【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90，∠10+∠4=90==∠9=∠10 ==hq//df ==pm=mh 第二個(gè)問(wèn)，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖。設(shè)o，g，h分別為三角形abc的外心，重心和垂心。 則o是，確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形xyz的垂心，而g還是它的重心。 那么三角形xyz的外心o1，也在同一直線上，并且 hg/go=go/go1=2，所以o1是oh的中點(diǎn)。 三角形abc和三角形xyz位似，那么它們的外接圓也位似。兩個(gè)圓的圓心都在oh上，并且兩圓半徑比為1：2 所以g是三角形abc外接圓和三角形xyz外接圓（九點(diǎn)圓）的反位似中心（相似點(diǎn)在位似中心的兩邊），h是正位似中心（相似點(diǎn)在位似中心的同一邊）... 所以h到三角形abc的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形def的外接圓上.... 圓冪定理 圓冪定理 圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。 定義 圓冪=po^2r^2| 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 相交弦定理。圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 切割線定理。從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 割線定理。從圓外一點(diǎn)p引兩條割線與圓分別交于a、b；c、d，則有papb=pcpd。 統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)p引兩條直線l l2，l1與圓交于a、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d（可重合），則有papb=pcpd。 進(jìn)一步升華（推論） 過(guò)任意在圓o外的一點(diǎn)p引一條直線l1與一條過(guò)圓心的直線l2，l1與圓交于a、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d。則papb=pcpd。若圓半徑為r，則pcpd=（por）（po+r）=po^2r^2=|po^2r^2|（要加絕對(duì)值，原因見(jiàn)下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)p到圓o的冪。（事實(shí)上所有的過(guò)p點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 若點(diǎn)p在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2po^2=|po^2r^2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過(guò)這一點(diǎn)引任意直線交圓于a、b，那么papb等于圓冪的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來(lái)） 證明 圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論（割線定理）統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問(wèn)題1 相交弦定理。圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的乘積相等。 證明。連結(jié)ac，bd，由圓周角定理的推論，得∠a=∠d，∠c=∠b。 ∴△pac∽△pdb，∴pa：pd=pc：pb，papb=pcpd 問(wèn)題2 割線定理：pb=pcpd，當(dāng)pa=pb，即直線ab重合，即pa切線時(shí)得到切線定理pa^2=pcpd 證明：（令a在p、b之間，c在p、d之間）因?yàn)閍bcd為圓內(nèi)接四邊形，所以角cab+角cdb=180度，又角cab+角pac=180度，所以角pac=角cdb，又角apc公共，所以三角形apc與三角形dpb相似，所以pa/pd=pc/pb，所以pa*pb=pc*pd 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 幾何語(yǔ)言：∵pt切⊙o于點(diǎn)t，pba是⊙o的割線 ∴pt^2=papb（切割線定理） 推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 幾何語(yǔ)言：∵pba、pdc是⊙o的割線 ∴pdpc=papb（切割線定理推論） 問(wèn)題3 過(guò)點(diǎn)p任作直線交定圓于兩點(diǎn)a、b，證明papb為定值（圓冪定理）。 證：以p為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 （xxo）^2+（yyo）^2=a① 過(guò)p的直線為 x=k1t y=k2t 則a、b的橫坐標(biāo)是方程 （k1txo）^2+（k2tyo）^2=r^2 即 （k1^2+k2^2）t^22（k1xo+k2yo）t+xo^2+yo^2r^2=0 的兩個(gè)根t t2。由韋達(dá)定理 t1t2=（xo^2+yo^2^2）/（k1^2+k2^2） 于是 papb=√（（k1t1）^2+（k2t1）^2）√（（k1t2）^2+（k2t2）^2） =（√（k1^2+k2^2））^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|（xo^2+yo^2r^2）/（k1^2+k2^2）| =|（xo^2+yo^2r^2）| 為定值，證畢。 圓①也可以寫成 x^2+y^22xox2yoy+xo^2+yo^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。所說(shuō)的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心o的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)p在圓外時(shí)，這就是自p向圓所引切線（長(zhǎng)）的平方。 這定值稱為點(diǎn)p到這圓的冪。 在上面證明的過(guò)程中，我們以p為原點(diǎn)，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。 如果給定點(diǎn)o，未必是原點(diǎn)，要求出p關(guān)于圓①的冪（即op^2r^2），我們可以設(shè)直線ab的方程為 ② ③ 是的傾斜角，表示直線上的點(diǎn)與的距離. 將②③代入①得 即 ，是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理 ④ 是定值 ④是關(guān)于①的冪（當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是）.它也可以寫成 ④′ 即與圓心距離的平方減去半徑的平方. 當(dāng)p在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；p在圓上時(shí)，冪為0；p在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自p向圓所引切線長(zhǎng)的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用. 問(wèn)題4 自圓外一點(diǎn)向圓引割線交圓于、兩點(diǎn)，又作切線、為切點(diǎn)，與相交于，、成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 ⑤ 點(diǎn)的坐標(biāo)為，的參數(shù)方程為 ⑥ ⑦ 其中是的傾斜角，表示直線上的點(diǎn)與的距離. ⑥⑦代入⑤得 即 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 ⑧ 另一方面，直線是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論，的方程為 ⑦⑧代入得 因此，這個(gè)方程的根滿足 ⑨ 綜合⑧⑨，結(jié)論成立。 可以證明，當(dāng)在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說(shuō)明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問(wèn)題3的方法，同時(shí)我們也看到了問(wèn)題4與問(wèn)題 問(wèn)題2的內(nèi)在聯(lián)系。 四點(diǎn)共圓 四點(diǎn)共圓圖釋 如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：（1）同弧所對(duì)的圓周角相等（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。 四點(diǎn)共圓 證明四點(diǎn)共圓的基本方法 證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法： 方法1 從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓. 方法2 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓.（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。） 方法3 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓. 方法4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓.（根據(jù)托勒密定理的逆定理） 方法5 證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓. 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明. 判定與性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 如四邊形abcd內(nèi)接于圓o，延長(zhǎng)ab和dc交至e，過(guò)點(diǎn)e作圓o的切線ef，ac、bd交于p，則a+c=π，b+d=π， 角