【導讀】3．（）“厲害了，我的國！”2018年1月18日，國家統(tǒng)計局對外公布，全年國內(nèi)生。4．（）一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，A．10°B．15°C．18°D．30°裝的大米的銷售量如下：10kg裝100袋；20kg裝220. 8．（）某抗戰(zhàn)紀念館館長找到大學生團干部小張，聯(lián)系青年志愿者在周日參與活動，a的取值范圍是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作為函數(shù)C1的自變量的取值時，16．（）四邊形ABCD中，BD是對角線，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，ON上，以AB為直角邊作Rt△ABA1，以BA1為直角邊作第二個Rt△BA1B1，以A1B1為直角邊作。第三個Rt△A1B1A2，?，依次規(guī)律，得到Rt△B2017A2018B2018，則點B2018的縱坐標為．。；②第二、三組的頻率和是；③自左至右第三，四，五組的頻數(shù)比為9：8：3；若大客車一直以出發(fā)時的速度行駛，中途不再停車，那么小轎車折返后到達景點入口，折紙是一項有趣的活動，同學們小時候都玩過折紙，可能折過小動物、小花、飛機、小船等，

　　

【正文】 天，就讓我們帶著數(shù)學的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學結(jié)論． 實踐操作 如圖 1，將矩形紙片 ABCD沿對角線 AC翻折，使點 B′ 落在矩形 ABCD所在平面內(nèi)， B39。C和 AD相交于點 E，連接 B′D ． 解決向題 （ 1）在圖 1中， ① B′D 和 AC的位置關(guān)系 為 平行 ； ② 將 △ AEC剪下后展開，得到的圖形是 菱形 ； （ 2）若圖 1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r（ AB≠ BC），如圖 2所示，結(jié)論 ① 和結(jié)論 ② 是否成立，若成立，請?zhí)暨x其中的一個結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由； （ 3）小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為 1： 1或 ： 1 ； 拓展應(yīng)用 25 （ 4）在圖 2 中，若 ∠ B=30176。 ， AB=4 ，當 △ AB′D 恰好為直角三角形時， BC的長度為 4或 6或 8或 12 ． 【分析】 （ 1） ① 根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行即可判斷； ② 根據(jù)菱形的判定方法即可解決問題； （ 2）只要證明 AE=EC，即可證明結(jié)論 ② 成立；只要證明 ∠ ADB′= ∠ DAC，即可推出 B′D ∥ AC； （ 3）分兩種 情形分別討論即可解決問題； （ 4）先證得四邊形 ACB′D 是等腰梯形，分四種情形分別討論求解即可解決問題； 【解答】 解：（ 1） ① BD′ ∥ AC． ② 將 △ AEC剪下后展開，得到的圖形是菱形； 故答案為 BD′ ∥ AC，菱形； （ 2） ① 選擇 ② 證明如下： ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ DAC=∠ ACB， ∵ 將 △ ABC沿 AC翻折至 △ AB′C ， ∴∠ ACB′= ∠ ACB， ∴∠ DAC=∠ ACB′ ， ∴ AE=CE， ∴△ AEC是等腰三角形； ∴ 將 △ AEC剪下后展開，得到的圖形四邊相等， ∴ 將 △ AEC剪下后展開，得到的圖形四邊是菱形． ② 選擇 ① 證明如下， 26 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AD=BC， ∵ 將 △ ABC沿 AC翻折至 △ AB′C ， ∵ B′C=BC ， ∴ B′C=AD ， ∴ B′E=DE ， ∴∠ CB′D= ∠ ADB′ ， ∵∠ AEC=∠ B′ED ， ∠ ACB′= ∠ CAD ∴∠ ADB′= ∠ DAC， ∴ B′D ∥ AC． （ 3） ① 當矩形的 長寬相等時，滿足條件，此時矩形紙片的長寬之比為 1： 1； ∵∠ AB′D +∠ADB′=90176。 ， ∴ y﹣ 30176。 +y=90176。 ， ② 當矩形的長寬之比為 ： 1 時，滿足條件，此時可以證明四邊形 ACDB′ 是等腰梯形，是軸對稱圖形； 綜上所述，滿足條件的矩形紙片的長寬之比為 1： 1或 ： 1； （ 4） ∵ AD=BC， BC=B′C ， ∴ AD=B′C ， ∵ AC∥ B′D ， ∴ 四邊形 ACB′D 是等腰梯形， ∵∠ B=30176。 ， ∴∠ AB′C= ∠ CDA=30176。 ， ∵△ AB′D 是直角三角形， 當 ∠ B′AD=90176。 ， AB＞ BC時，如圖 3中， 27 設(shè) ∠ ADB′= ∠ CB′D=y ， ∴∠ AB′D=y ﹣ 30176。 ， 解得 y=60176。 ， ∴∠ AB′D=y ﹣ 30176。=30176。 ， ∵ AB′=AB=4 ， ∴ AD= 4 =4， ∴ BC=4， 當 ∠ ADB′=90176。 ， AB＞ BC時，如圖 4， ∵ AD=BC， BC=B′C ， ∴ AD=B′C ， ∵ AC∥ B′D ， ∴ 四邊形 ACB′D 是等腰梯形， ∵∠ ADB′=90176。 ， ∴ 四邊形 ACB′D 是矩形， ∴∠ ACB′=90176。 ， ∴∠ ACB=90176。 ， ∵∠ B=30176。 ， AB=4 ， ∴ BC= AB= 4 =6； 當 ∠ B′AD=90176。 ， AB＜ BC時，如圖 5， 28 ∵ AD=BC， BC=B′C ， ∴ AD=B′C ， ∵ AC∥ B′D ， ∠ B′AD=90176。 ， ∵∠ B=30176。 ， AB′=4 ， ∴∠ AB′C=30176。 ， ∴ AE=4， BE′=2AE=8 ， ∴ AE=EC=4， ∴ CB′=12 ， 當 ∠ AB′D=90176。 時，如圖 6， ∵ AD=BC， BC=B′C ， ∴ AD=B′C ， ∵ AC∥ B′D ， ∴ 四邊形 ACDB′ 是等腰梯形， ∵∠ AB′D=90176。 ， ∴ 四邊形 ACDB′ 是矩形， ∴∠ BAC=90176。 ， ∵∠ B=30176。 ， AB=4 ， ∴ BC=AB247。 =8； ∴ 已知當 BC的 長為 4或 6或 8或 12時， △ AB′D 是直角三角形． 29 故答案為：平行，菱形， 1： 1或 ： 1， 4或 6或 8或 12； 【點評】 本題考查四邊形綜合題、翻折變換、矩形的性質(zhì)、等腰梯形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，本題綜合性比較強，屬于中考壓軸題． 24．（ ）綜合與探究 如圖 1所示，直線 y=x+c與 x軸交于點 A（﹣ 4， 0），與 y軸交于點 C，拋物線 y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點 A， C． （ 1）求拋物線的解析式 （ 2）點 E在拋物線的對稱軸上，求 CE+OE的最小值； （ 3）如圖 2 所示， M 是線段 OA的上一個動點，過點 M垂直于 x軸的直線與直線 AC 和拋物線分別交于點 P、 N ① 若以 C， P， N為頂點的三角形與 △ APM相似，則 △ CPN的面積為 或 4 ； ② 若點 P恰好是線段 MN的中點，點 F是直線 AC上一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點 D，使以點 D， F， P， M 為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點 D 的坐標；若不存在，請說明理由． 注：二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的頂點坐標為（﹣ ， ） 30 【分析】 （ 1）把已知點坐標代入解析式； （ 2）取點 C關(guān)于拋物線的對稱軸直線 l的對 稱點 C′ ，由兩點之間線段最短，最小值可得； （ 3） ① 由已知，注意相似三角形的分類討論． ② 設(shè)出 M 坐標，求點 P 坐標．注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對稱軸對稱得到的．本題即為研究 △ CPN為等腰三角形的情況． 【解答】 解：（ 1）將 A（﹣ 4， 0）代入 y=x+c ∴ c=4 將 A（﹣ 4， 0）和 c=4代入 y=﹣ x2+bx+c ∴ b=﹣ 3 ∴ 拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ 3x+4 （ 2）做點 C關(guān)于拋物線的對稱軸直線 l的對稱點 C′ ，連 OC′ ，交直線 l于點 E． 連 CE，此時 CE+OE的值最小． ∵ 拋物線對稱軸位置線 x=﹣ ∴ CC′=3 由勾股定理 OC′=5 ∴ CE+OE的最小值為 5 （ 3） ① 當 △ CNP∽△ AMP時， 31 ∠ CNP=90176。 ，則 NC關(guān)于拋物線對稱軸對稱 ∴ NC=NP=3∴△ CPN的面積為 當 △ CNP∽△ MAP時 由已知 △ NCP為等腰直角三角形， ∠ NCP=90176。 過點 C作 CE⊥ MN于點 E，設(shè)點 M坐標為（ a， 0） ∴ EP=EC=﹣ a， 則 N為（ a，﹣ a2﹣ 3a+4）， MP=﹣ a2﹣ 3a+4﹣（﹣ 2a） =﹣ a2﹣ a+4 ∴ P（ a，﹣ a2﹣ a+4） 代入 y=x+4 解得 a=﹣ 2 ∴△ CPN的面積為 4 故答案為： 或 4 ② 存在 設(shè) M坐標為（ a， 0） 32 則 N為（ a，﹣ a2﹣ 3a+4） 則 P點坐標為（ a， ） 把點 P坐標代入 y=﹣ x+4 解得 a1=﹣ 4（舍去）， a2=﹣ 1 當 PF=FM時，點 D在 MN垂直平分線上，則 D（ ） 當 PM=PF時，由菱形性質(zhì)點 D坐標為（﹣ 1+ ， ）（﹣ 1﹣ ，﹣ ） 當 MP=MF時， M、 D關(guān)于直線 y=﹣ x+4對稱，點 D坐標為（﹣ 4， 3） 【點評】 本題以二次函數(shù)動點問題為背景，綜合考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)、相似三角形判斷以及菱形存在性的判斷．解答時應(yīng)注意做到數(shù)形結(jié)合．