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2024-12-08 03:02本頁面
【導讀】[解析]S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝12|OF|·|yA－yB|，當A、B為短軸兩個端點時，|yA－yB|最大，最大值為2b.∴△ABF面積的最大值為bc.4＝1上一點，以點P及焦點F1、F2為頂點的三角形的面積為1，[解析]設P，∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1，∴S△PF1F2＝12|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，∴y0＝±1，∴2＝13，即e＝33.[解析]連接AF1，由圓的性質知，∠F1AF2＝90°，又∵△F2AB是等邊三角形，∴AF1＝c，AF2＝3c，∴e＝ca＝2c2a＝2cc＋3c＝3－D.設直線與橢圓C的交點為A、B，將直線方程y＝45(x－3)代入橢圓方程得。10．已知動點P與平面上兩定點A、B(2，0)連線的斜率的積為定值－12.試求動點P的軌跡方程C；消去y得，x2＋4kx＝0.解得x1＝0，x2＝－4k1＋2k2，＝x2＋x2－2x2·＝259x2，∴|AC|＝53x，由條件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，
【正文】 a2a＋ ca＋ c，得 a22ac＋ c2， c2＋ 2ac－ a20，即 e2＋ 2e－ 10， 解得 e－ 1＋ 2或 e－ 1－ 2(舍 )． 又 0e1， 所以 e的取值范圍為 ( 2－ 1,1)． 三、解答題 7． 已知過點 A(－ 1,1)的直線 l與橢圓 x28＋y24＝ 1 交于點 B、 C， 當直線 l繞點 A(－ 1， 1)旋轉時 ， 求弦 BC中點 M的軌跡方程 ． [解析 ] 設直線 l與橢圓的交點 B(x1， y1)， C(x2， y2)，弦 BC的中 點 M(x， y)， 則??? x218＋ y214＝ 1， ①x228＋y224＝ 1， ② ① － ② ，得 (x218 －x228 )＋ (y214 －y224 )＝ 0， ∴ (x1＋ x2)(x1－ x2)＋ 2(y1＋ y2)(y1－ y2)＝ 0.③ 當 x1≠ x2時 ， ③ 式可化為 (x1＋ x2)＋ 2(y1＋ y2)y2－ y1x2－ x1＝ 0. ∵ x1＋ x22 ＝ x， y1＋ y22 ＝ y， y2－ y1x2－ x1＝ y－ 1x＋ 1， ∴ 2x＋ 22yy－ 1x＋ 1＝ 0， 化簡得 x2＋ 2y2＋ x－ 2y＝ 0. 當 x1＝ x2時 ， ∵ 點 M(x， y)是線段 BC中點 ， ∴ x＝－ 1， y＝ 0，顯然適合上式 ． 綜上所述，所求弦中點 M的軌跡方程是 x2＋ 2y2＋ x－ 2y＝ 0. 8． 已知橢圓 y2a2＋x2b2＝ 1(ab0)經過點 P(32 ， 1)， 離心率 e＝32 ， 直線 l與橢圓交于 A(x1，y1)、 B(x2， y2)兩點 ， 向量 m＝ (ax1， by1)、 n＝ (ax2， by2)， 且 m⊥ n. (1)求橢圓的方程 ； (2)當直線 l過橢圓的焦點 F(0， c)(c為半焦距 )時 ， 求直線 l的斜率 k. [解析 ] (1)由條件知??? ca＝321a2＋34b2＝ 1a2＝ b2＋ c2，解之得????? a＝ 2b＝ 1 . ∴ 橢圓的方程為 y24＋ x2＝ 1. (2)依題意，設 l的方程為 y＝ kx＋ 3， 由????? y＝ kx＋ 3y24＋ x2＝ 1 ，消去 y得 (k2＋ 4)x2＋ 2 3kx－ 1＝ 0， 顯然 Δ0， x1＋ x2＝ － 2 3kk2＋ 4 ， x1x2＝ － 1k2＋ 4，由已知 mn＝ 0 得， a2x1x2＋ b2y1y2＝ 4x1x2＋ (kx1＋ 3)(kx2＋ 3) ＝ (4＋ k2)x1x2＋ 3k(x1＋ x2)＋ 3 ＝ (k2＋ 4)(－ 1k2＋ 4)＋ 3k－ 2 3kk2＋ 4 ＋ 3＝ 0， 解得 k＝ 177。 2.
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