【正文】 解：連接 OC， ∵ M 是 CD 的中點 ， EM⊥ CD， ∴ EM 過 ⊙ O 的圓心點 O， 設(shè)半徑為 x， ∵ CD=4， EM=8， ∴ CM= CD=2， OM=8﹣ OE=8﹣ x， 在 Rt△ OEM 中， OM2+CM2=OC2， 即（ 8﹣ x） 2+22=x2， 解得： x= ． ∴ 所在圓的半徑為： ． 故答案為： ． 點評： 此題考查了垂徑定理以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 2 （ 2021?綏化）如圖，在 ⊙ O 中，弦 AB 垂直平分半徑 OC，垂足為 D，若 ⊙ O 的半徑為2，則弦 AB 的長為 2 ． 考點 ： 垂徑定理；勾股定理． 專題 ： 計算題． 分析： 連接 OA，由 AB 垂直平分 OC，求出 OD 的長，再利用垂徑定理得到 D 為 AB 的中點，在直角三角形 AOD 中，利用垂徑定理求出 AD 的長，即可確定出 AB 的長． 解答： 解：連接 OA，由 AB 垂直平分 OC，得到 OD= OC=1， ∵ OC⊥ AB， ∴ D 為 AB 的中點， 則 AB=2AD=2 =2 =2 ． 故答案為： 2 ． 點評： 此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵． 2 （ 2021哈爾濱） 如圖，直線 AB與 ⊙ O相切于點 A， AC、 CD是 ⊙ O的兩條弦，且 CD∥ AB，若 ⊙ O 的半徑為52， CD=4，則弦 AC的長為 ． 考點： 垂徑定理；勾股定理。切線的性質(zhì)。 分析 ：： 本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用切線的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 。 解答 ： 連接 OA,作 OE⊥ CD于 E,易得 OA⊥ AB,CE=DE=2，由于 CD∥ AB得 EOA三點共線，連 OC, 在直角三角形 OEC 中 ,由勾股定理得 OE=32,從而 AE=4，再直角三角形 AEC 中由勾股定理得 AC=25 2（ 2021?張家界）如圖， ⊙ O的直徑 AB 與弦 CD 垂直，且 ∠ BAC=40176。，則 ∠ BOD= 80176。 ． 考點 ： 圓周角定理；垂徑定理． 3718684 分析： 根據(jù)垂徑定理可得點 B 是 中點，由圓周角定理可得 ∠ BOD=2∠ BAC，繼而得出答案． 解答： 解： ∵ ， ⊙ O 的直徑 AB 與弦 CD 垂直， ∴ = ， ∴∠ BOD=2∠ BAC=80176。． 故答案為： 80176。． 點評： 此題考查了圓周角 定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半． 2（ 2021?遵義）如圖， OC是 ⊙ O的半徑， AB 是弦，且 OC⊥ AB，點 P 在 ⊙ O 上， ∠ APC=26176。，則 ∠ BOC= 52176。 度． 考點 ： 圓周角定理；垂徑定理． 3718684 分析： 由 OC 是 ⊙ O 的半徑， AB 是弦，且 OC⊥ AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得： = ，又由圓周角定理，即可求得答案． 解答： 解： ∵ OC 是 ⊙ O 的半徑， AB 是弦，且 OC⊥ AB， ∴ = ， ∴∠ BOC=2∠ APC=226176。=52176。． 故答 案為： 52176。． 點評： 此題考查了垂徑定理與圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 2 （ 2021陜西） 如圖， AB 是⊙ O 的一條弦， 點 C 是⊙ O 上一動點， 且 ∠ ACB=30176。 ，點 E、 F 分別是 AC、 BC 的中點， 直線 EF 與⊙ O 交于 G、 H 兩點，若⊙ O 的半徑為 7， 則 GE+FH 的最大值為 ． 考點：此題一般考查的是與圓有關(guān)的計算，考查有垂徑定理、相交弦定理、圓心角與圓周角的關(guān)系，及扇形的面積及弧長的計算公式等知識點。 解析 ： 本題考 查 圓心角與圓周角的關(guān)系應(yīng)用，中位線及最值問 題。連接 OA， OB， 因為 ∠ ACB=30176。，所以∠ AOB=60176。，所以 OA=OB=AB=7，因為 E、 F中 AC、 BC的中點， 所以 EF=AB21=，因為 GE+FH=GH－ EF，要使 GE+FH 最大，而 EF 為定值，所以 GH 取最大值時 GE+FH有最大值，所以當(dāng) GH為直徑時， GE+FH的最大值為 = 2（ 2021 年廣州市） 如圖 7，在平面直角坐標(biāo)系中，點 O為坐標(biāo)原點，點 P 在第一象限，P?與 x軸交于 O,A 兩點，點 A 的坐標(biāo)為（ 6,0）， P?的半徑為13，則點 P 的坐標(biāo)為 ____________. 分析： 過點 P 作 PD⊥ x軸于點 D，連接 OP，先由垂徑定理求出OD 的長，再根據(jù)勾股定理求出 PD 的長，故可得出答案． 解： 過點 P 作 PD⊥ x軸于點 D，連接 OP， ∵ A（ 6， 0）， PD⊥ OA， ∴ OD=OA=3， 在 Rt△ OPD 中， ∵ OP= ， OD=3， C A B C G H E F 第 16 題圖 ∴ PD= = =2， ∴ P（ 3， 2）． 故答案為 ：（ 3， 2）． 點評： 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 (2021年深圳市 )如圖 5 所示，該小組發(fā)現(xiàn) 8 米高旗桿 DE 的影子 EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圖的半徑的活動。小剛身高 米，測得其影長為 米，同時測得 EG 的長為 3 米， HF 的長為 1 米，測得拱高（弧 GH 的中點到弦 GH 的距離，即 MN 的長）為 2 米，求小橋所在圓的半徑。 解析 ： （ 2021?白銀）如圖，在 ⊙ O 中，半徑 OC 垂直于弦 AB，垂足為點 E． （ 1）若 OC=5， AB=8，求 tan∠ BAC； （ 2）若 ∠ DAC=∠ BAC，且點 D 在 ⊙ O 的外部，判斷直線 AD 與 ⊙ O 的位置關(guān)系，并加以證明． 考點 ： 切線的判定；勾股定理；垂徑定理． 專題 ： 計算題． 分析： （ 1）根據(jù)垂徑定理由半徑 OC垂直于弦 AB， AE=AB=4，再根據(jù)勾股定理計算出 OE=3，則 EC=2，然后在 Rt△ AEC 中根據(jù)正切的定義可得到 tan∠ BAC 的值； （ 2）根據(jù)垂徑定理得到 AC 弧 =BC 弧，再利用圓周角定理可得到 ∠ AOC=2∠ BAC， 由于 ∠ DAC=∠