【正文】 2．證明：是一個數(shù)環(huán)。3．證明：是一個數(shù)域。：,是映射，又令，證明：如果是單射，那么也是單射。,則,。,其中且,，證明:。證明：如果整除，即：，并且，那么。證明：如果，且和不全為零，則。，若只要就有或，則不可約。，證明：如果，那么對，都有。，那么是的導數(shù)的一個重因式。，且，對于任意的，則有。，試證：（1）；（2）：。，．（1）計算及；（2）證明：可逆的充分必要條件是；（3）證明：當時，不可逆。，證明可逆，并求。，證明可逆，并求,證明：若。,證明:(1)；(2)乘積可逆。:一個可逆矩陣可通過行初等變換化為單位矩陣。：1）若向量組線性無關(guān)，則它們的部分向量組也線性無關(guān)。2）若向量組中部分向量線性相關(guān)，則向量組必線性相關(guān)。，為的伴隨陣，則的秩為1或0。，求證。，其中分別是階，階可逆陣，（1）證明，（2）設，求。,證明：.，證明：的伴隨方陣也可逆,且。，均為階方陣，證明：，試證：（1）；（2）。29．設，都是階矩陣，其中并且，證明：。，試證：可逆，并求出。，證明：存在一個秩為的矩陣，使。：設是正定矩陣，證明也是正定的。：正定對稱矩陣的主對角線上的元素都是正定的。，證明：(1)的行列等于或；（2）的特征根的模等于；（3）的伴隨矩陣*也是正交矩陣。，且，證明：①有一個特征根等于。②的特征多項式有形狀,這里。，為階單位陣，證明是對稱陣，且。，而向量組線性相關(guān)，證明：可以由線性表出，且表示法唯一。（）線性相關(guān)必要且只要其中某一個向量是其余向量的線性組合。，證明表法唯一的充要條件是線性無關(guān)。，并且每一都不能表成它的前個向量的線性組合，證明線性無關(guān)。（）線性相關(guān)必要且只要其中某一個向量是其余向量的線性組合。,而線性相關(guān),那么一定可以由相性表示。，證明也線性無關(guān)。，且證明線性無關(guān)的一個充要條件是，證明向量組線性相關(guān)，試證向量組能用，線性表示。，…,為實數(shù)，且，證明也是它的解。，是對應的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,證明：,線性無關(guān)。，是對應的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,證明：,線性無關(guān)。，那么它們的交也是的一個子空間。，那么它們的交也是的一個子空間。53.（維數(shù)定理）設都是數(shù)域上的向量空間的有限維子空間，那么也是有限維的，并且。，則是正定的。，試證：也是的一個標準正交基。56．設是線性變換的兩個不同特征值，x1，x2是分別屬于的特征向量，都是非零常數(shù)，證明：向量不是的特征向量。57．設的特征值為，如果可逆，證明：的特征值為。，如果分別是的屬于互不相同的本征值的本征向量，證明線性無關(guān)。，如果分別是的屬于互不相同的特征值的特征向量，那么線性無關(guān)。，如果是正交變換又是對稱變換，證明是單位變換。，如果是對稱變換，且是單位變換。證明是正交變換。:兩個對稱變換的和還是一個對稱變換,兩個對稱變換的乘積是不是對稱變換?，證明，如果滿足下列三個條件中的任意兩個，那么它必然滿足第三個：（i）是正交變換，（ii）是對稱變換，（iii）是單位變換。，一個正交變換的逆變換還是一個正交變換。，如果的特征多項式的根都在內(nèi)；對于的特征多項式的每一根，本征子空間的維數(shù)等于的重數(shù)，證明：可以對角化。第四篇：浙江大學2006年高等代數(shù)試題浙江大學2006年攻讀碩士研究生入學初試試題考試科目：高等代數(shù)科目代號：341注意：所有解答必須寫在答題紙上，寫在試卷或草稿紙上一律無效！一、(15分)矩陣A,B具有相同的行數(shù)，把B的任意一列加到A得到矩陣秩不變，、(15分)(1)把下面的行列式表示成按x的冪次排列的多項式a11+xD=a21+x...an1+xa12+xa22+x...an2+x.....a1n+xa2n+x...ann+x(2)把行列式D的所有元素都加上同一個數(shù)，、(15分)證明下面的(i)和(ii)等價：(i)矩陣A是正交矩陣；(ii)矩陣A的行列式為177。1；當A=1時，矩陣所有元素的代數(shù)余子式為其本身，當A=－1時，矩陣所有元素的代數(shù)余子式為其本身乘以－四、(15分)(1)設矩陣A=234。235。ckb249。2,則矩陣A滿足方程x(a+d)x+adbc=0。d(2)二階矩陣滿足A=0,k2,則A=234。五、(15分)設矩陣A=2234。234。235。22322249。233。0234。2,P=1234。234。3235。00249。1*1,B=PAP+2E,六、(15分)設W,W1,W2是向量空間V的子空間，W1205。W2,W1IW=W2IW,W1+W=W2+W,證明W1=、(15分)三階矩陣A,B,C,D具有相同的特征多項式，、(15分)設y是向量空間V的正交變換，W是y的不變子空間，、(15分)設A為實矩陣，證明存在正交矩陣G，、(15分)設P為數(shù)域，fi=fi(x)206。P[x],gi=gi(x)206。P[x],i=1,2,證明(f1,g1)(f2,g2)=(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2)1^AG為上三角矩陣的充要條件是注：這是我憑記憶記下來的，有些題目可能不是很準確。希望對大家有用！dragonflier2006116第五篇：2007年考研高等代數(shù)大綱(碩士)江蘇自動化研究所碩士研究生入學考試《高等代數(shù)》考試大綱一、總體要求要求掌握行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、(多項式理論、λ矩陣不單獨出題)。二、命題范圍及考查的知識點行列式1）行列式的定義與性質(zhì)。2）低階行列式，高階規(guī)律性較強的行列式計算。線性方程組1）解線性方程組2）線性方程組解的理論3）線性相關(guān)性的證明矩陣1）矩陣的運算2）矩陣的逆3）矩陣秩的不等式的證明二次型1）化二次型為標準形2）正定性問題的證明線性空間1）線性空間與子空間的概念2）基、維數(shù)與坐標3）子空間的直和的證明線性變換1）特征值、特征向量有關(guān)問題2）求若當標準形、最小多項式3）線性變換的值域與核歐氏空間1）正交矩陣與正交變換2）實對稱陣有關(guān)證明三、考試說明考試形式與試卷結(jié)構(gòu)1)答卷方式：閉卷，筆試，總分150分,2)答題時間：3小時，3)總分：滿分150分，4)題型比例計算題約 50%證明題約 50%四、參考書目《高等代數(shù)》（第三版），北京大學數(shù)學系，高等教育出版社，2003年