浙江省嘉興市20xx屆高三數(shù)學一模試卷word版含解析-資料下載頁
2024-12-05 04:46本頁面
【導讀】6．已知拋物線y2=4x的焦點為F，直線l過F且與拋物線交于A、B兩點，若|AB|=5，=，若向量滿足|﹣+|≤1，11．已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x≤0}，則A∪B=，A∩（?12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是cm2，（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅰ）若曲線y=f在點處的切線方程為y=2x+3，求a，b的值；21．如圖，設斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C：+=1交于A、B兩點，（Ⅰ）求直線l在y軸上的截距；（Ⅰ）求a2，a3；并證明：2﹣≤an≤?解：cosα=﹣，解得α=2kπ±，k∈Z，由，解得A（3，4），令z=ax+y，因為z的最大值為10，所以z=ax+y與可行域有交點，其橫坐標分別為x1，x2，利用拋物線定義，
【正文】 ，b 即可； （ II）分離參數(shù)得出 x﹣ ＜ a＜ x+ ，分別求出左側函數(shù)的最大 值和右側函數(shù)的最小值即可得出 a 的范圍． 【解答】 解：（ I） f′（ x） =1﹣ ， ∵ 曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1））處的切線方程為 y=2x+3， ∴ f′（ 1） =2， f（ 1） =5， ∴ ，解得 a=﹣ 1， b=4． （ II） ∵ |f′（ x） |＜ 對 x∈ [2， 3]恒成立，即 |1﹣ |＜ 對 x∈ [2， 3]恒成立， ∴ |x﹣ a|＜ 對 x∈ [2， 3]恒成立， ∴ x﹣ ＜ a＜ x+ 對 x∈ [2， 3]恒成立， 設 g（ x） =x﹣ ， h（ x） =x+ ， x∈ [2， 3]， 則 g′（ x） =1+ ＞ 0， h′（ x） =1﹣ ＞ 0， ∴ g（ x） 在 [2， 3]上是增函數(shù)， h（ x）在 [2， 3]上是增函數(shù)， ∴ gmax（ x） =g（ 3） =2， hmin（ x） =h（ 2） = ． ∴ a 的取值范圍是 [2， ]． 21．如圖，設斜率為 k（ k＞ 0）的直線 l 與橢圓 C： + =1 交于 A、 B 兩點，且 OA⊥ OB． （ Ⅰ ）求直線 l 在 y 軸上的截距（用 k 表示）； （ Ⅱ ）求 △ AOB 面積取最大值時直線 l 的方程． 【考點】 直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程． 【分析】 （ Ⅰ ）設 l： y=kx+t， A（ x1， y1）， B（ x2， y2），由 OA⊥ OB，得（ 1+k2）x1x2+kt（ x1+x2） +t2=0，聯(lián)立 ，得 x2+3（ kx+t） 2=9，即（ 1+3k2） x2+6ktx+3t2﹣ 9=0，由此利用韋達定理、根的判別式，結合已知條件能求出直線 l 在 y 軸上的截距． （ Ⅱ ）設 △ AOB 的面積為 S， O 到直線 l 的距離為 d，則 S= |AB|?d，由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出 △ AOB 面積取最大值時直線 l 的方程． 【解答】 解：（ Ⅰ ）設 l： y=kx+t， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， ∵ 斜率為 k（ k＞ 0）的直線 l 與橢圓 C： + =1 交于 A、 B 兩點，且 OA⊥ OB， ∴∠ AOB=90176。， ∴ ， ∴ x1x2+（ kx1+t）（ kx2+t） =0， ∴ （ 1+k2） x1x2+kt（ x1+x2） +t2=0，（ *） 聯(lián)立 ，消去 y，得 x2+3（ kx+t） 2=9，即（ 1+3k2） x2+6ktx+3t2﹣ 9=0， 則 ， x1x2= ，且 △＞ 0，代入（ *） 從而得（ 1+k2）（ 3t2﹣ 9）﹣ 6k2t2+t2（ 1+3k2） =0， ∴ 3t2﹣ 9﹣ 9k2+t2=0， ∴ ， ∴ t=177。 ， ∴ 直線 l 在 y 軸上的截距為 或﹣ ． （ Ⅱ ）設 △ AOB 的面積為 S， O 到直線 l 的距離為 d，則 S= |AB|?d， 而由（ 1）知 d= ，且 |AB|= = = = ， ∴ ≤ ， 當 時， ，解得 k= ， ∴ t= ， ∴ 所求直線方程為 y= 或 y= ． 22．已知數(shù)列 {an}滿足： a1= ， an=an﹣ 12+an﹣ 1（ n≥ 2 且 n∈ N）． （ Ⅰ ）求 a2， a3；并證明： 2 ﹣ ≤ an≤ ?3 ； （ Ⅱ ）設數(shù)列 {an2}的前 n 項和為 An，數(shù)列 { }的前 n 項和為 Bn，證明： = an+1． 【考點】 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和． 【分析】 （ I）分別令 n=2， 3 即可計算 a2， a3，配方得 an+ ＞ （ an﹣ 1+ ） 2，利用{an+ }的增減性得出不等式 2 ﹣ ≤ an，利用 {an}增減性得出 an≤ ?3 ； （ II）分別使用因式分解和裂項法計算 An， Bn，即可得出結論． 【解答】 解：（ I） a2=a12+a1= = ， a3=a22+a2= = ． 證明： ∵ an=an﹣ 12+an﹣ 1， ∴ an+ =an﹣ 12+an﹣ 1+ =（ an﹣ 1+ ） 2+ ＞ （ an﹣ 1+ ） 2， ∴ an+ ＞ （ an﹣ 1+ ） 2＞ （ an﹣ 2+ ） 4＞＞ （ an﹣ 3+ ） 8＞ …＞ （ a1+ ） =2 ， ∴ an＞ 2 ﹣ ， 又 ∵ an﹣ an﹣ 1=an﹣ 12＞ 0， ∴ an＞ an﹣ 1＞ an﹣ 2＞ …＞ a1＞ 1， ∴ an2＞ an， ∴ an=an﹣ 12+an﹣ 1＜ 2a ， ∴ an＜ 2a ＜ 2?22 ＜ 2?22?24 ＜ …＜ 2?22?24?…?2 a1 =2 ?（ ） = ?3 ． 綜上， 2 ﹣ ≤ an≤ ?3 ． （ II）證明： ∵ an=an﹣ 12+an﹣ 1， ∴ an﹣ 12=an﹣ an﹣ 1， ∴ An=a12+a22+a32+…an2=（ a2﹣ a1） +（ a3﹣ a2） +…+（ an+1﹣ an） =an+1﹣ ， ∵ an=an﹣ 12+an﹣ 1=an﹣ 1（ an﹣ 1+1）， ∴ = = ， ∴ = ， ∴ Bn= …+ =（ ） +（ ） +（ ﹣ ） +…+（ ） = ﹣ ． ∴ = = ． 2017 年 3 月 30 日
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