20xx屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七章推理與證明第3課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)訓(xùn)練-資料下載頁(yè)
2024-11-04 12:57本頁(yè)面
【正文】 ____________，綜合法的解題步驟用符號(hào)表示是：_____________________.特點(diǎn):“由因?qū)Ч?，因此綜合法又叫____________法．（2）分析法：分析法的推理方向是由____________到____________，論證中步步尋求使其成立的____________，如此逐步歸結(jié)到已知的條件和已經(jīng)成立的事實(shí)，從而使命題得證，表現(xiàn)為____________，：“執(zhí)果索因”，因此分析法又叫____________法或____________法.2．間接證明假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立．這樣的證明方法叫反證法．反證法是一種間接證明的方法．（1）反證法的解題步驟：____________——推演過(guò)程中引出矛盾——____________.（2）反證法的理論依據(jù)是：原命題為真，則它的____________為真，在直接證明有困難時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為證明它的____________成立.（3）反證法證明一個(gè)命題常采用以下步驟：①假定命題的結(jié)論不成立.②進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾. ③由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來(lái)的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的.④肯定原來(lái)命題的結(jié)論是正確的.即“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”.（4）一般情況下，有如下幾種情況的求證題目常常采用反證法：第一，問(wèn)題共有n種情況，現(xiàn)要證明其中的一種情況成立時(shí)，可以想到用反證法把其它的 n1種情況都排除，從而肯定這種情況成立；第二，命題是以否定命題的形式敘述的；第三，命題用“至少”、“至多”的字樣敘述的；第四，當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說(shuō)明，而其逆命題又是非常容易證明的.（三）數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對(duì)于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)________時(shí)命題也成立，這種證明方法就叫做________．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)(或自然數(shù))有關(guān)的命題的步驟(1)(歸納奠基)當(dāng)n取第一個(gè)值________________________時(shí)，證明命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)_______________________時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)________時(shí)結(jié)論也正確． 由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確．3．特點(diǎn)注意用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉．四、題型歸納（一）歸納推理例1平面內(nèi)的１條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交但不共點(diǎn)的直線把平面分成7部分，則n條彼此相交而無(wú)三條共點(diǎn)的直線，可把平面分成多少部分？分析：可通過(guò)畫圖當(dāng)直線條數(shù)n為3，4，5時(shí)，分別計(jì)算出它們將平面分成的區(qū)域數(shù)Sn，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再歸納出結(jié)論.解析：設(shè)平面被n條直線分成Sn部分，則當(dāng)n=1時(shí)，S1 =1+1=2；當(dāng)n=2時(shí)，S2 =1+1+2=4；當(dāng)n=3時(shí)，S3 =1+1+2+3=7；當(dāng)n=4時(shí)，S4 =1+1+2+3+4=11．據(jù)此猜想，得Sn=1+ n(n+1)2n+n+222=.點(diǎn)評(píng)：本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫出來(lái)，然后尋找規(guī)律，概括出整體的情況．（二）類比推理例2（2009年微山模擬）在平面幾何中，對(duì)于Rt△ABC，設(shè)AB=c,AC=b,BC=a，則（1）a2+b2=c2；22（2）cos2A+cos2B=1； a+b（3）Rt△ABC的外接圓半徑為r=2.：我們?cè)诳臻g中選取3個(gè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對(duì)象，考慮面積，二面角，：（1）設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1,S2,S3，底面面積為S，則S12+S22+S32=S2.(2)設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為α,β,γ，則cosα+cosβ+cosγ=1.(3)設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b,c，則這個(gè)四面體的外接球的半徑為R=a2222+b32+c2.（三）演繹推理演繹推理是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本推理形式，因此在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，三段論推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真實(shí)并且推理形式正確的前提下，：函數(shù)f(x)=x+2x在［1，+∞)上是減函數(shù).（四）用綜合法證明數(shù)學(xué)命題例4已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A,B的任一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，：AE⊥平面PBC.（五）用分析法證明數(shù)學(xué)命題例5若a0，求證： a2+12a（六）用反證法證明數(shù)學(xué)命題例6已知：a3+b3=2,求證：a+b≤：本題直接證明命題較困難，宜用反證法.證明：假設(shè)a+b2,則b2a.于是a+ba+(2a)=812a+6a=6(a1)2+2≥，所以 a+b≤2.（七）數(shù)學(xué)歸納法ⅰ歸納、猜想、證明例7在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足(1)求a1，a2，a3.ⅱ用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式1230。1246。231。an+.Sn＝ 2 231。a 247。247。 n248。232。333322179。a+1a2.(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．22例8用數(shù)學(xué)歸納法證明：L+n(n+1)2=n(n+1)(3n1 2+23+ 122+11n+10)ⅲ用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題例9用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，數(shù)11n＋2＋122n＋1是133的倍數(shù)．ⅳ用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題例10設(shè)函數(shù)f(x)=xxlnx．?dāng)?shù)列{an}滿足0a11，an+1=f(an)．（Ⅰ）證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)；（Ⅱ）證明：anan+11；1)，整數(shù)k≥（Ⅲ）設(shè)b206。(a1，a1ba1lnb．證明：ak+1b．解：（I）當(dāng)0f′(x)=1lnx1=lnx0所以函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,1）是增函數(shù)，（II）當(dāng)0x又由（I）有f(x)在x=1處連續(xù)知，當(dāng)0因此，當(dāng)0下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 0(i)由0則由①可得0故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式②也成立綜合(i)(ii)證得：an(III)由（II）知，{an}逐項(xiàng)遞增，故若存在正整數(shù)m≤k,使得am≥b,則ak+1am≥b 否則，若amak+1=akaklnak=ak1ak1lnak1aklnak……k=a1229。amlnamm=1k由③知229。amlnamm=1于是ak+1a1+k|a1lnb|≥a1+(ba1)=b
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