【導(dǎo)讀】BP：AP=1:5,則CD的長為（）.解析：由勾股定理得AB＝5，則sinA＝45，作CE⊥AD于E，則AE＝DE，在Rt△AEC中，sinA＝CEAC，即453CE?于點(diǎn)G，直線EF與O相切與。瀘州）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，∵半徑OD與弦AB互相垂直，在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x﹣3）2，紹興）紹興市著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半。∵橋拱半徑OC為5m，嘉興）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連。萊蕪）將半徑為3cm的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，用圖中。由折疊的性質(zhì)可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，在△AOB中，由內(nèi)角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為r，

　　

【正文】 BAC，所以 ∠ AOC=∠ BAD，利用 ∠ AOC+∠ OAE=90176。即可得到∠ BAD+∠ OAE=90176。，然后根據(jù)切線的判定方法得 AD 為 ⊙ O 的切線． 解答： 解：（ 1） ∵ 半徑 OC 垂直于弦 AB， ∴ AE=BE=AB=4， 在 Rt△ OAE 中， OA=5， AE=4， ∴ OE= =3， ∴ EC=OC﹣ OE=5﹣ 3=2， 在 Rt△ AEC 中， AE=4， EC=2， ∴ tan∠ BAC= ==； （ 2） AD 與 ⊙ O 相切．理由如下： ∵ 半徑 OC 垂直于弦 AB， ∵ AC 弧 =BC 弧， ∴∠ AOC=2∠ BAC， ∵∠ DAC=∠ BAC， ∴∠ AOC=∠ BAD， ∵∠ AOC+∠ OAE=90176。， ∴∠ BAD+∠ OAE=90176。， ∴ OA⊥ AD， ∴ AD 為 ⊙ O 的切線． 點(diǎn)評： 本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點(diǎn)且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了勾股定理以及垂徑定理、圓周角定理． 3（ 2021?黔西南州）如圖， AB 是 ⊙ O的直徑，弦 CD⊥ AB 與點(diǎn) E，點(diǎn) P 在 ⊙ O 上， ∠ 1=∠ C， （ 1）求證： CB∥ PD； （ 2）若 BC=3， sin∠ P=35 ，求 ⊙ O 的直徑． 考點(diǎn) ： 圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義． 專題 ： 幾何綜合題． 分析： （ 1）要證明 CB∥ PD，可以求得 ∠ 1=∠ P，根據(jù) = 可以確定 ∠ C=∠ P，又知 ∠ 1=∠ C，即可得 ∠ 1=∠ P； （ 2）根據(jù)題意可知 ∠ P=∠ CAB，則 sin∠ CAB=，即 =35 ，所以可以求得圓的直徑． 解答： （ 1）證明： ∵∠ C=∠ P 又 ∵∠ 1=∠ C ∴∠ 1=∠ P ∴ CB∥ PD； （ 2）解：連接 AC ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。 又 ∵ CD⊥ AB， ∴ = ， ∴∠ P=∠ CAB， ∴ sin∠ CAB=35 ， 即 =35 ， 又知， BC=3， ∴ AB=5， ∴ 直徑為 5． 點(diǎn)評： 本題考查的是垂徑定理和平行線、圓周角性質(zhì)，解題時細(xì)心是解答好本題的關(guān)鍵． 3 （ 2021?恩施州）如圖所示， AB 是 ⊙ O 的直徑， AE 是弦， C 是劣弧 AE 的中點(diǎn)，過 C作 CD⊥ AB 于點(diǎn) D， CD 交 AE 于點(diǎn) F，過 C 作 CG∥ AE 交 BA的延長線于點(diǎn) G． （ 1）求證： CG 是 ⊙ O 的切線． （ 2）求證： AF=CF． （ 3）若 ∠ EAB=30176。， CF=2，求 GA 的 長． 考點(diǎn) ： 切線的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 3718684 專題 ： 證明題． 分析： （ 1）連結(jié) OC，由 C是劣弧 AE 的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得 OC⊥ AE，而 CG∥ AE，所以 CG⊥ OC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論； （ 2）連結(jié) AC、 BC，根據(jù)圓周角定理得 ∠ ACB=90176。， ∠ B=∠ 1，而 CD⊥ AB，則∠ CDB=90176。，根據(jù)等角的余角相等得到 ∠ B=∠ 2，所以 ∠ 1=∠ 2，于是得到 AF=CF； （ 3）在 Rt△ ADF 中，由于 ∠ DAF=30176。， FA=FC=2，根據(jù)含 30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得到 DF=1， AD= ，再由 AF∥ CG，根據(jù)平行線分線段成比例得到 DA：AG=DF： CF 然后把 DF=1， AD= ， CF=2 代入計算即可． 解答： （ 1）證明：連結(jié) OC，如圖， ∵ C 是劣弧 AE 的中點(diǎn)， ∴ OC⊥ AE， ∵ CG∥ AE， ∴ CG⊥ OC， ∴ CG 是 ⊙ O 的切線； （ 2）證明：連結(jié) AC、 BC， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。， ∴∠ 2+∠ BCD=90176。， 而 CD⊥ AB， ∴∠ B+∠ BCD=90176。， ∴∠ B=∠ 2， ∵ AC 弧 =CE 弧， ∴∠ 1=∠ B， ∴∠ 1=∠ 2， ∴ AF=CF； （ 3）解：在 Rt△ ADF 中， ∠ DAF=30176。， FA=FC=2， ∴ DF= AF=1， ∴ AD= DF= ， ∵ AF∥ CG， ∴ DA： AG=DF： CF，即 ： AG=1： 2， ∴ AG=2 ． 點(diǎn)評： 本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查 了圓周角定理、垂徑定理和等腰三角形的判定． 3 （ 2021?資陽）在 ⊙ O中， AB 為直徑，點(diǎn) C 為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于點(diǎn) D，連結(jié) CD． （ 1）如圖 1，若點(diǎn) D 與圓心 O 重合， AC=2，求 ⊙ O 的半徑 r； （ 2）如圖 2，若點(diǎn) D 與圓心 O 不重合， ∠ BAC=25176。，請直接寫出 ∠ DCA的度數(shù)． 考點(diǎn) ： 垂徑定理；含 30 度角的直角三角形；圓周角定理；翻折變換（折疊問題）． 分析： （ 1）過點(diǎn) O 作 OE⊥ AC 于 E，根據(jù)垂徑定理可得 AE= AC，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE= r，然后在 Rt△ AOE 中，利用勾股定理列式計算即可得解； （ 2）連接 BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出 ∠ ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出 ∠ B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到 所對的圓周角，然后根據(jù) ∠ ACD等于 所對的圓周角減去 所對的圓周 角，計算即可得解． 解答： 解：（ 1）如圖，過點(diǎn) O 作 OE⊥ AC 于 E， 則 AE= AC= 2=1， ∵ 翻折后點(diǎn) D 與圓心 O 重合， ∴ OE= r， 在 Rt△ AOE 中， AO2=AE2+OE2， 即 r2=12+（ r） 2， 解得 r= ； （ 2）連接 BC， ∵ AB 是直徑， ∴∠ ACB=90176。， ∵∠ BAC=25176。， ∴∠ B=90176。﹣ ∠ BAC=90176。﹣ 25176。=65176。， 根據(jù)翻折的性質(zhì)， 所對的圓周角等于 所對的圓周角， ∴∠ DCA=∠ B﹣ ∠ A=65176。﹣ 25176。=40176。． 點(diǎn)評： 本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng) 用，翻折的變換的性質(zhì)，以及圓周角定理，（ 1）作輔助線構(gòu)造出半徑、半弦、弦心距為邊的直角三角形是解題的關(guān)鍵，（ 2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等求解是解題的關(guān)鍵．