【正文】 算能力要求還是非常高的。王尚志：我想這個待定系數(shù)作為一個方法，依托是對于模型的理解，因此老師在準(zhǔn)備高考的時候，或者在日常教學(xué)中要不斷強(qiáng)化模型的思想，所以我們在高中學(xué)的模型沒有太多，比如函數(shù)的模型，簡單的冪函數(shù)沒有幾個，Y=X，Y=KX，Y=KX+B，Y=X次方，Y等于AX次方加BX加C，Y等于X分之一，Y等于X分之K，然后再難一點(diǎn)就是Y等于X加X分之一的拓展。然后還有Y等于X三方，Y等于X二分之一方，也就是這些，然后指數(shù)，對數(shù)，三角函數(shù)，還有一些簡單的分段函數(shù)，至少你要有分?jǐn)?shù)函數(shù)的意識，我想這是函數(shù)的模型。當(dāng)然還有離散函數(shù)，就是等差等比這種模型，你仔細(xì)想，概率剛才我們說了，四個基本模型，模型并不是那么太多了，我們至少要讓學(xué)生把這些基本模型，以及這些基本模型能處理問題的范圍解清楚，這個是掌握待定系數(shù)最基本的東西。張思明：首先要判斷模型的特征，由哪些東西來決定的，這個教學(xué)中要講清楚。王尚志：第一是有哪些模型，第二誰來決定這些模型，基本的參數(shù)是什么，這些模型能解決哪些問題，這是最基本的東西。那么再處理我們的問題可能會好一些。張思明：其他的通性通法也舉一些例子。薛文敘：下面就舉一個中間變量替換我們舉幾個例子。一個是今年山東文科的第15題，是填空題，已知，那么求 所對應(yīng)函數(shù)值。那么這一道沒有給f(x)，給的是復(fù)合函數(shù)，所以必須得首先用換元法，同學(xué)都很熟悉的，首先就設(shè)一個，然后轉(zhuǎn)化一下，把f(x)就找出來了，找出f(x)以后，就數(shù)列就把對數(shù)的和，就變成了指數(shù)的積，我們就可以用一個等差數(shù)列求和，這個問題就很容易解決了。所以關(guān)鍵就在于，換元能不能把函數(shù)的關(guān)系搞清楚了。張飴慈：實(shí)際上中間變量，實(shí)際上我們知道了一個映射，比如說，還有一個f(x)，我知道他們合成的結(jié)果，?，其實(shí)這道題目很快把這個函數(shù)找出來。王尚志：我想一定不是抽象的數(shù)據(jù)，一定要拿具體的東西，你要養(yǎng)一個意識，我看這個具體函數(shù)，我怎么來看待它。有時候一定要把最抽象的講清楚，實(shí)際上不是這個意思，我想要結(jié)合具體的問題，養(yǎng)成比較敏銳的看法，對這一類問題我覺得是比較好的。薛文敘：比如說山東第12題，也是文科，有一個函數(shù)，是一個復(fù)合函數(shù)，把指數(shù)和對數(shù)復(fù)合起來了，給出a大于0，不等于1，圖象如圖所示，找出A和B之間所滿足的關(guān)系。要看圖說話，別把符號語言和圖形語言結(jié)合起來來考慮，但是在考慮之后同學(xué)必須得明確，實(shí)際上是一個對數(shù)函數(shù)模型，只不過對數(shù)函數(shù)里面的自變量是一個復(fù)合函數(shù)，所以你得有換元的思想，把 看成是一個整體，不見得非得寫出來，但是得有這種想法，然后看成一個整體結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象就考慮了。這個對數(shù)告訴你，0的時候函數(shù)只是在負(fù)1和0之間，那么你就得知道，對數(shù)值什么時候在0和負(fù)1之間，這個函數(shù)是增函數(shù)么對數(shù)比到底是什么情況，所以這個問題實(shí)際上是一種換元思想在解題過程中的體現(xiàn)，考察的時候其實(shí)考察這種方法。張思明：當(dāng)然還有一些例子也可以說明，像配方，老師在高考題中比較容易發(fā)現(xiàn)這個，因?yàn)槔蠋焸儗@些方案比較熟悉。是不是我們請 薛文敘 老師再為我們介紹一下，就是結(jié)合高考題對于我們?nèi)粘＝虒W(xué)里面，怎么來通過關(guān)系把高考題反映在日常教學(xué)中，怎么來解決好像剛才抓通性通法，處理好過渡，怎么把日常的復(fù)習(xí)效率提高，能不能給我們提供一些這樣的建議和思考？薛文敘：其實(shí)高考題很多時候關(guān)鍵是在你平常的基礎(chǔ)，因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)際上是累積過程，光靠高三那一年復(fù)習(xí)，突擊一下，大量的作題不能解決問題，是平常對數(shù)學(xué)的理解，尤其現(xiàn)在的高考越出越科學(xué)，是站在學(xué)科整體度高度上，考察同學(xué)對數(shù)學(xué)的理解，對數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用。剛才我們說的模型，比如說高考題中，我們舉一個例子，長方體模型在剛一開始學(xué)幾何的時候，我們特別強(qiáng)調(diào)億建立這個模型，那么這個模型究竟在高考中能不能解決問題，我們就可以舉幾個例子來看。第一個例子就是海南寧夏這一道題，也是一個難題。就是就是一個幾何體中的一條棱長是，在正視圖中它的投影是 線段，在側(cè)視圖和俯視圖中，投影長分別是A和B，來求A+B的最大值，同學(xué)們想象不出來這個圖是什么樣的。如果同學(xué)腦子里長方體模型的思想，把這條線放在長方體中。張思明：把它濃縮到這里面，想象長方體，這個事情就變得非常簡單。薛文敘：一放這個圖里面，一下子就可以建立起來關(guān)于A和B長方體對角線之間的關(guān)系，那就很容易解決了。但是能不能有意識地去做，覺得剛開始幾何的學(xué)習(xí)要很好的建立起來。再舉第二個例子，模型的判斷線面位置關(guān)系，這是高考經(jīng)?？嫉囊环N題目，其實(shí)今年也有很多題，我拿了一個稍微覺得比較難一點(diǎn)的題目，給了三個平面α、β、給了兩條不同的直線，M和N，給了四個命題判斷真假。比如說有一個命題，M垂直于β，M平行于α，α垂直于β對不對，α垂直于，然后α又垂直于β，β垂直于，對不對，這樣的問題如果同學(xué)把定理記住了，然后去想，可能也想象得出來。但是考場上就是一個長方體模型，你都不用畫，眼睛觀察觀察，然后想一想，結(jié)合這個模型，我們把這個四個模型圖畫出來以后，每一個題都在長方形，每一個問題都在長方體中找到，如果命題是錯的，我們就可以找到反例，如果這個命題正確的，我們就可以進(jìn)行證明，或者我們就很容易判斷出來，所以這種模型判斷線面，位置關(guān)系是非常有用的一個模型。張飴慈：像長方體這樣的模型，實(shí)際上是向量的思想，就是三個最基本向量基本定理，把這個問題用長方體這個模型來表示，我覺得不僅是通性通法，而且在幾何上是一個非常直觀，非常好的一個模型，是空間認(rèn)識位置關(guān)系一個非常重要的載體，有意識地把我們的問題轉(zhuǎn)化成長方體的模型，用長方體來表述，這就是一個在教育中要非常重視的問題。很多老師總結(jié)了，這個很簡單，做一些難題，最基本的東西沒有把握住，我覺得不僅對高考是一個損失，而且對整個學(xué)生對幾何的認(rèn)識都是一個損失。王尚志： 薛文敘 老師還有一篇文章將來要系統(tǒng)地介紹一下，因?yàn)槲覀冊谔幚韼缀螁栴}，還不僅僅是幾何問題中，我們不斷用到長方體的模型。實(shí)際上我們在強(qiáng)化直角坐標(biāo)系的基本概念，長方體就是直角坐標(biāo)系的一個具體模型，我覺得這個是在我們?nèi)粘＝虒W(xué)中要不斷地強(qiáng)化，所以從必修2，講立體幾何初步的時候，長方體應(yīng)該成為認(rèn)識整個學(xué)習(xí)過程的一個基本模型，反復(fù)強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生腦子里印住這個長方體，不斷地進(jìn)行這樣的轉(zhuǎn)換，我想在處理像高考題這一類的問題，應(yīng)該會給大家提供非常好的幫助。張飴慈：而且既使將來念高等數(shù)學(xué)，基的作用是一個最根本的東西，有時候不只是三個基，或者更多，這是一個核心的概念問題，像這樣的問題都是非常非?；荆砻嫔峡春苋菀?，但是我們一定把它重視，一定要把它學(xué)得特別好。薛文敘：我這里有一個題正好說明這個問題，就是全國乙卷第16題，就是一個等邊三角形和三個正方形有一個公共邊，公共邊是A和B，二面角的余弦值是三分之根號三，M和N分別是兩個四邊形的里面和一個邊，還有三角形的一個邊上的兩個中點(diǎn)，來求EM和AN所成角的余弦值，這個題這么難，原因在哪？其實(shí)同學(xué)把圖畫出來以后，如果用綜合幾何的辦法畫出來，實(shí)際是一個四棱錐，只不過四棱錐那一面沒有畫，如果都畫清楚了以后，就很容易看出來。實(shí)際上這就是一個普普通通正四棱錐，這正四棱錐，問題是在正四棱錐里面，相交的側(cè)面上兩條直線是一面直線，這兩條一面直線去找他們的成角，去做平行線，用綜合幾何辦法去做，就找不著，做不出來，所以很多同學(xué)都用這個辦法，就解不了，就變成一個難題。但是如果你要體會是長方體模型的話，其實(shí)我以這個高為Z軸，建立起空間坐標(biāo)系之后，長方體非常熟悉，這個里面各個點(diǎn)的坐標(biāo)很容易找出來，棱椎的頂點(diǎn)坐標(biāo)也非常容易找，那中點(diǎn)的坐標(biāo)一下子就算出來了，通過運(yùn)算，這個運(yùn)算也比解析幾何的運(yùn)算能力要求低多了。所以算出來，如果同學(xué)理會那個模型體會空間向量的重要性，那么這道題絕不會得這么低的分?jǐn)?shù)，可能跟我們平常這方面的關(guān)注，和我們教學(xué)中這方面的重視程度，我們理解情況都有關(guān)系。王尚志：在日常教學(xué)中，我們用了這么一個例子，就是長方體作為模型，在日常教學(xué)中應(yīng)該怎么關(guān)注，所以我想高考和日常教學(xué)的關(guān)系是非常緊密的，我們在日常教學(xué)中不斷地積累，才有可能使得長方體變成學(xué)生認(rèn)識幾何圖形的一個基本模型。如果你想只是靠題目完全這件事情，我覺得是有困難的。張飴慈：所以我想我們?nèi)粘＝虒W(xué)里，對一些數(shù)學(xué)最基本的概念，最基本的思想，看似簡單，但是非常重要的東西，要一定要扎得非常非常實(shí)，而不是靠大量做片子，不停做作題的方法來弄高考。薛文敘：我們就要注意有些東西減了，比如說反函數(shù)，如果看全國高考題，很多省把反函數(shù)作為一個難題來考，或者是經(jīng)常都出，但是新課標(biāo)里面一個都沒有，所以我們教學(xué)里面要關(guān)注這些。張思明：要關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)，要關(guān)注變化，這個也是挺重要的。過去的熱點(diǎn)不一定新課程的熱點(diǎn)，還有一些新增加的內(nèi)容，我覺得也應(yīng)該特別關(guān)注。薛文敘：還有算法，框圖，這些我想不是復(fù)習(xí)能解決，得平常教學(xué)的時候，讓同學(xué)明白這個框圖的來龍去脈，然后把它搞清楚，可能就好一些。張思明：也是有老師在對框圖的認(rèn)識，比如說我們要強(qiáng)調(diào)框圖要真的走，這個老師覺得就不重要，要理解框圖，要學(xué)會腦子走模擬的過程。薛文敘：另外我想，還有一個教學(xué)應(yīng)該重視概念教學(xué)，其實(shí)概念清楚不清楚，對同學(xué)數(shù)學(xué)的理解非常重要。我們舉一個例子，像今年天津的高考題，A大于E，常數(shù)C使得任意的B區(qū)間A到 2A，都有Y屬于B區(qū)間A到A方，滿足方程以A為底X對數(shù)，加上以A為底Y的對數(shù)等于X，求A的取值的結(jié)合是什么？ 第一得明白函數(shù)的定義和值域，其實(shí)這個方程很多同學(xué)滿意把它畫出來，實(shí)際上這個方程體現(xiàn)出X和Y滿足反比例關(guān)系，就是Y等于X分之A的C次冪，這個概念得清楚，這個函數(shù)是一個解函數(shù)，那么函數(shù)定義在A到 2A 之間的時候，函數(shù)值是在A到A方之間，應(yīng)該A對應(yīng)的是A方，然后 2A 對應(yīng)是A，我們就建立了一個關(guān)于A和C的一個方程。而且這個等量關(guān)系的分析，等于你對概念的理解，所以我們平常教學(xué)的時候，我覺得高中數(shù)學(xué)教學(xué)還是應(yīng)該重視概念的教學(xué)。張思明：我們的分析舉了很多例子，當(dāng)然這個分析我想每個老師都會仁者見仁，智者見智，但是我們從這個分析中看到 薛文敘 老師給我們提供高考題，提供了一個很強(qiáng)的信息，也就是在我們這個分析我們不是僅僅從一道一道具體高考題怎么做去入手，而是往回拉，為了做好這個高考題，為了提高復(fù)習(xí)效率，為了把平常教學(xué)做好，從高考題給我們提供了什么樣的思考，那么這個我們也希望這個講里面最重要的東西。那么作為整體的考慮，怎么樣把這個日常教學(xué)和高考的聯(lián)系考慮清楚，我想要通過更多老師的參與和校本教研來做這個事情。王 老師對日常教學(xué)和高考，您給老師們提點(diǎn)什么樣的建議？王尚志：其實(shí)剛才 薛文敘 老師都提到了，我們強(qiáng)調(diào)這么幾點(diǎn)，大家在日常教學(xué)中需要強(qiáng)化的東西，也是我們在接觸老師過程中感覺到有點(diǎn)不足的地方，其實(shí)也不復(fù)雜，第一個就是概念教學(xué)，我們老師在聽了很多課，老師常常不太重視基本概念的教學(xué)，更重視作題，我們叫題型教學(xué)，所以我們常?？吹降恼n，概念用10分鐘左右的時候講完了，然后下面大量的練習(xí)，比如說函數(shù)單調(diào)性的概念，很多課堂教學(xué)大部分都在正題，那么什么是單調(diào)性，怎么理解單調(diào)性，單調(diào)性和其他知識之間內(nèi)在聯(lián)系是什么，可能沒有引起老師足夠的重視，所以第一件事我們想提醒老師是重視概念的教學(xué)。我們在大學(xué) 和 老師討論的時候，我們要幫助學(xué)生改變的第一個習(xí)慣，就是學(xué)會閱讀概念，理解數(shù)學(xué)問題，而不能僅僅靠作題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這是第一個建議。第二個建議也是我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)的通性通法，所謂通性通法，我覺得就是那些最基本，最重要的東西，我們要反復(fù)地讓學(xué)生理解，不僅理解方法層面，技術(shù)層面，而且還要理解為什么這些東西是我們要關(guān)注的東西，比如說剛才我們強(qiáng)調(diào)的待定系數(shù)的方法，中間變量替換的方法，叫什么大家可以參考，還有消元和配方方法。我想第三件事，就是我們在日常教學(xué)中，尤其是解決問題的過程中，需要把幾何和代數(shù)結(jié)合起來，就是我們通常所說數(shù)形結(jié)合，在討論幾何問題的時候要畫圖，在討論代數(shù)的問題，可能畫圖，在討論代數(shù)問題和幾何問題我們要把這兩者之間結(jié)合起來，可能會更好一些。所以值得關(guān)注的東西還很多，我們僅僅是強(qiáng)調(diào)了幾個 方面供 老師來參考。張思明：其實(shí) 薛文敘 老師為了準(zhǔn)備這個事情，是做了很多的調(diào)查研究，同時也跟北京市 和各地 老師們做了很多的交流，薛文敘 老師在這一講的資源里面還會提供更完整高考分析和這個講座，對于其他思想方法和日常教學(xué)的建議，有更完整的版本，希望老師們進(jìn)一步地去看，參與我們的討論。結(jié)合這個評價專題，我們也為老師提供了一些思考題，也希望老師們在參與學(xué)習(xí)討論的過程中，來思考一下這樣的問題。當(dāng)然我們知道高考在發(fā)展變化，我們對評價的工作也在發(fā)展變化，在新課程過程中，評價對學(xué)生發(fā)展的作用會越來越重要，同時我們每一個老師一起來做，我們會有更多的辦法想出來，讓學(xué)生在發(fā)展過程中得到更多的激勵，同時把日常教學(xué)和最后高考和日常的發(fā)展結(jié)合得更好，我們希望和大家一起朝這個方向努力，那么這一講就到這里，謝謝大家的參與，再見。