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【正文】 sin 2 , .2A B A B A B ?? ? ? ?則 或特別注意，在三角函數(shù)中， sin sinA B A B? ? ?不成立。 第二章：數(shù)列 數(shù)列中 na 與 nS 之間的關(guān)系： 11, ( 1), ( 2 ).n nnSna S S n???? ? ???注意通項(xiàng)能否合并。 等差數(shù)列： ⑴ 定義： 如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)， 即 na － 1?na =d ，（ n≥ 7 2， n∈ N? ）， 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。 ⑵ 等差中項(xiàng)： 若三數(shù) a A b、 、 成等差數(shù)列2abA ??? ⑶ 通項(xiàng)公式： 1 ( 1 ) ( )nma a n d a n m d? ? ? ? ? ? 或 (na p n q p q?? 、 是 常 數(shù) ） . ⑷ 前 n 項(xiàng) 和公式： ? ? ? ?11 122 nn n n n a aS n a d??? ? ? ⑸ 常用性質(zhì) ： ①若 ? ???????? Nqpnmqpnm ,，則qpnm aaaa ??? ； ②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng) ? ??, 2 mkmkk aaa ?? ，仍組成等差數(shù)列； ③數(shù)列 ? ?ban?? （ b,? 為常數(shù)）仍為等差數(shù)列； ④ 若 {}na 、 {}nb 是等差數(shù)列，則 {}nka 、 {}nnka pb? (k 、 p 是非零常數(shù) )、 *{ }( , )p nqa p q N? ? 、?也成等差數(shù)列。 ⑤ 單調(diào)性： ??na 的公差為 d ，則： ?。???0d ??na 為遞增數(shù)列； ⅱ） ??0d ??na 為遞減數(shù)列； ⅲ） ??0d ??na 為常數(shù)列； ⑥數(shù)列 {na }為 等差數(shù)列 na pn q? ? ? （ p,q是常數(shù)） ⑦若等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ，則 kS 、 kk SS ?2 、kk SS 23 ? ? 是 等差 數(shù)列。 等比數(shù)列 ⑴ 定義： 如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。 ⑵ 等比中項(xiàng)： 若三數(shù) ab、 G、 成等比數(shù)列 2 ,G ab??（ ab 同號(hào)）。 反之不一定成立。 ⑶ 通項(xiàng) 公式： 11 n n mnma a q a q???? ⑷ 前 n 項(xiàng) 和公式： ? ?1 1111n nnaq a a qS qq? ????? ⑸ 常用性質(zhì) ①若 ? ???????? Nqpnmqpnm ,，則m n p qa a a a? ? ? ； ② ?, 2 mkmkk aaa ?? 為等比數(shù)列，公比為 kq (下標(biāo)成等差數(shù)列 ,則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列 ) ③ 數(shù)列 ? ?na? （ ? 為不等于零的常數(shù)）仍是公比為 q 的等比數(shù)列； 正項(xiàng)等比數(shù)列 ??na ；則 ? ?lgna 是公差為lgq 的 等差 數(shù)列； ④若 ??na 是等比數(shù)列，則 ? ? ? ?2nnca a， ， 1na??????， ? ?()rna r Z? 是等比數(shù)列，公比依次是 2 1 .rq q qq， ， ， ⑤ 單調(diào)性： 110 , 1 0 , 0 1a q a q? ? ? ? ?或 ? ?na? 為遞增數(shù)列；? ?110 , 0 1 0 , 1 na q a q a? ? ? ? ? ?或?yàn)檫f減數(shù)列； ? ?1 nqa?? 為常數(shù)列； ? ?0 nqa?? 為擺動(dòng)數(shù)列； ⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。 ⑦ 若等比數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ，則 kS 、 kk SS ?2 、kk SS 23 ? ? 是 等比 數(shù)列 . 非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 類(lèi)型Ⅰ 觀察法 ： 已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。 類(lèi)型 Ⅱ 公式法： 若已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nS 與 na的關(guān)系，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) na 可用公式 11, ( 1), ( 2 )n nnSna S S n???? ? ???構(gòu)造兩式作差 求解。 8 用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“ 一分為二 ”，即分段式；另一種是“ 合二為一 ” ， 即 1a 和 na合為一個(gè)表達(dá)， （ 要先分 1n? 和 2?n 兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一 ）。 類(lèi)型 Ⅲ 累加法 ： 形如 )(1 nfaa nn ??? 型的 遞推數(shù)列 （ 其中 )(nf 是 關(guān)于 n 的函數(shù)） 可 構(gòu)造 ： 11221( 1)( 2 )..(1.)nnnna a f na a f na a f??????????? ? ?????? 將上述 1?n 個(gè)式子 兩邊分別相加 ，可得：1( 1 ) ( 2 ) . . . ( 2 ) ( 1 ) , ( 2 )na f n f n f f a n? ? ? ? ? ? ? ? ① 若 ()fn是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和 。 ② 若 ()fn是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和 。 ③ 若 ()fn是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，累加后可分組求和 。 ④ 若 ()fn是關(guān)于 n 的分式函數(shù)，累加后可 裂項(xiàng)求和 . 類(lèi)型 Ⅳ 累乘法 ： 形如 1 ()nna a f n? ?? 1 ()nna fna????????型的遞推數(shù)列 （ 其中 )(nf 是 關(guān)于 n 的函數(shù)） 可構(gòu)造 ：11221( 1)(.2)(1..)nnnnafnaafnaafa??????????????????? 將上述 1?n 個(gè)式子 兩邊分別相乘 ，可得：1( 1 ) ( 2 ) . . . ( 2 ) ( 1 ) , ( 2 )na f n f n f f a n? ? ? ? ? ? ? 有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方 法求解。 類(lèi)型 Ⅴ 構(gòu)造數(shù)列法： ㈠ 形如 qpaa nn ???1 （其中 ,pq均為常數(shù)且 0p? ）型 的遞推式 ： （ 1）若 1p? 時(shí)，數(shù)列 { na }為等差數(shù)列 。 （ 2）若 0q? 時(shí)，數(shù)列 { na }為等比數(shù)列 。 （ 3）若 1p? 且 0?q 時(shí)，數(shù)列 {na }為線(xiàn)性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法 構(gòu)造等比數(shù)列 來(lái)求 .方法 有如下 兩種 ： 法一： 設(shè) 1 ()nna p a??? ? ? ?,展開(kāi)移項(xiàng)整理 得1 ( 1)nna pa p ?? ? ? ?,與題設(shè) 1nna pa q? ??比較系數(shù) （ 待定系數(shù)法） 得1, ( 0 ) ( )1 1 1nnq q qp a p ap p p? ?? ? ? ? ? ?? ? ?1()11nnqqa p app?? ? ? ???,即1n qa p????????構(gòu)成以1 1qa p? ?為首項(xiàng)，以 p 為公比的等比數(shù)列 .再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出1n qa p????????的 通項(xiàng) 整理可得 .na 法二 ： 由 qpaa nn ???1 得 1 ( 2 )nna p a q n?? ? ?兩式相減并整理得 11 ,nnnnaapaa??? ?? 即 ? ?1nnaa? ? 構(gòu)成以21aa? 為 首項(xiàng)，以 p 為公比的等比數(shù)列 .求出? ?1nnaa? ? 的通項(xiàng) 再 轉(zhuǎn)化為 類(lèi)型Ⅲ（累加法） 便可求出 .na ㈡形如 1 ()nna pa f n? ??( 1)p? 型的遞推式 ： ⑴ 當(dāng) ()fn為一次函數(shù)類(lèi)型（即 等差數(shù)列）時(shí)： 法一： 設(shè) ? ?1 ( 1 )nna A n B p A n B?? ? ? ? ? ?，通過(guò)待定系數(shù)法確定 AB、 的值，轉(zhuǎn)化成以 1a A B??為首項(xiàng)，以 p 為公比的等比數(shù)列 ? ?na An B??，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 ? ?na An B??的通項(xiàng)整 9 理可得 .na 法二： 當(dāng) ()fn的 公差為 d 時(shí)， 由遞推式得：1 ()nna pa f n? ??， 1 ( 1)nna pa f n?? ? ?兩式相減得： 11()n n n na a p a a d??? ? ? ?，令 1n n nb a a???得：1nnb pb d???轉(zhuǎn)化為 類(lèi)型Ⅴ ㈠ 求出 nb ， 再用 類(lèi)型Ⅲ（累加 法） 便可 求出 .na ⑵ 當(dāng) ()fn為 指數(shù) 函數(shù) 類(lèi)型 （即 等比數(shù)列） 時(shí)： 法一： 設(shè) ? ?1( ) ( 1 )nna f n p a f n???? ? ? ?，通過(guò)待定系數(shù)法確定 ? 的值，轉(zhuǎn)化成以 1 (1)af?? 為首項(xiàng)，以 p 為公比的等比數(shù)列 ? ?()na f n?? ，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 ? ?()na f n?? 的通項(xiàng)整理可得 .na 法二： 當(dāng) ()fn的 公比 為 q 時(shí)，由遞推式得：1 ()nna pa f n? ??—— ① ， 1 ( 1)nna pa f n?? ? ?， 兩邊同時(shí)乘以 q 得 1 ( 1)nna q p q a q f n?? ? ?—— ② ，由①②兩式相減得 11()n n n na a q p a q a??? ? ?，即11nna qa pa qa??? ?? ， 在轉(zhuǎn)化為 類(lèi)型Ⅴ ㈠ 便可 求出 .na 法三： 遞推公式為 nnn qpaa ???1 （其中 p， q均為常數(shù)）或 1 nnna pa rq? ??（ 其中 p， q, r 均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以 1?nq ，得：qqaqpqa nnnn 111 ?????， 引入輔助數(shù)列 ??nb （其中nnn qab ?），得：qbqpb nn 11 ???再應(yīng)用 類(lèi)型Ⅴ㈠ 的方法解決。 ⑶當(dāng) ()fn為任意 數(shù)列時(shí)，可用 通法 ： 在 1 ()nna pa f n? ??兩邊同時(shí)除以 1np? 可得到111()nnn n naa fnp p p????? ，令 n nna bp ? ，則 1 1()nn nfnbbp? ??? ，在轉(zhuǎn)化為 類(lèi)型Ⅲ（累加法） ，求出 nb 之后得 nnna pb? . 類(lèi)型Ⅵ 對(duì)數(shù) 變換 法： 形如 1 ( 0 , 0)qnna pa p a? ? ? ?型的遞推式： 在原遞推式 1 qna pa? ? 兩邊取對(duì)數(shù)得1lg lg lgnna q a p? ??，令 lgnnba? 得：1 lgnnb qb p? ??， 化 歸為 qpaa nn ???1 型 ，求出 nb之后得 10 .nbna ? （注意：底數(shù)不一定要取 10，可根據(jù)題意選擇）。 類(lèi)型Ⅶ 倒數(shù)變換法： 形如 11n n n na a pa a???? （ p 為常數(shù)且 0p? ） 的遞推式： 兩邊同除于 1nnaa? ， 轉(zhuǎn)化為111nnpaa???形式，化 歸為 qpaa nn ???1 型 求出 1na的表達(dá)式，再求 na ； 還有形如1 nn nmaa pa q? ? ?的遞推式， 也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成111nnmma q a p? ??形式， 化 歸為 qpaa nn ???1型 求出 1na的表達(dá)式，再求 na . 類(lèi)型Ⅷ 形如 nnn qapaa ?? ?? 12 型的遞推式： 用待定系數(shù)法， 化為特殊數(shù)列 }{ 1?? nn aa 的形式求解。 方法為：設(shè) )( 112 nnnn kaahkaa ??? ??? ，比較系數(shù)得 qhkpkh ???? , ，可解得 hk、 ， 于是1{}nna ka? ? 是公比為 h 的等比數(shù)列，這樣就 化 歸為 10 qpaa nn ???1 型。 總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式 .na 非等差、等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的求法 ⑴ 錯(cuò)位相減法 ①若數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，數(shù)列 ??nb 為 等比數(shù)列，則數(shù)列 ? ?nnab? 的求和就要采用此法 . ②將數(shù)列 ? ?nnab? 的每一項(xiàng)分別乘以 ??nb 的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列 ? ?nnab? 的前 n 項(xiàng)和 . 此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法 . ⑵ 裂項(xiàng)相消 法 一 般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)12( )( )nca an b an b? ?? 12( , , ,a b b c為 常 數(shù) ）時(shí)，往往可將 na 變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)相消法求和 . 可用 待定系數(shù)法 進(jìn)行裂項(xiàng)： 設(shè)12na an b an b??????，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得21cbb?? ? ，從而可得 1 2 2 1 1 211=