng).是亞正定變換的充分。是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，12,,,n???，采用向量的形式記號(hào)，則。及任意性，得知X是任意的n維非零列向量，于是A為亞正定矩陣.（充分性）反之，若A為亞正定矩陣，則'0XAX?是可逆變換.反證法:若?是不可逆的，則存在0V???是滿射的，因此0,V????下的矩陣為A，即1212(,,,)(,,,)nnA????????互為共軛變換，根據(jù)定理4知，線性變換?在歐氏空間V中，有著名的Cauchy不等式：對(duì)任意,V???線性相關(guān)時(shí),等號(hào)才成立.
【正文】 1,n??為 A 的 n個(gè)特征值，因 1??? ，（ 1, ,in? ） 即 2 1i?? ，所以 139。 , 39。D D E D D???，即139。 ( 39。) 39。 39。 39。 39。A CDC CD C CD C?? ? ? ，從而 139。 39。 39。AA C D C C D C E???，所以 A 為正交陣，故 ? 為正交變換 .定理 8證畢 . 引理 1 設(shè) ? 是歐氏空間 V 的正規(guī)變換， ? 是 ? 對(duì)應(yīng)于特征值 ? 的特征向量，則 ? 是 39。? 對(duì)應(yīng)特征值 ? 的特征向量 . 證明 設(shè) ?? ??? ，則 0?? ????，于是 ( , ) 0?? ?? ?? ??? ? ?，因2( 39。 , 39。 ) ( 39。 , 39。 ) ( 39。 , ) ( , 39。 ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2( , ) ( 39。 , ) ( , 39。 ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?8 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ( , ) 0?? ?? ?? ??? ? ? ? 所以 39。0? ? ???? ，即 39。?? ??? ， ? 是 39。? 對(duì)應(yīng)于特征值 ? 的特征向量 . 定理 9 在 n 維歐氏空間中，正規(guī)變換 ? 屬 于兩個(gè)不同特征值的特征向量是正交的 . 證明 設(shè) ?? ??? ， ?? ??? ， ??? ，由引理 1可知 39。? ? ??? ，因( , )??? ? ( , ) ( , ) ( , 39。 ) ( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?，故 ( )( , ) 0? ? ? ???，所以 ( , ) 0??? 故 ,??正交 .即定理 9證畢 . 致 謝 畢業(yè)論文終于順利完成了，在此，要特別感謝我的指導(dǎo)老師 — 胡付高副教授給予我的大力支持與悉心指導(dǎo)！ [參考文獻(xiàn) ] [1] Johnson C R. Positive Definite Matrices [ J ]. AmerMath Monthly, 1970 (77) : 259～ 264. [2] 屠伯塤 . 亞正定陣?yán)碚?( I) [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) , 1990, 33 (4) :426～ 471. [3] 屠伯塤 . 亞 正定陣?yán)碚?( II) [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) , 1991, 34 (1) :91～ 102. [4] 李炯生 . 對(duì)稱部分為半正定的方陣 [ J ]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) ,1996, 39 (3) : 376～ 381. [5] 佟文延 . 廣義正定矩陣 [ J ]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) , 1984, 27 (6) : 801～ 810. [6] 李炯生 . 實(shí)方陣的正定性 [J ]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) , 1985(3)∶ 67 71. [7] 胡永建 , 陳公寧 . 有關(guān)實(shí)正定陣的一些性質(zhì) [J ]. 北京師范大學(xué)學(xué)報(bào) , 1996, 32 (1) ∶40～ 46 [8] 詹仕林 . 次亞正定矩陣的判定 [J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) , 2020, 19(2) :191 196. [9] 殷慶祥 . 關(guān)于實(shí)方陣的正定性 [J] . 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) ,2020 (2) :245 247. [10] 樊樹平 ,李美菊 .亞正定矩陣乘積的亞正定性 [J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020， 30（ 2）：112 113. [11] 詹仕林 .關(guān)于實(shí)方陣的正定性與規(guī)范性的進(jìn)一步拓廣 [J] . 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) ,2020 (7) :136 145. 9 [12] 屠伯塤，徐誠(chéng)浩，王芬 .高等代數(shù) [M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社， 1987 [13] 趙禮峰，蔡雷敏 .亞正定矩陣的一些性質(zhì) [J].淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020（ 2）： 22 26. [14] 郭華 .酉空間的正規(guī)變換 [J].渝州大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020（ 4）： 69 72. [15] 莊禮斌 .一類亞正定矩陣 [J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020（ 1）： 25 31.
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