【正文】 己證明逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) 有下面關(guān)系：那么這個(gè)三角形是直角三角形強(qiáng)調(diào)說(shuō)明：（1）勾股定理及其逆定理的區(qū)別勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，逆定理是直角三角形的判定定理．（2）判定直角三角形的方法：①角為 、②垂直、③勾股定理的逆定理定理的應(yīng)用（投影顯示題目上）例1 如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為則這三角形是直角三角形例2 如圖，已知：CD⊥AB于D，且有求證：△ACB為直角三角形。以上例題，分別由學(xué)生先思考，然后回答．師生共同補(bǔ)充完善．（教師做總結(jié)）課堂小結(jié)：（1）逆定理應(yīng)用時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤：分不清哪一條邊作斜邊（最大邊）（2）判定是否為直角三角形的一種方法：結(jié)合勾股定理和代數(shù)式、方程綜合運(yùn)用。布置作業(yè)：a、書(shū)面作業(yè)P131＃9b、上交作業(yè)：已知：如圖，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF邊上的中線DG＝8求證：△DEF是等腰三角形擴(kuò)展資料：勾股定理教案勾股定理專題 第 1 講一、《標(biāo)準(zhǔn)》要求1．在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)等過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。2．在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力。3．經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用他們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。二、教學(xué)目標(biāo)：（一）、知識(shí)與技能：經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過(guò)程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，解和掌握勾股定理內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和推理能力。（二）、過(guò)程與方法：1．掌握勾股定理及其逆定理的內(nèi)容；2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長(zhǎng)（只限于常用的數(shù)）；3．通過(guò)對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．（三）、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)實(shí)例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。三、教學(xué)重點(diǎn)勾股定理及其逆定理在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的靈活應(yīng)用四、教學(xué)難點(diǎn)勾股定理及其逆定理的證明五、教學(xué)過(guò)程一、引入新課據(jù)傳兩千多年前的一天（公元前580490年左右），古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂(lè)，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來(lái)，原來(lái)朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過(guò)去問(wèn)他，誰(shuí)知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟地站了起來(lái)，大笑著跑回去了，原來(lái)，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關(guān)系呢？讓我們一起來(lái)探索！勾股定理被稱為“幾何學(xué)的基石”，勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。別名：商高定理、畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、動(dòng)手畫(huà)一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的長(zhǎng)。（2）、再畫(huà)一個(gè)兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長(zhǎng)你能觀察出直角三角形的三邊關(guān)系嗎？看不出來(lái)的話我們先來(lái)看一下下面的活動(dòng)。，上面的猜想關(guān)系還成立嗎？二、新知傳授通過(guò)上面的活動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因?yàn)槲覈?guó)古代把直角三角形較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國(guó)把上面的這個(gè)結(jié)論稱為勾股定理。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a+b=c。22勾股定理的一些變式：2a2=c2b2，b2=c2a2，c=(a+b)2ab．2勾股定理的證明勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．方法一：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以．(這個(gè)方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國(guó)第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。)方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．這是加菲爾德證法變式 如果將大正方形邊長(zhǎng)為c的小正方形沿對(duì)角線切開(kāi)，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個(gè)梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積，即:方法三：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．(這個(gè)方法是以前一個(gè)叫趙爽的人對(duì)這個(gè)圖做出的描述，所以這個(gè)圖又叫趙爽弦圖，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積。)那么勾股定理到底可以用來(lái)干什么呢？勾股定理的作用，求第三邊； ； 3． 與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算； 4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．類型一、勾股定理的直接應(yīng)用例在△ABC中，∠C＝90176。，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a2+b2=c2來(lái)求未知邊長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90176。，a2+b2=c2，a＝5，b＝12，所以c2=a2+b2=52+122=25+144=169．所以c＝13．（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90176。，a2+b2=c2，c＝26，b＝24，所以a2=c2b2=262242=676576=100．所以a＝10．練習(xí)1△ABC，AC=6，BC=8,當(dāng)AB=________時(shí)，∠C=90176?！鰽BC中，208。A=900，則下列式子中不成立的是（）=AB2+AC=BC2AB2 =BC2AC2=AC2+BC2△ABC中，∠C＝90176。，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；（2）已知a:c=3:5，b＝32，求a、c．【答案】解：（1）∵ ∠C＝90176。，b＝6，c＝10，∴ a=cb=106=64，∴ a＝8．（2）設(shè)a=3k，c=5k，∵ ∠C＝90176。，b＝32，∴ a+b=c．222(3k)+32=(5k)即． 22222222解得k＝8．∴ a=3k=3180。8=24，c=5k=5180。8=40．類型二、與勾股定理有關(guān)的證明例（2015?豐臺(tái)區(qū)一模）閱讀下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．由圖1可以得到（a+b）=42222，整理，得a+2ab+b=2ab+c．222所以a+b=c．如果把圖1中的四個(gè)全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請(qǐng)你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：由圖2可以得到，整理，得，所以．【答案與解析】證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4ab+（b﹣a）2，∴c2=4ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：4180。1ab+（ba)2=c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2練習(xí)2 如圖，在△ABC中，∠C＝90176。，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得，選A．類型三、與勾股定理有關(guān)的線段長(zhǎng)例如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D； 【解析】解：設(shè)AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x+8=(x+4)，解得x=6．2類型四、與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算例如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）A．6B．5C．11D．16 【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90176。，∠DEC+∠ECD=90176。，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵236。208。ABC=208。CDE239。237。208。ACB=208。DEC239。AC=CE238?！唷鰽BC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB+BC=AC ∴AB+DE=AC∴b的面積為5+11=16，故選D．練習(xí)4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請(qǐng)?jiān)趫D中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。22222，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=（） 【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故選B．類型五、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題例有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門(mén)，如果把竹竿豎放就比門(mén)高出1尺，斜放就恰好等于門(mén)的對(duì)角線，已知門(mén)寬4尺，求竹竿高與門(mén)高．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門(mén)的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門(mén)高．【答案與解析】解：設(shè)門(mén)高為x尺，則竹竿長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=，竹竿高=+1=（尺）答：，．練習(xí)5如圖，一個(gè)長(zhǎng)、寬、,1m,？，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？【答案】解：因?yàn)槠鞐U是垂直于地面的，所以∠C＝90176。，BC＝5m，AC＝12m，∴AB=BC+222AC=52+122=169 ．∴AB=13(m)．∴BC＋AB＝5＋13＝18(m)．∴旗桿折斷前的高度為18m．