【正文】 函數(shù)f(x)的極限值。三、應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限掌握常用的等價(jià)無(wú)窮小很重要。等價(jià)無(wú)窮小代換可以將復(fù)雜的極限式變的簡(jiǎn)單明了，讓求解過(guò)程變得簡(jiǎn)明迅速。x174。0時(shí)，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1cosx與x2，xa，ax1與xlna，(1+a)與ax（a185。0）等等可ln(1+x)與x，loga(1+x)與lna以相互替換。特別需要注意的是，等價(jià)無(wú)窮小代換只能用于分子、分母中的乘積sinxx因子，而對(duì)于加減法運(yùn)算則不能運(yùn)用。例如lim，不能直接把sinx替換x174。0x3sinxx1=成x，得出極限值為0，實(shí)際上lim。x174。0x36四、運(yùn)用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在點(diǎn)a的某空心鄰域可導(dǎo)，且g39。(x)185。0。當(dāng)x174。a時(shí)，f(x)f39。(x)，f(x)和g(x)的極限同時(shí)為0或165。時(shí)才適用174。39。=A（A為常數(shù)或165。）gxgx洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則實(shí)際上把求函數(shù)極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生較為拿手的求導(dǎo)數(shù)0165。、00、1165。、165。0等類型則需要問(wèn)題。這使得求解思路簡(jiǎn)單程序化。而對(duì)于165。165。、0165。對(duì)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或通分或取倒數(shù)或取對(duì)數(shù)等轉(zhuǎn)化為型，再使用洛必達(dá)法0165。則求極限。例如f(x)g(x)的極限轉(zhuǎn)化為求eg(x)lnf(x)的極限等等。然而，對(duì)于數(shù)列，則必須轉(zhuǎn)化為函數(shù)再運(yùn)用洛必達(dá)法則。這是因?yàn)槿绻褦?shù)列看作是自變量為n的函數(shù)時(shí)，它的定義域是一系列孤立的點(diǎn)，不存在導(dǎo)數(shù)。這是使用洛必達(dá)法則時(shí)必須要注意的一點(diǎn)。參見(jiàn)附例3。五、泰勒公式的運(yùn)用對(duì)于使用洛必達(dá)法則不易求出結(jié)果的復(fù)雜函數(shù)式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數(shù)式化為最高次項(xiàng)為相同或相近的式子，這時(shí)就變成了求多項(xiàng)式的極限值（接著求值見(jiàn)上文所述方法），使計(jì)算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln(1+x)等等。至于展開(kāi)式展開(kāi)多少，則要與題干中的自變量x最高次項(xiàng)保持一致。如cosxelimx174。0x4x4)。x2利用泰勒公式展開(kāi)cosx,ex22，展開(kāi)到x4即可(原式x最高次項(xiàng)為六、利用微分中值定理來(lái)求極限f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x206。(a,b)，使f39。(x)=f(b)f(a)39。f(b)f(a),f(x)即可看成特殊的極限，用來(lái)求解。一般需baba要函數(shù)式可以看成同一函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的差，這樣可以使用微分中值定理。參見(jiàn)附例4。另外，一些重要的結(jié)論往往在求極限時(shí)可以直接加以引用，例如lim(1+x)=e，limx174。01xsinx=1，=1，=1等等。x174。0nnx求極限的方法和技巧更多的在于實(shí)踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和練習(xí)的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認(rèn)知水平，缺點(diǎn)和不足在所難免，敬請(qǐng)批評(píng)指正。南開(kāi)大學(xué)張陽(yáng)和張效成老師的課堂教學(xué)給了筆者很大的啟發(fā)，在此向兩位老師表示感謝。附：例1：對(duì)任意給定的e206。(0,1)，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí)，恒有。xna163。2e，是數(shù)列{xn}收斂于a的（）A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件解析：這道題是1999年全國(guó)考研試卷(二)的數(shù)學(xué)選擇題，這道題直接考察了對(duì)極限定義的掌握和理解。例2：若x1=a，y1=b（ba0），xn+1=xnyn，yn+1=明數(shù)列{xn},{yn}有相同的極限。（見(jiàn)習(xí)題冊(cè)1 ）解析：由已知條件易知，b=y1179。y2179?！?79。yn+1179。xn+1179?！?79。x1=a，數(shù)列xn+1+yn+1，試證2文中習(xí)題冊(cè)是指南開(kāi)大學(xué)薛運(yùn)華，趙志勇主編的《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊(cè)）》，為學(xué)生用數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)。x+ynlimyn+1=lin{xn}，{yn}單調(diào)有界，可以推出{xn}，{yn}收斂。n174。165。n174。165。n174。165。設(shè)limyn=A，limxn=B，則222。A=n174。165。A+B,222。A=B。2例3：求lim(ntan)n的值。（見(jiàn)課本2 ）n174。165。n1246。230。解析：這是數(shù)列。設(shè)f(x)=231。xtan247。，則對(duì)limf(x)可以運(yùn)用洛必達(dá)法則，x174。+165。x248。232。且原式=limf(x)。x174。+165。x2aaarctan),a0n174。165。nn+1arctan解析：如例題3，設(shè)f(x)=a，則在[x,x+1]上f(x)連續(xù)，在(x,x+1)內(nèi)x例4：求limn2(arctan可導(dǎo)。于是，$x206。(x,x+1),f39。(x)=arctanaaaarctan=2（使用微分中x+1xa+x2a)=a。22a+x值定理可得）。x174。165。,則x174。165。,原式=limx2（x174。165。參考書(shū)目[1] 張效成主編，《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》，天津大學(xué)出版社，2005年7月 [2] 薛運(yùn)華，趙志勇主編，《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊(cè)）》，南開(kāi)大學(xué) [3] 張友貴等，《掌握高等數(shù)學(xué)（理工類、經(jīng)濟(jì)類）》，大連理工出版社，2004年11月[4]《碩士研究生入學(xué)考試試題》，1984—2005※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○文中課本是指筆者使用的天津大學(xué)出版社05年7月版的《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》張效成主編第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題(含答案)已知四個(gè)命題：（1）若（2）若（3）若（4）若f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則f(x)在x174。x0點(diǎn)必有極限 f(x)在x174。x0點(diǎn)有極限，則f(x)在x0點(diǎn)必連續(xù) f(x)在x174。x0點(diǎn)無(wú)極限，則f(x)在x=x0點(diǎn)一定不連續(xù)f(x)在x=x0點(diǎn)不連續(xù)，則f(x)在x174。x0點(diǎn)一定無(wú)極限。其中正確的命題個(gè)數(shù)是（B、2）若limf(x)=a，則下列說(shuō)法正確的是（C、x174。x0f(x)在x=x0處可以無(wú)意義）下列命題錯(cuò)誤的是（D、對(duì)于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)=f(x0)）x174。x0已知f(x)=1x，則limf(x+Dx)f(x)的值是（C、1）Dx174。0Dxx2x174。12下列式子中，正確的是（B、limx1=1）2(x1)2limx+ax+b=5，則a、x174。11xb的值分別為（A、7和6）已知f(3)=2,f162。(3)=2,則lim2x3f(x)的值是（C、8）x174。3x3limxaxx174。aa=（D、3a2）2當(dāng)定義f(1)=f(x)=1x2在x=1處是連續(xù)的。1+xlim16x=12。x174。27x3111lim1x2+1xxx12x174。165。3=1limx174。2x112 =3x111lim(x2+xx21)=1x174。+165。21lim(x2+xx21)=1x174。165。2236。x,0x1239。11設(shè)(1)求x239。f(x)=237。,x=1239。2239。238。1,1x2174。1時(shí)，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x=1的函數(shù)值，它在這點(diǎn)連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）