第2章234知能優(yōu)化訓(xùn)練-資料下載頁(yè)
2024-12-05 11:33本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】2．若圓x2＋y2－2ax＋4y＋＝0與圓x2＋y2＋2x－2ay＋＝0相內(nèi)切，則a. 解析：兩圓的圓心和半徑分別為O1(0,0)，r1＝2，O2(a,0)，r2＝1，由兩圓內(nèi)切可得d(O1，因?yàn)閐＝5，r1＋r2＝5，即r1＋r2＝d，所以兩圓外切，由平面幾何知識(shí)?；騶MC|＝4－1＝3，代入坐標(biāo)整理，得(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9.5．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長(zhǎng)，則a、b應(yīng)滿。7．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B. 當(dāng)內(nèi)切時(shí)，32＋42＝|2－r|，解得r＝7.由題意，得|MA|＝r＋3且r＝|x|，當(dāng)x>0時(shí)，兩邊平方化簡(jiǎn)得y2＝12x(x>0)；10．求與已知圓x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直線2x－3y－1＝0，(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.容易驗(yàn)證，當(dāng)b＝133＋5311，直線與后一圓相交，故所求公切線方程為y＝－43x＋133－5311.即4x＋3y＋511－13＝0.
【正文】 公切線方程為 y＝－ 43x＋ 133 － 53 11. 即 4x＋ 3y＋ 5 11－ 13＝ 0. 12． 已知圓 A： x2＋ y2＋ 2x＋ 2y－ 2＝ 0， 若圓 B平分圓 A的周長(zhǎng) ， 且圓 B的圓心在直線l： y＝ 2x上 ， 求滿足上述條件的半徑最小的圓 B的方程 ． 解： 法一 ： 設(shè)圓 B的半徑為 r，因?yàn)閳A B的圓心在直線 l： y＝ 2x上，所以圓 B的圓心可設(shè)為 (t,2t)，則圓 B的方程是 (x－ t)2＋ (y－ 2t)2＝ r2，即 x2＋ y2－ 2tx－ 4ty＋ 5t2－ r2＝ 0.① 因?yàn)閳A A的方程為 x2＋ y2＋ 2x＋ 2y－ 2＝ 0， ② 所以 ② － ① ，得兩圓的公共弦所在直線的方程為 (2＋ 2t)x＋ (2＋ 4t)y－ 5t2＋ r2－ 2＝ 0.③ 因?yàn)閳A B平分圓 A的周長(zhǎng)，所以圓 A的圓心 (－ 1，－ 1)必須在公共弦上，于是將 x＝－1， y＝－ 1 代入方程 ③ 并整理得 r2＝ 5t2＋ 6t＋ 6＝ 5?? ??t＋ 35 2＋ 215 ≥ 215 ，所以當(dāng) t＝－ 35時(shí)， rmin＝ 215 .此時(shí)，圓 B的方程是 ?? ??x＋ 35 2＋ ?? ??y＋ 65 2＝ 215 . 法二： 如圖所示，由已知得 A(－ 1，－ 1)， B在直線 l： y＝ 2x上，連接 AB，過(guò) A作 MN⊥ AB，且 MN交圓 A于 M， N兩點(diǎn)，所以 MN為圓 A的直徑 ． 因?yàn)閳A B平分圓 A的周長(zhǎng)，所以只需圓 B經(jīng)過(guò) M， N兩點(diǎn) ． 因?yàn)閳A A的半徑是 2，設(shè)圓 B的半徑為 r，連接 MB，所以r＝ |MB|＝ |AB|2＋ |AM|2＝ |AB|2＋ r的最小值，只需求 |AB|的最小值 ． 因?yàn)?A是定點(diǎn)，B是 l上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng) AB⊥ l，即 MN∥ l時(shí)， |AB|最小 ． 于是，可求得 B的坐標(biāo)為 ?? ??－ 35，－ 65 ，rmin＝ 215 ，所以圓 B的方程是 ?? ??x＋ 35 2＋ ?? ??y＋ 65 2＝ 215 .
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