【導(dǎo)讀】360范圍內(nèi)，找出與'12950??角終邊相同的角，并判斷它屬于哪一象限。寫(xiě)出終邊在Y軸上的角的集合。下列說(shuō)法正確的是：；；90度的角都是銳角；；90度的角一定是在第一象限；F.如圖，弓形的弦ABcm3?，求該弓形的面積。因?yàn)橄褹B所對(duì)應(yīng)的圓周角為3?扇形ACB對(duì)應(yīng)的圓心角為????證明：由題知：0cos?是第四象限角，且125tan???是第二象限角，且121tan??提示：上述二題均利用關(guān)系式：1cossin22????。=右邊，所以原式成立。最大值為5，此時(shí)x的集合為??；最小值為1，此時(shí)x的集合為

　　

【正文】 x ??? ,224 ?? 時(shí)，函數(shù)最大值為 2；當(dāng) ? ?Zkkx ??? ,2247 ?? 時(shí)，函數(shù)最小值為 2。 [平面向量 ] 練習(xí)題 關(guān)于向量說(shuō)法的判斷。 方向相同 或相反的向量是平行向量。（錯(cuò)：應(yīng)是“方向相同或相反的非零向量是平行向量”，因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我幌蛄?。? 零向量的長(zhǎng)度是 0。（正確） 長(zhǎng)度相等的向量是相等向量。（錯(cuò)：應(yīng)是“長(zhǎng)度相等且方向相同的向量是相等向量”） 共線向量是在一條直線上的向量。（錯(cuò)：共線向量也叫平行向量，它們不一定在一條直線上，也可能在平行直線上） CDAB// 就是 AB所在的直線平行于 CD所在的直線。（錯(cuò)： CDAB// 包括 AB所在的直線平行于 CD所在的直線，也包括 AB所在的直線重疊于 CD所在的直線） 設(shè) o是正六邊形 ABCDEF 的中心，且 aOA? 。問(wèn)： （ 1）該正六邊形的線段共可組成多少個(gè)向量？ E D （ 2）與 a的模相等的向量有多少個(gè)？ （ 3）與 a的模相等但方向相反的向量有哪些？ F O C （ 4）與 a共線的向量有哪些？ （ 5）列出與 a相等的所有向量。 A B 解：（ 1） 30個(gè)；（ 2） 23個(gè)；（ 3） BCAOODFE , （ 4） CBBCAODAADDOODEFFE ,, （ 5） CBDOEF , 如右圖，平行四邊形 ABCD 的二條對(duì)角線相交于點(diǎn) M，且 bADaAB ?? , ，試用 ba, 表示向量 MDMCMBMA , 。 D C 解： baADABAC ???? A M B baADABDB ???? 所以： ACMA 21?? = ? ?ba??21 ba 2121 ??? ， DBMB 21?? ba 2121 ?? ACMC 21? ba 2121 ?? ， DBMD 21?? ba 2121 ?? 已知 ,ACADAB ?? 且 bBDaAC ?? , 。試用向量 ba, 表示 ADAB, 。 解： ??????????bADABaADAB，解得 ? ? ? ?baADbaAB ???? 21,21 如右圖，平行四邊形 ABCD 的二條對(duì)角線相交于點(diǎn) M， 且 bADaAB ?? , ， DP=31 DM， MQ=31 MC，試用 ba, 表示向量 PQAQAP , 。 D P C 解： DBDMDP 6131 ?? ? ?ADAB ?? 61 ? ?ba??61 M Q 所以 DPADAP ?? ? ?bab ??? 61 ba 6561 ?? A B 又 ACMCMQ 6131 ?? ，所以 ? ? ? ? ? ?bababaMQAMAQ ???????? 326121 ? ? bababaAPAQPQ 6121656132 ???????? ?????? 一條船從長(zhǎng)江南岸 A點(diǎn)出發(fā)，以 5Km/h 的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的流速為向東 25Km/h。（ 1）用 向量表示船速、江水流速及船實(shí)際航行的速度。（ 2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（精確到度）。 D C 解：（ 1）如右圖示，向量 AD表示船速， AB表示江水流速， AC 表示船實(shí)際航行的速度。 A B 在直角三角形 ABC中， 2?AB ， 5?BC ，則 22 BCABAC ?? = 又因?yàn)椋?25tan ??CAB ，由計(jì)算器得 ??? 68CAB 。答 ：。 下列各組向量中，可以作為基底的是哪些？（ 1） ? ? ? ?2,12,0,01 ??? ee ；（ 2）? ? ? ?7,52,2,11 ??? ee ；（ 3） ? ? ? ?10,62,5,31 ?? ee ；（ 4） ? ? ?????? ???? 43,212,3,21 ee 解： [提示 ]兩個(gè)不共線的非零向量可以構(gòu)成一組基底。第（ 2）組可以。 已知 ? ? ? ?4,3,1,2 ??? ba ，求 bababa 43, ??? 的坐標(biāo)。 解： ? ? ? ? ? ?5,14,31,2 ?????? ba ， ??ba ? ? ? ? ? ?3,54,31,2 ?????? ba ba 43? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19,616,123,64,341,23 ???????? 已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn) CBA , 的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ? ? ?4,3,3,1,1,2 ?? ，求頂點(diǎn) D的坐標(biāo)。 解：（畫(huà)圖）設(shè)頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ? ?yx, 。因?yàn)?? ? ? ? ? ?2,11,23,1 ?????AB ? ? ? ? ? ?yxyxDC ????? 4,3,4,3 ，由 DCAB? 得 ? ? ? ?yx ?? 4,32,1 所以 ??? ?? ?? 24 13 yx，解得 2,2 ?? yx ，即頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ? ?2,2 已知 ? ? ? ?yba ,6,2,4 ?? ，且 ba// ，求 y 。 解：因?yàn)?ba// ，則有 01221 ?? yxyx ，即 0624 ???y ，解得 3?y 已知二個(gè)非零向量 21,ee 不共線，設(shè) 21 32 eeAB ?? ， 21 236 eeBC ?? ， 21 84 eeCD ?? ，求證： DBA , 三點(diǎn)共線。提示：如果 ba, 共線，必有 ba ?? ；如果 ba ?? ，則必有 ba, 共線（ b 為非零向量， a 可以是零向量）。 證明： CDBCABAD ??? =? ? ? ? ? ?212121 8423632 eeeeee ????? = ? ?21 326 ee ? = AB6 所以 AD與 AB共線。又因?yàn)?AD與 AB有公共點(diǎn) A，所以， DBA , 三點(diǎn)共線。 已知二個(gè)非零向 量 21,ee 不共線，設(shè) 21 eeAB ?? ， 21 82 eeBC ?? ， 21 33 eeCD ?? ，（ 1）求證： DBA , 三點(diǎn)共線；（ 2）若使 21 eek ? 與 21 eke? 共線，試確定實(shí)數(shù) k 的值。 （ 1）證明： CDBCBD ?? ? ? ? ? ? ? ABeeeeee 553382 212121 ??????? 所以， BD與 AB共線。又因?yàn)?BD與 AB有公共點(diǎn) B，所以 DBA , 三點(diǎn)共線。 （ 2）解：若使 21 eek ? 與 21 eke? 共線，則必存在一個(gè)實(shí)數(shù) ? ，使得 21 eek ? =? ? ?21 eke? ，整理得 ? ? ? ? 01 21 ???? ekek ?? 因 為非零向量 21,ee 不共線，所以只能有 ??? ?? ?? 01 0kk ??，解得 1??k 已知 ? ? ? ? ? ?5,2,3,1,1,1 CBA ?? ，證明： CBA , 三點(diǎn)共線。 證明： ? ? ? ? ? ?4,21,13,1 ?????AB ， ? ? ? ? ? ?6,31,15,2 ?????AC 因?yàn)?03462 ???? ，所以向量 ACAB, 共線 又因?yàn)?ACAB, 有公共點(diǎn) A，所以 CBA , 三點(diǎn)共線。 已知 P 是線段 21pp 上的一點(diǎn)， 21,pp 的坐標(biāo)分別為 ? ?? ?2211 , yxyx ：（ 1）當(dāng) P是線段 21pp 的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；（ 2）當(dāng) P是線段 21pp 的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。 解：如圖。（ 1） ? ? ?????? ????? 2,221 212121 yyxxopopop， P的坐標(biāo)為 ?????? ?? 2,2 2121 yyxx （ 2）當(dāng) P 是線段 21pp 的三等分點(diǎn)時(shí)，分二種情況， 第一種 21 21 pppp ? ，第二種 21 2pppp ? 當(dāng)?shù)谝环N 21 21 pppp ? 時(shí)， ? ? ?????? ???????????? 32,3231323131 21212112121111 yyxxopopopopopppopppopop 即 P的坐標(biāo)為 ?????? ?? 32,32 2121 yyxx，同理，求出第二種情況 P的坐標(biāo)為 ?????? ?? 32,32 2121 yyxx 注：定比分點(diǎn)公式 ?????????????????112121yyyxxx， ? ?yxP , 、 ? ?111 ,yxP 、 ? ?222 ,yxP 是直線 l 上的點(diǎn)， 21PPPP?? 已知 ? ? ? ? ? ?5,4,2,1,0,0 BAo ， ABtOAOP ??? ，當(dāng) 2,2,21,1 ??t 時(shí)，分別求點(diǎn) P 坐標(biāo)。 解： ? ?2,1?OA ， ? ?3,3?AB 當(dāng) 1?t 時(shí)， ? ? ? ? ? ?5,43,32,1 ????? ABOAOP ，點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ? ?5,4 當(dāng) 21?t 時(shí)， ? ? ? ? ??????????? 27,253,3212,121 ABOAOP，點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ?????? 27,25 當(dāng) 2??t 時(shí)， ? ? ? ? ? ?4,53,322,12 ??????? ABOAOP ，點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ? ?4,5?? 當(dāng) 2?t 時(shí)， ? ? ? ? ? ?8,73,322,12 ????? ABOAOP ，點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ? ?8,7 P2 P1 P O Y X 已知點(diǎn) ? ? ? ?5,1,1,1 ?BA ，及 ABAC 21? ， ABAD 2? ， ABAE 21?? ，求點(diǎn) EDC , 的坐標(biāo)。 解： ? ?1,1?OA ， ? ?5,1??OB ，則 ? ?4,2??AB ，所以 ? ?2,121 ??? ABAC ， ? ?8,42 ??? ABAD ， ? ?2,121 ???? ABAE 又 ? ? ? ? ? ?3,02,11,1 ?????? ACOAOC ，所以 c點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?3,0 ? ? ? ? ? ?9,38,41,1 ??????? ADOAOD ，所以 c點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?9,3? ? ? ? ? ? ?1,22,11,1 ??????? AEOAOE ，所以 c點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?1,2? 另解： ? ?2,121 ??? ABAC ，設(shè) ? ?yxC , ，則有 ? ? ? ? ? ?2,11,1, ???yx ， ? ? ?3,0, ?yx 判斷下列 各點(diǎn)的位置關(guān)系，并給出證明：（ 1） ? ? ? ? ? ?,2,4,3,2,1 CBA ?? ； （ 2） ? ? ? ? ? ?6,5,0,2,1 ?? CBA ；（ 3） ? ? ? ? ? ?,8,3,1,1,9 CBA ? 解：（ 1） ? ?6,4 ???AB ， ? ?,1?AC ，因?yàn)?ACAB 4?? （或者因?yàn)?? ? ?????? ），所以 ACAB, 共線，又因?yàn)橄蛄?ACAB, 有公共點(diǎn) A，所以 CBA , 三點(diǎn)共線。 （ 2） ? ?2, ??AB ， ? ?8,6??AC ，因?yàn)?ACAB 41? （或者因?yàn)?? ? ? ? ?????? ），所以 ACAB, 共線，又因?yàn)橄蛄?ACAB, 有公共點(diǎn) A，所以 CBA , 三點(diǎn)共線。 （ 3）同理可求出。 設(shè) 21,ee 是平面內(nèi)向量的一組基底，證明：當(dāng) 02211 ?? ee ?? 時(shí)，恒有 021 ???? 。 證明：（反證法）因?yàn)?21,ee 是平面內(nèi)向量的一組基底，所以 21,ee 不共線。 假設(shè) 01?? ，則由 02211 ?? ee ?? 得， 21211 ee ??? ??，若 02?? ，則 21,ee 共線，與題意矛盾，所以 02?? ；同理，得 01?? 。所以 021 ???? 已知 4,3 ?? ba ，且 a 與 b 的夾角 ??150? ，求 ? ? bababa ??? , 2 。 解： 362343150c os ?????????? ????????? baba ? ? 312252 222 ??????? bbaaba , 31225 ??? b 已知 5,2 ?? ba ， 3???ba ，求 baba ?? , 。 解： 232 22 ????? bbaaba ， 352 22 ????? bbaaba 已知 ABC? 中， ???? 60,8,5 Cba ，求 CABC? 。 解： 8,5 ?? CABC , CABC, 夾角為 ??120? 所以 CABC? = ??? 120co sCABC = 20?