【導(dǎo)讀】算術(shù)平方根，估算無(wú)理數(shù)的大小?！咭粋€(gè)正方形的面積是15，∴該正方形的邊長(zhǎng)為15，∵9＜15＜16，∴3＜15＜4。，解得x=﹣1或x=3k。②當(dāng)AC=AB時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右面時(shí)，，∴AB=AC=10，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴能使△ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是3條。A），過(guò)P、O兩點(diǎn)的二次函數(shù)y1和過(guò)P、A兩點(diǎn)的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下，它們的頂點(diǎn)分別為B、C，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！連F⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。由勾股定理得：DE=5。設(shè)P，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。A．40°B．60°C．80°D．90°一元一次方程的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理?！螧1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，A、a2和a3不是同類項(xiàng)，不可以全并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故此選項(xiàng)正確。

　　

【正文】 、 B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定 AB、 OC的長(zhǎng)。 （ 2）直線 l∥BC ，可得出 △AED∽△ABC ，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關(guān)于 s、 m的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題目條件：點(diǎn) E與點(diǎn) A、 B不重合，可確定 m的取值范圍。 （ 3） ① 首先用 m列出 △AEC 的面積表達(dá)式， △AEC 、 △AED 的面積差即為 △CDE 的面積，由此可得關(guān)于 S△CDE 關(guān)于 m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到 S△CDE 的最大面積以及此時(shí) m的值。 ② 過(guò) E做 BC的垂線 EF，這個(gè)垂線段的長(zhǎng)即為與 BC相切的 ⊙E 的半徑，可根據(jù)相似三角形 △BEF 、△BCO 得到的相關(guān)比例線段求得該半徑的值，由此得解。 4. （ 2020廣東深圳 9分） 如圖，已知 △ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(－ 4， 0)、 B(1， 0)、 C(－ 2， 6)． (1)求經(jīng)過(guò) A、 B、 C三點(diǎn)的拋物線解析式； (2)設(shè)直線 BC交 y軸于點(diǎn) E，連接 AE，求證： AE=CE。 (3)設(shè)拋物線與 y軸交于點(diǎn) D，連接 AD交 BC于點(diǎn) F，試問(wèn)以 A、 B、 F，為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似嗎？ 請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解：（ 1） ∵ 拋物線經(jīng)過(guò) A(－ 4， 0)、 B(1， 0)， ∴ 設(shè)函數(shù)解析式為： y=a（ x＋ 4）（ x－ 1）。 又 ∵ 由拋物線經(jīng)過(guò) C（－ 2， 6）， ∴6=a （－ 2＋ 4）（－ 2－ 1）， 解得： a=－ 1。 ∴ 經(jīng)過(guò) A、 B、 C三點(diǎn)的拋物線解析式為： y=－（ x＋ 4）（ x－ 1），即 y=－ x2－ 3x＋ 4。 （ 2）證明：設(shè)直線 BC的函數(shù)解析式為 y=kx+b， 由題意得： k b 0 2k b 6????? ? ?? ，解得： k 2 b2???? ??。 ∴ 直線 BC的解析式為 y=－ 2x+2． ∴ 點(diǎn) E的坐標(biāo)為（ 0， 2）。 ∴ ? ? ? ?222 2 2 2 A E A O O E 4 2 2 5 C E 2 0 6 2 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ∴AE=CE 。 （ 3）相似。理由如下： 設(shè)直線 AD的解析式為 y=k1x+b1，則 1114k b 0 b 4? ? ??? ?? ，解得： 11k1 b 4??? ?? 。 ∴ 直線 AD的解析式為 y=x+4。 聯(lián)立直線 AD與直線 BC的函數(shù)解析式可得： y x 4 y 2x 2???? ?? ??，解得：2 x310 y3? ?????? ???。 ∴ 點(diǎn) F的坐標(biāo)為（ 2 1033? ， ）。 則 ? ?2 2 2 22 1 0 5 5 2 1 0 1 0 2B F 1 0 A F 4 1 03 3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?。 又 ∵AB= 5， ? ? ? ?22B C 2 1 6 0 3 5? ? ? ? ? ?， ∴ B F 5 A B 5A B 3 B C 3?? ， 。 ∴ BF AB AB BC? 。 又 ∵∠ABF=∠CBA ， ∴△ABF∽△CBA 。 ∴ 以 A、 B、 F為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定。 【分析】 （ 1）利用待定系數(shù)法求解即可得出拋物線的解析式。 （ 2）求出直線 BC的函數(shù)解析式，從而得出點(diǎn) E的坐標(biāo)，然后分別求出 AE 及 CE 的長(zhǎng)度即可證明出結(jié)論。 （ 3）求出 AD 的函數(shù)解析式，然后結(jié)合直線 BC 的解析式可得出點(diǎn) F 的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理分別求出 BF， BC 得出 BF AB AB BC? ；由題意得 ∠ABF=∠CBA ， 即可 作出判斷。 5. （ 2020廣東廣州 14分） 如圖，在平行四邊形 ABCD中， AB=5， BC=10， F為 AD的中點(diǎn)， CE⊥AB 于 E，設(shè) ∠ABC=α （ 60176?！堞?＜ 90176。 ）． （ 1）當(dāng) α=60176。 時(shí)，求 CE 的長(zhǎng)； （ 2）當(dāng) 60176。 ＜ α ＜ 90176。 時(shí)， ① 是否存在正整數(shù) k，使得 ∠EFD=k∠AEF ？若存在，求出 k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． ② 連接 CF，當(dāng) CE2﹣ CF2取最大值時(shí)，求 tan∠DCF 的值． 【答案】 解：（ 1） ∵α=60176。 ， BC=10， ∴sinα= CEBC ，即 sin60176。= CE 310 2? ，解得 CE=53。 （ 2） ① 存在 k=3， 使得 ∠EFD=k∠AEF 。理由如下： 連接 CF并延長(zhǎng)交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G， ∵F 為 AD的中點(diǎn)， ∴AF=FD 。 在平行四邊形 ABCD中， AB∥CD ， ∴∠G=∠DCF 。 在 △AFG 和 △CFD 中， ∵∠G=∠DCF ， ∠G=∠DCF ， AF=FD， ∴△AFG≌△CFD （ AAS）。 ∴CF=GF ， AG=CD。 ∵CE⊥AB ， ∴EF=GF 。 ∴∠AEF=∠G 。 ∵AB=5 ， BC=10，點(diǎn) F是 AD的中點(diǎn)， ∴AG=5 ， AF=12 AD=12 BC=5。 ∴AG=AF 。 ∴∠AFG=∠G 。 在 △AFG 中， ∠EFC=∠AEF+∠G=2∠A EF， 又 ∵∠CFD=∠AFG ， ∴∠CFD=∠AEF 。 ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF ， 因此，存在正整數(shù) k=3，使得 ∠EFD=3∠AEF 。 ② 設(shè) BE=x， ∵AG=CD=AB=5 ， ∴EG=AE+AG=5 ﹣ x+5=10﹣ x， 在 Rt△BCE 中， CE2=BC2﹣ BE2=100﹣ x2。 在 Rt△CEG 中， CG2=EG2+CE2=（ 10﹣ x） 2+100﹣ x2=200﹣ 20x。 ∵CF=GF （ ① 中已證）， ∴CF 2=（ 12 CG） 2=14 CG2=14 （ 200﹣ 20x） =50﹣ 5x。 ∴CE 2﹣ CF2=100﹣ x2﹣ 50+5x=﹣ x2+5x+50=﹣（ x﹣ 52 ） 2+50+254 。 ∴ 當(dāng) x=52 ，即點(diǎn) E是 AB的中點(diǎn)時(shí)， CE2﹣ CF2取最大值。 此時(shí)， EG=10﹣ x=10﹣ 5 15=22， CE= 2 2 5 5 1 51 0 0 x = 1 0 0 =42??， ∴5 15CG 152ta n D CF ta n G15E G 32? ? ? ? ? ?。 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理。 【分析】 （ 1）利用 60176。 角的正弦值列式計(jì)算即可得解。 （ 2） ① 連接 CF并延長(zhǎng)交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，利用 “ 角邊角 ” 證明 △AFG 和 △CFD 全等，根 據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 CF=GF， AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 EF=GF，再根據(jù) AB、 BC的長(zhǎng)度可得 AG=AF，然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得 ∠AEF=∠G=∠AFG ，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得 ∠EFC=2∠G ，然后推出 ∠EFD=3∠AEF ，從而得解。 ② 設(shè) BE=x，在 Rt△BCE 中，利用勾股定理表示出 CE2，表示出 EG 的長(zhǎng)度，在 Rt△CEG 中，利用勾股定理表示出 CG2，從而得到 CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答。 6. （ 2020浙江 嘉興 、舟山 14分） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn) P是拋物線： y=x2上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)）．連接 OP，過(guò)點(diǎn) 0作 OP的垂線交拋物線于另一點(diǎn) Q．連接 PQ，交 y軸于點(diǎn) M．作 PA丄 x軸于點(diǎn) A，QB丄 x軸于點(diǎn) B．設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 m． （ 1）如圖 1，當(dāng) m= 2 時(shí)， ① 求線段 OP的長(zhǎng)和 tan∠POM 的值； ② 在 y軸上找一點(diǎn) C，使 △OCQ 是以 OQ 為腰的等腰三角形，求點(diǎn) C的坐標(biāo)； （ 2）如圖 2，連接 AM、 BM，分別與 OP、 OQ 相交于點(diǎn) D、 E． ① 用含 m的代數(shù)式表示點(diǎn) Q的坐標(biāo)； ② 求證：四邊形 ODME是矩形． 【答案 】 解：（ 1） ① 把 x= 2 代入 y=x2，得 y=2， ∴P （ 2 ， 2）， ∴OP= 6 。 ∵PA 丄 x軸， ∴PA∥MO ． ∴ O P 2ta n P O M ta n O P A =A P 2? ? ? ?。 ② 設(shè) Q（ n， n2）， ∵tan∠QOB=tan∠POM ， ∴ 2n2=? ． ∴ 2n= 2? 。 ∴Q （ 2122? ， ）。 ∴OQ= 32 。 ∴ 當(dāng) OQ=OC 時(shí)，則 C1（ 0， 32 ）， C2（ 0，－ 32 ）。 當(dāng) OQ=CQ 時(shí)，則 C3（ 0， 1）。 （ 2） ①∵ 點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 m， ∴P （ m， m2）。設(shè) Q（ n， n2）， ∵△APO∽△BOQ ， ∴ BQ BO=AO AP 。 ∴ 22nn=m m?，得 1n=m? 。 ∴Q （211m m? ， ）。 ② 設(shè)直線 PO的解析式為： y=kx+b，把 P（ m， m2）、 Q（211m m? ， ）代入，得： 22m =mk+b11= k+bmm??? ????，解得 b=1。 ∴M （ 0， 1）。 ∵2QB OB 1=MO AP m?， ∠QBO=∠MOA=90176。 ， ∴△QBO∽△MOA 。 ∴∠MAO=∠QOB ， ∴QO∥MA 。 同理可證： EM∥OD 。 又 ∵∠EOD=90176。 ， ∴ 四邊形 ODME是矩形。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，平行的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定。 【分析】 （ 1） ① 已知 m的值，代入拋物線的解析式中可求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；由此確定 PA、 OA的長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形易得出結(jié)論。 ② 題目要求 △OCQ 是以 OQ為腰的等腰三角形，所以分 QO=OC、 QC=QO兩種情況來(lái)判斷： QO=QC時(shí)， Q在線段 OC的垂直平分線上， Q、 O的縱坐標(biāo)已知， C點(diǎn)坐標(biāo)即可確定； QO=OC時(shí)，先求出 OQ的長(zhǎng)，那么 C點(diǎn)坐標(biāo)可確定。 （ 2） ① 由 ∠QOP=90176。 ，易求得 △QBO∽△MOA ，通過(guò)相關(guān)的比例線段來(lái)表示出點(diǎn) Q的坐標(biāo)。 ② 在四邊形 ODME 中，已知了一個(gè)直角，只需判定該四邊形是平行四邊形即可，那么可通過(guò)證明兩組對(duì)邊平行來(lái)得證。 7. （ 2020浙江麗水 、金華 12分） 在 △ABC 中， ∠ABC ＝ 45176。 ， tan∠ACB ＝ ．如圖，把 △ABC 的 一邊 BC放置在 x軸上，有 OB＝ 14， OC＝ ， AC與 y軸交于點(diǎn) E． 21世紀(jì)教育網(wǎng) (1)求 AC所在直線的函數(shù)解析式； (2)過(guò)點(diǎn) O作 OG⊥AC ，垂足為 G，求 △OEG 的面積； (3)已知點(diǎn) F(10， 0)，在 △ABC 的邊上取兩點(diǎn) P， Q，是否存在以 O， P， Q為頂點(diǎn)的三角形與 △OFP 全等，且這兩個(gè)三角形在 OP的異側(cè)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解： (1) 在 Rt△OCE 中， OE＝ OCtan∠OCE ＝ 10 334 2 3435?? ， ∴ 點(diǎn) E(0， 234 。 設(shè)直線 AC的函數(shù)解析式為 y＝ kx＋ 234 ，有 10 3 4 k 2 3 4 03 ??，解得 ： k＝ 35? 。 ∴ 直線 AC的函數(shù)解析式為 y＝ 3x 2 345?? 。 (2) 在 Rt△OGE 中， tan∠EOG ＝ tan∠OCE ＝ EG 3GO5? ， 設(shè) EG＝ 3t， OG＝ 5t， 22O E = E G + O G = 3 4 t， ∴ 2 34= 34t ，得 t＝ 2。 ∴EG ＝ 6， OG＝ 10。 ∴O E G 11S O G E G = 1 0 6 = 3 022? ? ? ? ?＝/ (3) 存在。 ① 當(dāng)點(diǎn) Q在 AC上時(shí)，點(diǎn) Q即為點(diǎn) G， 如圖 1，作 ∠FOQ 的角平分線交 CE 于點(diǎn) P1， 由 △OP 1F≌△OP 1Q，則有 P1F⊥x 軸， 由于點(diǎn) P1在直線 AC上，當(dāng) x＝ 10時(shí)， y＝ 3 1 0 2 3 4 2 3 4 65? ? ? ? ? ∴ 點(diǎn) P1(10， 2 34 6? )。 ② 當(dāng)點(diǎn) Q在 AB上時(shí)，如圖 2，有 OQ＝ OF，作 ∠FOQ的角平分線交 CE于點(diǎn) P2，過(guò)點(diǎn) Q作 QH⊥OB 于點(diǎn) H，設(shè) OH＝ a， 則 BH＝ QH＝ 14－ a， 在 Rt△OQH 中， a2＋ (14－ a)2＝ 100， 解得： a1＝ 6， a2＝ 8， ∴Q( － 6， 8)或 Q(－ 8， 6)。 連接 QF交 OP2于點(diǎn) M