【正文】 函數(shù)f(x)的極限值。三、應用等價無窮小代換求極限掌握常用的等價無窮小很重要。等價無窮小代換可以將復雜的極限式變的簡單明了，讓求解過程變得簡明迅速。x174。0時，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1cosx與x2，xa，ax1與xlna，(1+a)與ax（a185。0）等等可ln(1+x)與x，loga(1+x)與lna以相互替換。特別需要注意的是，等價無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積sinxx因子，而對于加減法運算則不能運用。例如lim，不能直接把sinx替換x174。0x3sinxx1=成x，得出極限值為0，實際上lim。x174。0x36四、運用洛必達法則求函數(shù)極限設函數(shù)f(x)，g(x)在點a的某空心鄰域可導，且g39。(x)185。0。當x174。a時，f(x)f39。(x)，f(x)和g(x)的極限同時為0或165。時才適用174。39。=A（A為常數(shù)或165。）gxgx洛必達法則。洛必達法則實際上把求函數(shù)極限問題轉化為學生較為拿手的求導數(shù)0165。、00、1165。、165。0等類型則需要問題。這使得求解思路簡單程序化。而對于165。165。、0165。對式子進行轉化，或通分或取倒數(shù)或取對數(shù)等轉化為型，再使用洛必達法0165。則求極限。例如f(x)g(x)的極限轉化為求eg(x)lnf(x)的極限等等。然而，對于數(shù)列，則必須轉化為函數(shù)再運用洛必達法則。這是因為如果把數(shù)列看作是自變量為n的函數(shù)時，它的定義域是一系列孤立的點，不存在導數(shù)。這是使用洛必達法則時必須要注意的一點。參見附例3。五、泰勒公式的運用對于使用洛必達法則不易求出結果的復雜函數(shù)式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數(shù)式化為最高次項為相同或相近的式子，這時就變成了求多項式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln(1+x)等等。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項保持一致。如cosxelimx174。0x4x4)。x2利用泰勒公式展開cosx,ex22，展開到x4即可(原式x最高次項為六、利用微分中值定理來求極限f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，則至少存在一點x206。(a,b)，使f39。(x)=f(b)f(a)39。f(b)f(a),f(x)即可看成特殊的極限，用來求解。一般需baba要函數(shù)式可以看成同一函數(shù)的區(qū)間端點的差，這樣可以使用微分中值定理。參見附例4。另外，一些重要的結論往往在求極限時可以直接加以引用，例如lim(1+x)=e，limx174。01xsinx=1，=1，=1等等。x174。0nnx求極限的方法和技巧更多的在于實踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數(shù)學學習和練習的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，敬請批評指正。南開大學張陽和張效成老師的課堂教學給了筆者很大的啟發(fā)，在此向兩位老師表示感謝。附：例1：對任意給定的e206。(0,1)，總存在正整數(shù)N,使得當nN時，恒有。xna163。2e，是數(shù)列{xn}收斂于a的（）A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件解析：這道題是1999年全國考研試卷(二)的數(shù)學選擇題，這道題直接考察了對極限定義的掌握和理解。例2：若x1=a，y1=b（ba0），xn+1=xnyn，yn+1=明數(shù)列{xn},{yn}有相同的極限。（見習題冊1 ）解析：由已知條件易知，b=y1179。y2179?！?79。yn+1179。xn+1179?！?79。x1=a，數(shù)列xn+1+yn+1，試證2文中習題冊是指南開大學薛運華，趙志勇主編的《高等數(shù)學習題課講義（上冊）》，為學生用數(shù)學練習冊。x+ynlimyn+1=lin{xn}，{yn}單調有界，可以推出{xn}，{yn}收斂。n174。165。n174。165。n174。165。設limyn=A，limxn=B，則222。A=n174。165。A+B,222。A=B。2例3：求lim(ntan)n的值。（見課本2 ）n174。165。n1246。230。解析：這是數(shù)列。設f(x)=231。xtan247。，則對limf(x)可以運用洛必達法則，x174。+165。x248。232。且原式=limf(x)。x174。+165。x2aaarctan),a0n174。165。nn+1arctan解析：如例題3，設f(x)=a，則在[x,x+1]上f(x)連續(xù)，在(x,x+1)內x例4：求limn2(arctan可導。于是，$x206。(x,x+1),f39。(x)=arctanaaaarctan=2（使用微分中x+1xa+x2a)=a。22a+x值定理可得）。x174。165。,則x174。165。,原式=limx2（x174。165。參考書目[1] 張效成主編，《經(jīng)濟類數(shù)學分析（上冊）》，天津大學出版社，2005年7月 [2] 薛運華，趙志勇主編，《高等數(shù)學習題課講義（上冊）》，南開大學 [3] 張友貴等，《掌握高等數(shù)學（理工類、經(jīng)濟類）》，大連理工出版社，2004年11月[4]《碩士研究生入學考試試題》，1984—2005※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○文中課本是指筆者使用的天津大學出版社05年7月版的《經(jīng)濟類數(shù)學分析（上冊）》張效成主編第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)習題(含答案)已知四個命題：（1）若（2）若（3）若（4）若f(x)在x0點連續(xù)，則f(x)在x174。x0點必有極限 f(x)在x174。x0點有極限，則f(x)在x0點必連續(xù) f(x)在x174。x0點無極限，則f(x)在x=x0點一定不連續(xù)f(x)在x=x0點不連續(xù)，則f(x)在x174。x0點一定無極限。其中正確的命題個數(shù)是（B、2）若limf(x)=a，則下列說法正確的是（C、x174。x0f(x)在x=x0處可以無意義）下列命題錯誤的是（D、對于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)=f(x0)）x174。x0已知f(x)=1x，則limf(x+Dx)f(x)的值是（C、1）Dx174。0Dxx2x174。12下列式子中，正確的是（B、limx1=1）2(x1)2limx+ax+b=5，則a、x174。11xb的值分別為（A、7和6）已知f(3)=2,f162。(3)=2,則lim2x3f(x)的值是（C、8）x174。3x3limxaxx174。aa=（D、3a2）2當定義f(1)=f(x)=1x2在x=1處是連續(xù)的。1+xlim16x=12。x174。27x3111lim1x2+1xxx12x174。165。3=1limx174。2x112 =3x111lim(x2+xx21)=1x174。+165。21lim(x2+xx21)=1x174。165。2236。x,0x1239。11設(1)求x239。f(x)=237。,x=1239。2239。238。1,1x2174。1時，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x=1的函數(shù)值，它在這點連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）