【導(dǎo)讀】軸和文氏圖解集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。若，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為BAa?，的所有子集的個(gè)數(shù)是；1212aaann. 若為真，當(dāng)且僅當(dāng)、至少有一個(gè)為真pqpq?（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)為增函數(shù)，否則為減函數(shù)。在區(qū)間，內(nèi)，若總有則為增函數(shù)。fxfaxxa()()與的圖象關(guān)于直線對稱2??

　　

【正文】 數(shù) ? ?（ ）若 、 互斥，則2 A B P A B P A P B? ? ?( ) ( ) ? ? ? ? ? ?（ ）若 、 相互獨(dú)立，則 3 A B P A B P A P B? （ ）4 1P A P A( ) ( )? ? （ 5）如果在一次試驗(yàn)中 A發(fā)生的概率 是 p，那么在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 A恰好發(fā)生 ? ?k 次的概率： P k C p pn nk k n k( ) ? ? ?1 如：設(shè) 10件產(chǎn)品中有 4件次品， 6件正品，求下列事件的概率。 （ 1）從中任取 2件都是次品； P CC1 42102215? ???? ??? （ 2）從中任取 5件恰有 2件次品； P C CC2 42 631051021? ???? ??? （ 3）從中有放回地任取 3件至少有 2件次品； 解析： 有放回地抽取 3次（每次抽 1件），∴ n＝ 103 而至少有 2件次品為“恰有 2次品”和“三件都 是次品” ∴ m C? ?32 2 1 34 6 4 ∴ P C3 32 2 334 6 410 44125? ? ? 28 （ 4）從中依次取 5件恰有 2件次品。 解析： ∵一件一件抽取（有順序） ∴ ，n A m C A A? ?105 42 52 63 ∴ P C A AA4 42 52 631051021? ? 分清（ 1）、（ 2）是組合問題，（ 3）是可重復(fù)排列問題，（ 4）是無重復(fù)排列問題。 54. 抽樣方法主要有：簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐 個(gè)抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。 55. 對總體分布的估計(jì) —— 用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法： ? ?（ ）算數(shù)據(jù)極差 ；1 x xm a x m i n? （ 2）決定組距和組數(shù)； （ 3）決定分點(diǎn)； （ 4）列頻率分布表 ； （ 5）畫頻率直方圖。 其中，頻率 小長方形的面積 組距 頻率組距? ? ? ?樣本平均值： ??x n x x xn? ? ? ?1 1 2 ? ? ? ? ? ?? ?樣本方差： ??S n x x x x x xn2 1 2 2 2 21? ? ? ? ? ? ? 如：從 10 名女生與 5名男生中選 6 名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為 ____________。 （ ）C CC104 52156 56. 你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？ （ 1）向量 —— 既有大小又有方向的量。 29 （ ）向量的?！邢蚓€ 段的長度，2 | |a? （ ）單位向量 ，3 10 0| | | |a a aa? ???? ? （ ）零向量 ，4 0 0 0? ? ?| | （ ）相等的向量 長度相等方向相同5 ? ??? ?? ?a b 在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。 （ 6）并線向量（平行向量） —— 方向相同或相反的向量。 規(guī)定零向量與任意向量平行。 b a b b a? ? ? ? ? ?? ? ?∥ 存在唯一實(shí)數(shù) ，使( )0 ? ? （ 7）向量的加、減法如圖： OA OB OC? ? ? ? ? OA OB BA? ? ? ? ? （ 8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a? ? ?1 2， 是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線 向量， 為該平面任一向量，則 存在唯一 實(shí)數(shù)對 、 ，使得 ， 、 叫做表示這一平面內(nèi)所 有向量? ? ? ?1 2 1 1 2 2 1 2a e e e e? ? ? ? ?? ? 的一組基底。 （ 9）向量的坐標(biāo)表示 30 i j x y? ?， 是一對互相垂直的單位 向量，則有且只有一對 實(shí)數(shù) ， ，使得 ? ?a x i y j x y a a x y? ? ? ? ?? ? ?，稱 ， 為向量 的坐標(biāo)，記作： ， ，即為向量的坐標(biāo)( ) 表示。 ? ? ? ?設(shè) ， ， ，a x y b x y? ?? ?1 1 2 2 ? ? ? ? ? ?則 ， ， ，a b x y y y x y x y? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 1 2 2 ? ? ? ?? ? ? ?a x y x y? ? ?1 1 1 1， ， ? ? ? ?若 ， ， ，A x y B x y1 1 2 2 ? ?則 ，AB x x y y? ? ? ?2 1 2 1 ? ? ? ?| |AB x x y y A B? ? ? ? ?2 1 2 2 1 2 ， 、 兩點(diǎn)間距離公式 57. 平面向量的數(shù)量積 （ ） 叫做向量 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積）。1 a b a b a b? ? ? ? ? ?? | | | | cos ? ? ?? ? ?為向量 與 的夾角， ，a b? ? ? 0 B ?b O ? D A ?a 數(shù)量積的幾何意義： a b a b a b? ? ? ? ? 等于 與 在 的方向上的射影 的乘積。| | | | cos ? （ 2）數(shù)量積的運(yùn)算法則 ① a b b a? ? ? ?? 31 ② ( )a b c a c b c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?③ ， ，a b x y x y x x y y? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2 1 2 注意：數(shù)量積不滿足結(jié) 合律 ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?（ ）重要性質(zhì)：設(shè) ， ， ，3 1 1 2 2a x y b x y? ?? ? ① ⊥ a b a b x x y y? ? ? ?? ? ? ? ?0 01 2 1 2 ② ∥ 或 a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?| | | | | | | | ? ? ?? ? ?a b b? ?（ ， 惟一確定）0 ? ? ?x y x y1 2 2 1 0 ③ ， a a x y a b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 2 12 12| | | | | | | | ④ cos | | | |? ? ??? ?? ?? ?a ba bx x y yx y x y1 2 1 212 12 22 22 ［練習(xí)］ （ ）已知正方形 ，邊長為 ， ， ， ，則1 1A B C D AB a BC b AC c? ? ? ? ? ?? ? ? | |a b c? ? ?? ? ? 答案： 22 ? ? ? ?（ ）若向量 ， ， ， ，當(dāng) 時(shí) 與 共線且方向相同2 1 4a x b x x a b? ? ? ?? ? ? 答案： 2 （ ）已知 、 均為單位向量，它們的 夾角為 ，那么3 60 3a b a bo? ? ? ?? ?| | 答案： 13 58. 線段的定比分點(diǎn) ? ? ? ? ? ?設(shè) ， ， ， ，分點(diǎn) ， ，設(shè) 、 是直線 上兩點(diǎn)， 點(diǎn)在P x y P x y P x y P P P1 1 1 2 2 2 1 2 l l 上且不同于 、 ，若存在一實(shí)數(shù) ，使 ，則 叫做 分有向線段P P P P PP P1 2 1 2? ? ?? ? ? P P P P P P P P1 2 1 2 1 20 0? ? ?所成的比（ ， 在線段 內(nèi)， ， 在 外），且? ? 32 x x xy y yP P Px x xy y y? ??? ?????????? ?? ????????1 21 21 21 21 21122????， 為 中點(diǎn)時(shí)， ? ? ? ? ? ?如： ， ， ， ， ， ，? A B C A x y B x y C x y1 1 2 2 3 3 則 重心 的坐標(biāo)是 ，? A B C G x x x y y y1 2 3 1 2 33 3? ? ? ???? ??? ※ . 你能分清三角形的重心、 垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？ 59. 立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？ 平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 線∥線 線∥面 面∥面判定 線⊥線 線⊥面 面⊥面 性質(zhì)線∥線 線⊥面 面∥面? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? 線面平行的判定： a b b a a∥ ， 面 ， ∥面? ? ?? ? ? a b ?? 線面平行的性質(zhì)： ? ? ? ? ? ?∥面 ， 面 ， ∥? ? ?? b a b 三垂線定理（及逆定理）： PA AO PO⊥面 ， 為 在 內(nèi)射影， 面 ，則? ? ?a ? a OA a PO a PO a AO⊥ ⊥ ； ⊥ ⊥? ? ? ?a P O 線面垂直： a b a c b c b c O a⊥ ， ⊥ ， ， ， ⊥? ? ?? ?? 33 a O α b c 面面垂直： a a⊥面 ， 面 ⊥? ? ? ?? ? 面 ⊥面 ， ， ， ⊥ ⊥? ? ? ? ? ?? ? ? ?l la a a α a l β a b a b⊥面 ， ⊥面 ∥? ? ? 面 ⊥ ，面 ⊥ ∥? ? ? ?a a ? a b ?? 60. 三類角的定義及求法 （ 1）異面直線所成的角θ， 0176。＜θ≤ 90176。 （ 2）直線與平面所成的角θ， 0176?！堞取?90176。 ? ? ?＝ 時(shí)， ∥ 或0 bo b ? 34 （ ）二面角：二面角 的平面角 ，3 0 180? ? ? ?? ? ? ?l o o （三垂線定理法： A∈α作或證 AB⊥β于 B，作 BO⊥棱于 O，連 AO，則 AO⊥棱 l，∴∠ AOB為所求。） 三類角的求法： ①找出或作出有關(guān)的角。 ②證明其符合定義，并指出所求作的角。 ③計(jì)算大?。ń庵苯侨切危蛴糜嘞叶ɡ恚?。 ［練習(xí)］ （ 1）如圖， OA為α的斜線 OB 為其在α內(nèi)射影， OC為α內(nèi)過 O點(diǎn)任一直線。 證明： cos cos cos? ? ?? A O B ??????? ?????? ?????? ????? C ? D α θ β （ 為線面成角，∠ ，∠ ）? ? ?AOC = BOC = 35 （ 2）如圖，正四棱柱 ABCD— A1B1C1D1中對角線 BD1＝ 8， BD1與側(cè)面 B1BCC1所成的為 30176。 ①求 BD1和底面 ABCD所成的角； ②求異面直線 BD1和 AD 所成的角； ③求二面角 C1— BD1— B1的大小。 D 1 C 1 A 1 B 1