【正文】 z162。162。(xx0)+Fy162。(yy0)+Fz162。(zz0)=0。切平面方程是：Fx求多元函數(shù)z=f(x , y)極值步驟：第一步：求出函數(shù)對(duì)x , y 的偏導(dǎo)數(shù)，并求出各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為零時(shí)的對(duì)應(yīng)的x,y的值 第二步：求出fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C第三步：判斷ACB2的符號(hào)，若ACB2大于零，則存在極值，且當(dāng)A小于零是極大值，當(dāng)A大于零是極小值；若ACB2小于零則無極值；若ACB2等于零則無法判斷二重積分的性質(zhì)：（1）（2）(3)242。242。kf(x,y)ds=k242。242。f(x,y)dsDD242。242。[f(x,y)177。g(x,y)]ds=242。242。f(x,y)ds177。242。242。g(x,y)dsDDDDD1D2242。242。f(x,y)ds=242。242。f(x,y)ds+242。242。f(x,y)ds(4)若f(x,y)g(x,y)，則（5）242。242。f(x,y)ds242。242。g(x,y)dsDD242。242。ds=s，其中s為積分區(qū)域D的面積D（6）mf(x,y)M，則ms（7）積分中值定理：242。242。f(x,y)dsMsD242。242。f(x,y)ds=sf(e,h)，其中(e,h)是區(qū)域D中的點(diǎn)DdP2(y)1雙重積分總可以化簡為二次積分（先對(duì)y，后對(duì)x的積分或先對(duì)x，后對(duì)y的積分形式）bP2(x)242。242。f(x,y)ds=242。dx242。DaP1(x)f(x,y)dy=242。dycP1(y)242。f(x,y)dx，有的積分可以隨意選擇積分次序，但是做題的復(fù)雜性會(huì)出現(xiàn)不同，這時(shí)選擇積分次序就比較重要，主要依據(jù)通過積分區(qū)域和被積函數(shù)來確定1雙重積分轉(zhuǎn)化為二次積分進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，對(duì)誰積分，就把另外的變量都看成常量，可以按照求一元函數(shù)定積分的方法進(jìn)行求解，包括湊微分、換元、分步等方法1曲線、曲面積分：（1）對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算方法：設(shè)函數(shù)f（x,y）在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為{x=j(t)y=f(t)，(atb)，則242。Lf(x,y)ds=242。f[j(t),f(t)]j162。2(t)+j162。2(t)dtab（2）格林公式：242。242。(D182。Q182。P)dxdy=209。Pdx+209。Qdy 242。242。182。x182。yLLrrr1向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算：a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，則有ka=(kx1,ky1,kz1)，rrrrxyzla+mb=(lx1+mx2,ly1+my2,lz1+mz2)，若a209。b，則1=1=1x2y2z2rrr1向量的模、數(shù)量積、向量積：若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，則向量a的模長rrr222a=x1+y1+z1；數(shù)量積（向量之間可以交換順序，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)值）a209。b＝rrrrrrrrrrrrb209。a=x1x2+y1y2+z1z2＝b209。a=abcosa,b，其中a,b表示向量b,a的夾角，且rrrr若a^b，則有a209。b＝0；向量積（向量之間不可以交換順序，其結(jié)果仍是一個(gè)向量）rrrijkrrrrrrrra180。b=x1y1z1=(y1z2y2z1)i+(x2z1x1z2)j+(x1y2x2y1)k，其中i,j,k是x軸、x2y2z2y軸、z軸的方向向量1常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)229。un=u1+u2+u3+...+un+...，令sn=u1+u2+u3+...+un稱為無n=1165。窮級(jí)數(shù)的部分和，若limsn=s，則稱改級(jí)數(shù)收斂，否則稱其為發(fā)散的。其中關(guān)于無窮級(jí)數(shù)x174。165。的一個(gè)必要非充分地定理是：若229。un收斂，則必有l(wèi)imun=0n=1x174。165。165。1三種特殊的無窮級(jí)數(shù)：（1）調(diào)和級(jí)數(shù)229。165。1是發(fā)散的，無須證明就可以直接引用 n=1n165。n（2）幾何級(jí)數(shù)229。aq，當(dāng)q1時(shí)收斂，當(dāng)q1時(shí)發(fā)散n=1（3）p級(jí)數(shù)229。1，當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)p163。1時(shí)發(fā)散 pn=1n165。165。n=11正項(xiàng)級(jí)數(shù)229。un的判斂方法：（1）比較判斂法：若存在兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)229。un，229。vn，且有vn163。un，若un收斂，則vn收n=1n=1165。165。斂；若vn發(fā)散，則un發(fā)散（2）比較判斂法的極限形式：若limun=l,(l0)，則un和vn具有相同的斂散性x174。165。vnun+1=l，若l1，則原級(jí)數(shù)收斂，若l1，則原級(jí)x174。165。un（3）比值判斂法：對(duì)于229。un，limn=1165。數(shù)發(fā)散1交錯(cuò)級(jí)數(shù)229。(1)n=1165。n1un的判斂方法：同時(shí)滿足unun+1及l(fā)imun=0，則級(jí)數(shù)收斂，否x174。165。則原級(jí)數(shù)發(fā)散絕對(duì)收斂和條件收斂：對(duì)于229。un，若229。un收斂，則稱其絕對(duì)收斂；若229。un發(fā)散，n=1n=1n=1165。165。165。但是229。un收斂，則稱其條件收斂n=1165。2函數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)形如：229。un(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...，通常討論的是n=1165。冪級(jí)數(shù)形如：229。anx=a0+a1x+a2x+a3x+...+anx+...，n=0165。n23n（1）收斂半徑及收斂區(qū)間：liman+11=r,則收斂半徑R=，收斂區(qū)間則為(R,R)，但x174。165。arn是要注意的是，收斂區(qū)間的端點(diǎn)是否收斂需要用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂方法驗(yàn)證(2n1)165。xnn1x（2）幾種常見函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式：e=229。，sinx=229。，（1）n=0n!n=1(2n1)!x165。165。165。11x2nn=229。x，=229。(1)nxn，cosx=229。(1)n=01+xn=0(2n)!1xn=0165。n2常微分方程的類型及解題方法：（1）可分離變量的微分方程：y162。=f(x,y)，總是可以分離變量化簡為式，然后等式兩邊同時(shí)積分，即可求出所需的解（2）齊次方程：y162。=f(x,y)，不同的是，等式右端的式子總是可以化簡為f()的形式，令dydx=的形f(y)f(x)yxy=u，則原方程化簡為可分離變量方程形式u+xu162。=f(u)來求解 x（3）一階線性微分方程：形如y162。+p(x)y=f(x)的方程，求解時(shí)首先求出該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程y162。+p(x)y=0的解y=cQ(x)，然后使用常熟變易法，令c=u(x)，把原方程的解y=u(x)Q(x)帶入原方程，求出u(x)，再帶入y=u(x)Q(x)中，即求出所需的解（4）全微分方程：形如p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的方程，只要滿足xy182。p(x,y)182。Q(x,y)=，182。y182。x則稱其為全微分方程，其解為u=242。0p(x,y)dx+242。Q(x,y)dy0（5）二階微分方程的可降階的三種微分方程：第一種：y162。162。=f(x)的形式，只需對(duì)方程連續(xù)兩次積分就可以求出方程的解第二種：y162。162。=f(x,y162。)的形式，首先令y162。=z，則原方程降階為可分離變量的一階微分方程z162。=f(x,z)的形式，繼續(xù)求解即可第三種：y162。162。=f(y,y162。)的形式，同樣令y162。=z，由于y162。162。=z162。=dzdzdydz==y162。，所以dxdydxdy原方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程dzz=f(y,z)的形式，繼續(xù)求解即可 dy（6）二階常系數(shù)齊次微分方程：y162。162。+py162。+qy=0，求解時(shí)首先求出該方程對(duì)應(yīng)的特征方r1x程r2+pr+q=0的解r1,r2，若實(shí)根r+c2er2x；若實(shí)根r1=r2，則解1185。r2，則解為y=c1e為y=(c1+c2x)e1；若為虛根a177。bi，則解為y=eax(c1cosbx+c2sinbx)rx（8）二階常系數(shù)非齊次微分方程：y162。162。+py162。+qy=Pm(x)e，求解時(shí)先按（7）的方法求其rx對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解y1，然后設(shè)出原方程的特解y*＝xQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相應(yīng)的未知系數(shù)，而k根據(jù)特征方程的解r1,r2與r的關(guān)系取值，m(x)同次的多項(xiàng)式，若r與特征根不相等，則k取0；若r和一個(gè)特征根相等，則k取1；若r和特征根都相等，則k取2，將特解代入原方程求出相應(yīng)的未知系數(shù)，最終原方程的解即通解加上特解，即ky=y1+y*