【正文】 相交弦說(shuō)明 幾何語(yǔ)言： 若弦ab、cd交于點(diǎn)p 則papb=pcpd（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分 直徑所成的兩條線段的例中項(xiàng) 幾何語(yǔ)言： 若ab是直徑，cd垂直ab于點(diǎn)p，則pc^2=papb（相交弦定理推論） 切割線定理 定義 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。是圓冪定理的一種。 幾何語(yǔ)言： ∵pt切⊙o于點(diǎn)t，pba是⊙o的割線 ∴pt的平方=papb（切割線定理）推論： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 幾何語(yǔ)言： ∵pt是⊙o切線，pba，pdc是⊙o的割線 ∴pdpc=papb（切割線定理推論）（割線定理） 由上可知：pt∧2（平方）=papb=pcpd 證明 切割線定理證明： 設(shè)abp是⊙o的一條割線，pt是⊙o的一條切線，切點(diǎn)為t，則pt^2=papb 證明：連接at，bt ∵∠ptb=∠pat（弦切角定理） ∠p=∠p（公共角） ∴△pbt∽△pta（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似） 則pb：pt=pt：ap 即：pt^2=pbpa 割線定理 定義 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線 與圓交點(diǎn)的距離的積相等。 lalb=lcld。如下圖所示。（lt是切線） 證明 如圖直線abp和cdp是自點(diǎn)p引的⊙o的兩條割線，則papb=pcpd證明：連接ad、bc ∵∠a和∠c都對(duì)弧bd ∴由圓周角定理，得∠a=∠c 又∵∠apd=∠cpb ∴△adp∽△cbp ∴ap：cp=dp：bp，也就是apbp=cpdp 切線的判定定理 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 幾何語(yǔ)言：∵l⊥oa，點(diǎn)a在⊙o上 ∴直線l是⊙o的切線（切線判定定理） 切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)半徑 幾何語(yǔ)言：∵oa是⊙o的半徑，直線l切⊙o于點(diǎn)a ∴l(xiāng)⊥oa（切線性質(zhì)定理） 推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) 推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心 切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角 幾何語(yǔ)言：∵直線pa、pb分別切⊙o于a、b兩點(diǎn) ∴pa=pb，∠apo=∠bpo（切線長(zhǎng)定理） 證明：連結(jié)oa、ob ∵直線pa、pb分別切⊙o于a、b兩點(diǎn) ∴oa⊥ap、ob⊥pb ∴∠oap=∠obp=90176。 在△opa和△opb中： ∠oap=∠obpop=opoa=ob=r∴△opa≌△opb（hl） ∴pa=pb，∠apo=∠bpo 弦切角定理 弦切角（即圖中∠acd）等于它所夾的?。ɑc）對(duì)的圓周角等于所夾的弧的讀數(shù)的一半等于1/2所夾的弧的圓心角[注，由于網(wǎng)上找得的圖不是很完整，圖中沒(méi)有連結(jié)oc] 幾何語(yǔ)言：∵∠acd所夾的是弧ac∴∠acd=∠abc=1/2∠coa=1/2弧ac的度數(shù)（弦切角定理） 推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等幾何語(yǔ)言：∵∠1所夾的是弧mn，∠2所夾的是pq，弧mn=弧pq ∴∠1=∠ 2證明：作ad⊥ec ∵∠adc=90176。 ∴∠acd+∠cad=90176。 ∵ed與⊙o切于點(diǎn)c∴oc⊥ed∴∠ocd=∠oca+∠acd=90176?！唷蟧ca=∠cad∵oc=oa=r∴∠oca=∠oac∴∠coa=180176?！蟧ca∠oac=180176。2∠cad又∵∠acd=90176?！蟘ad∴∠acdc=1/2∠coa ∴∠acd=∠abc=1/2∠coa=1/2弧ac的度數(shù) 弦切角概念 頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、： （1）頂點(diǎn)在圓上，即角的頂點(diǎn)是圓的一條切線的切點(diǎn)； （2）角的一邊和圓相交，即角的一邊是過(guò)切點(diǎn)的一條弦所在的射線； （3）角的另一邊和圓相切，即角的另一邊是切線上以切點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線. 它們是判斷一個(gè)角是否為弦切角的標(biāo)準(zhǔn)，三者缺一不可。 （4）弦切角可以認(rèn)為是圓周角的一個(gè)特例，弦切角具有與圓周角類(lèi)似的性質(zhì). 相關(guān)公式 弧長(zhǎng)計(jì)算公式：l=n兀r／180 扇形面積公式：s扇形=n兀r^2／360=lr／2 內(nèi)公切線長(zhǎng)=d（rr）外公切線長(zhǎng)=d（r+r） 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（xa）2+（yb）2=r2注：（a，b）是圓心坐標(biāo) 第五篇：不常用的圓定理弦切角定理 弦切角的定義。頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。 弦切角定理就是弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角，一半弧所對(duì)的圓心角 如圖：tc為圓o切線，∠btc=∠bat 弦切角定理的推論。如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。 弦切角定理的證明。做過(guò)切點(diǎn)的直徑，連接弦和這條直徑的另一端，先說(shuō)明直徑所對(duì)的圓周角是直角，然后直徑和弦所在的直角三角形的兩個(gè)銳角就互補(bǔ)，然后過(guò)切點(diǎn)的直徑垂直于切線，弦和切線把這個(gè)直角分成兩部分，其中有一個(gè)是上面那個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角，然后用等式性質(zhì)減去重復(fù)的部分，剩下的就是弦切角和所夾的弧所對(duì)的圓周角相等了。 圓冪定理 圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及他們推論的統(tǒng)稱。 相交弦定理。圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 切割線定理。從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 割線定理。pb=pcpd。 統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)p引兩條直線l l2，l1與圓交于a、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d（可重合），則有papb=pcpd。 進(jìn)一步升華（推論）： 過(guò)任意在圓o外的一點(diǎn)p引一條直線l1與一條過(guò)圓心的直線l2，l1與圓交于a、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d。則papb=pcpd。若圓半徑為r，則 pcpd=（por）（po+r）=po^2r^2=|po^2r^2|（一定要加絕對(duì)值，原因見(jiàn)下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)p到圓o的冪。（事實(shí)上所有的過(guò)p點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）若點(diǎn)p在圓內(nèi)，類(lèi)似可得定值為r^2po^2=|po^2r^2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來(lái)） 密克定理（三圓定理+完全四線形定理+四圓定理+五圓定理） 密克定理是幾何學(xué)中關(guān)於相交圓的定理。1838年，奧古斯特密克敘述並證明了數(shù)條相關(guān)定理。許多有用的定理可由其推出。 三圓定理：設(shè)三個(gè)圓c1，c2，c3交於一點(diǎn)o，而m，n，p分別是c1和c2，c2和c3，c3和c1的另一交點(diǎn)。設(shè)a為c1的點(diǎn)，直線ma交c2於b，直線pa交c3於c。那麼b，n，c這三點(diǎn)共線。逆定理：如果 ， 是三角形，m，n，p三點(diǎn)分別在邊ab，bc，ca上，那麼三角形 的外接圓交於一點(diǎn)o。 ， ， ， 完全四線形定理：如果abcdef是完全四線形，那麼三角形 的外接圓交於一點(diǎn)o，稱為密克點(diǎn)。 四圓定理。設(shè)c1，c2，c3，c4為四個(gè)圓，a1和b1是c1和c2的交點(diǎn)，a2和b2是c2和c3的交點(diǎn)，a3和b3是c3和c4的交點(diǎn)，a4和b4是c1和c4的交點(diǎn)。那麼a1，a2，a3，a4四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)b1，b2，b3，b4四點(diǎn)共圓。 五圓定理：設(shè)abcde為任意五邊形，五點(diǎn)f，g，h，i，j分別是ea和bc，ab和cd，bc和de，cd和ea，de和ab的交點(diǎn)，那麼三角形，， ， 的外接圓的五個(gè)不在五邊形上的交點(diǎn)共圓，而且穿過(guò)這些交點(diǎn)的圓也穿過(guò)五個(gè)外接 圓的圓心。 逆定理：設(shè)c1，c2，c3，c4，c5五個(gè)圓的圓心都在圓c上，相鄰的圓交於c上，那麼把它們不在c上的交點(diǎn)與比鄰?fù)瑯拥狞c(diǎn)連起來(lái)，所成的五條直線相交於 第41頁(yè) 共41頁(yè)