上海市嘉定區(qū)20xx屆高考數(shù)學(xué)一模試卷word版含解析-資料下載頁(yè)
2024-11-29 12:02本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】8．若數(shù)列{an}的所有項(xiàng)都是正數(shù)，且++…9．如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=5，AC=7，DC=3，①若函數(shù)f既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f的值域?yàn)閧0}；③若函數(shù)f在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則f不存在反函數(shù)；與f﹣1圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上；19．（14分）某地要建造一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形市民休閑公園OABC，20．（16分）已知函數(shù)f=9x﹣2a?a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常數(shù)r∈N；求證：an+2﹣an是一個(gè)定值；成立，則稱(chēng){an}為周期數(shù)列，T為它的一個(gè)周期，求該數(shù)列的最小周期；若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列，=2?{}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不是，請(qǐng)舉出。解：函數(shù)f=log2（x+1）+a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，1），
【正文】 公共點(diǎn) P， 得 △ =（﹣ k） 2﹣ 4 2 b=0， 解得 b=﹣ ； （ 2）解：設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t，則 P（ t， 2t2）； ① 直線 MN 的方程為 y=kx+b， 即 y=kx﹣ 過(guò)點(diǎn) P， ∴ kt﹣ =2t2， 解得 k=4t； y=4tx﹣ 2t2 令 y=0，解得 x= ， ∴ M（ ， 0）； 令 y=2，解得 x= + ， ∴ N（ + ， 2）； ② 將四邊形 MABN 的面積 S 表示成關(guān)于 t 的函數(shù)為 S=S（ t） =2 2﹣ 2 [ +（ + ） ]=4﹣（ t+ ）； 由 t+ ≥ 2? = ，當(dāng)且僅當(dāng) t= ，即 t= 時(shí) “=”成立， 所以 S≤ 4﹣ 2 ；即 S 的最大值是 4﹣ ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了閱讀理解能力，是綜合性題目． 20．（ 16 分）（ 2017?上海一模）已知函數(shù) f（ x） =9x﹣ 2a?3x+3： （ 1）若 a=1， x∈ [0， 1]時(shí)，求 f（ x）的值域； （ 2）當(dāng) x∈ [﹣ 1， 1]時(shí)，求 f（ x）的最小值 h（ a）； （ 3）是否存在實(shí)數(shù) m、 n，同時(shí)滿足下列條件： ① n＞ m＞ 3； ② 當(dāng) h（ a）的定義域?yàn)?[m， n]時(shí)，其值域?yàn)?[m2， n2]，若存在，求出 m、 n 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)的值域． 【分析】 （ 1）設(shè) t=3x，則 φ（ t） =t2﹣ 2at+3=（ t﹣ a） 2+3﹣ a2， φ（ t）的對(duì)稱(chēng)軸為 t=a，當(dāng) a=1 時(shí)，即可求出 f（ x）的值域； （ 2）由函數(shù) φ（ t）的對(duì)稱(chēng)軸為 t=a，分類(lèi)討論當(dāng) a＜ 時(shí)，當(dāng) ≤ a≤ 3 時(shí)，當(dāng) a ＞ 3 時(shí)，求出最小值，則 h（ a）的表達(dá)式可求； （ 3）假設(shè)滿足題意的 m， n 存在 ，函數(shù) h（ a）在（ 3， +∞ ）上是減函數(shù)，求出h（ a）的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 函數(shù) f（ x） =9x﹣ 2a?3x+3， 設(shè) t=3x， t∈ [1， 3]， 則 φ（ t） =t2﹣ 2at+3=（ t﹣ a） 2+3﹣ a2，對(duì)稱(chēng)軸為 t=a． 當(dāng) a=1 時(shí)， φ（ t） =（ t﹣ 1） 2+2 在 [1， 3]遞增， ∴ φ（ t） ∈ [φ（ 1）， φ（ 3） ]， ∴ 函數(shù) f（ x）的值域是： [2， 6]； （ Ⅱ ） ∵ 函數(shù) φ（ t）的對(duì)稱(chēng)軸為 t=a， 當(dāng) x∈ [﹣ 1， 1]時(shí)， t∈ [ ， 3]， 當(dāng) a＜ 時(shí)， ymin=h（ a） =φ（ ） = ﹣ ； 當(dāng) ≤ a≤ 3 時(shí)， ymin=h（ a） =φ（ a） =3﹣ a2； 當(dāng) a＞ 3 時(shí)， ymin=h（ a） =φ（ 3） =12﹣ 6a． 故 h（ a） = ； （ Ⅲ ）假設(shè)滿足題意的 m， n 存在， ∵ n＞ m＞ 3， ∴ h（ a） =12﹣ 6a， ∴ 函數(shù) h（ a）在（ 3， +∞ ）上是減函數(shù)． 又 ∵ h（ a）的定義域?yàn)?[m， n]，值域?yàn)?[m2， n2]， 則 ， 兩式相減得 6（ n﹣ m） =（ n﹣ m） ?（ m+n）， 又 ∵ n＞ m＞ 3， ∴ m﹣ n≠ 0， ∴ m+n=6，與 n＞ m＞ 3 矛盾． ∴ 滿足題意的 m， n 不存在． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二次函 數(shù)的值域問(wèn)題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問(wèn)題一般結(jié)合圖象和單調(diào)性處理，是中檔題． 21．（ 18 分）（ 2017?上海一模）已知無(wú)窮數(shù)列 {an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，其前 n 項(xiàng)和為 Sn，且滿足： a1=a， rSn=anan+1﹣ 1，其中 a≠ 1，常數(shù) r∈ N； （ 1）求證： an+2﹣ an 是一個(gè)定值； （ 2）若數(shù)列 {an}是一個(gè)周期數(shù)列（存在正整數(shù) T，使得對(duì)任意 n∈ N*，都有 an+T=an成立，則稱(chēng) {an}為周期數(shù)列， T 為它的一個(gè)周期，求該數(shù)列的最小周期； （ 3）若數(shù)列 {an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列， =2?3n﹣ 1（ n∈ N*），問(wèn)：數(shù)列{}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列 {an}中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不是，請(qǐng)舉出反例． 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式． 【分析】 （ 1）由 rSn=anan+1﹣ 1，利用迭代法得： ran+1=an+1（ an+2﹣ an），由此能夠證明 an+2﹣ an 為定值． （ 2）當(dāng) n=1 時(shí)， ra=aa2﹣ 1，故 a2= ，根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再由 r＞ 0 和 r=0 兩種情況進(jìn)行討論，能夠求出該數(shù)列的周期． （ 3）因?yàn)閿?shù)列 {an}是一個(gè)有理等差數(shù)列，所以 a+a=r=2（ r+ ），化簡(jiǎn) 2a2﹣ ar﹣ 2=0，解得 a 是有理數(shù)，由此入手進(jìn)行合理猜想，能夠求出 Sn． 【解答】 （ 1）證明： ∵ rSn=anan+1﹣ 1， ① ∴ rSn+1=an+1an+2﹣ 1， ② ② ﹣ ① ，得： ran+1=an+1（ an+2﹣ an）， ∵ an＞ 0， ∴ an+2﹣ an=r． （ 2）解：當(dāng) n=1 時(shí)， ra=aa2﹣ 1， ∴ a2= ， 根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)： a， r+ ， a+r， 2r+ ， a+2r， 3r+ ， … ． 當(dāng) r＞ 0 時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列， ∴ r=0 時(shí)，數(shù)列寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)： a， ， a， ， … ． 所以當(dāng) a＞ 0 且 a≠ 1 時(shí)，該數(shù)列的周期是 2， （ 3）解：因?yàn)閿?shù)列 {an}是一個(gè)有理等差數(shù)列， a+a+r=2（ r+ ）， 化簡(jiǎn) 2a2﹣ ar﹣ 2=0， a= 是有理數(shù)． 設(shè) =k，是一個(gè)完全平方數(shù)， 則 r2+16=k2， r， k 均是非負(fù)整數(shù) r=0 時(shí)， a=1， an=1， Sn=n． r≠ 0 時(shí)（ k﹣ r）（ k+r） =16=2 8=4 4 可以分解成 8 組， 其中只有 ，符合要求， 此時(shí) a=2， an= ， Sn= ， ∵ =2?3n﹣ 1（ n∈ N*）， an=1 時(shí)，不符合，舍去． an= 時(shí)，若 2?3n﹣ 1= ，則： 3k=4 3n﹣ 1﹣ 1， n=2 時(shí)， k= ，不是整數(shù)， 因此數(shù)列 {}中的所有項(xiàng)不都是數(shù)列 {an}中的項(xiàng)． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、數(shù)列的周期性性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
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