數(shù)據(jù)模型決策03決策技術(shù)-資料下載頁(yè)
2025-03-09 11:37本頁(yè)面
【正文】 一、馬爾可夫鏈 我們知道，要描述某種特定時(shí)期的隨機(jī)現(xiàn)象如某種商品在未來(lái)某時(shí)期的銷售情況，用一個(gè)隨機(jī)變量 Xn便可以了，但要描述未來(lái)所有時(shí)期的情況，則需要一系列的隨機(jī)變量 X1， X2， … ，Xn， … ．稱 { Xt， t∈ T ， T是參數(shù)集 }為隨機(jī)過(guò)程， {Xt}的取值集合稱為狀態(tài)空間．若 隨機(jī)過(guò)程 {Xt}的參數(shù)為非負(fù)整數(shù)， Xt 為離散隨機(jī)變量，且 {Xt}具有無(wú)后效性（或稱馬爾可夫性），則稱這一隨機(jī)過(guò)程為馬爾可夫鏈（簡(jiǎn)稱馬氏鏈）． 所謂無(wú)后效性，直觀地說(shuō)，就是 { Xt }在將來(lái)取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與過(guò)去的取值無(wú)關(guān)． 第四節(jié) 馬氏決策 對(duì)具有 N個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈，描述它的概率性質(zhì)，最重要的是它在n時(shí)刻處于狀態(tài) i， 下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的一步轉(zhuǎn)移概率： 第四節(jié) 馬氏決策 NjinpiXjXP jinn ,2,1,)()|( 1 ??????若假定上式與 n無(wú)關(guān)，即 ，則可記為 （此時(shí)，稱過(guò)程是 平穩(wěn)的 ），并稱下式為轉(zhuǎn)移概率矩陣． ?? ???? )()1()0( nppp jijijijip ???????????????NNNNNNpppppppppP???????212222111211例 設(shè)某商品銷售情況分“暢銷”和“滯銷”兩種，以“ 1”代表“暢銷”，“ 2”代表“滯銷”．以 Xn表示第 n個(gè)季度的銷售狀態(tài)，則 Xn可以取值 1或 2．若未來(lái)的銷售狀態(tài)，只與現(xiàn)在的市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān)，而與以前的市場(chǎng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，則該商品的市場(chǎng)狀態(tài){Xn， n≥1}就構(gòu)成一個(gè)馬氏鏈．設(shè) 第四節(jié) 馬氏決策 11 ?p ?p ?p ?p， 則轉(zhuǎn)移概率矩陣為 ?????????這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況也可以如右圖所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖來(lái)表示： ② ① 轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì)： （ 1） ．即每個(gè)元素非負(fù)． （ 2） ．即矩陣每行的元素和等于 1． 如果我們考慮狀態(tài)多次轉(zhuǎn)移的情況，則有過(guò)程在 n時(shí)刻處于狀態(tài) i， n+k時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的 k步轉(zhuǎn)移概率： 同樣由平穩(wěn)性，上式概率與 n無(wú)關(guān)，可寫(xiě)成 ．記 k步轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 第四節(jié) 馬氏決策 Njip ji ,2,1,0 ???NipNj ji,2,1,11????? NjinpiXjXP kjinkn ,2,1,)()|( )( ??????)(kjip???????????????)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(kNNkNkNkNkkkNkkkpppppppppP???????例： 求上例中商品的銷售狀態(tài) {Xn}的二步轉(zhuǎn)移矩陣 P(2)． 第四節(jié) 馬氏決策 ， 解 由上例知，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為 : 若本季度該商品的銷售處于暢銷（即處于狀態(tài)“ 1” ），那么，經(jīng)過(guò)兩個(gè)季度以后，就經(jīng)歷了兩次轉(zhuǎn)移，可能轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“ 2”，也可能保持狀態(tài)“ 1”，這種轉(zhuǎn)移的可能性的大小就是二步轉(zhuǎn)移概率． ?????????第四節(jié) 馬氏決策 ， ， ， 解 表示 該商品 的銷售由暢銷經(jīng)兩次轉(zhuǎn)移后仍然是暢銷的概率，由全概率公式 ： 同樣可算得由暢銷經(jīng)兩次轉(zhuǎn)移到滯銷的概率： 由滯銷經(jīng)兩次轉(zhuǎn)移到暢銷和滯銷的概率分別為： )2(11p )1|1(13)2(11 ??? XXPp )2|1()1|2()1|1()1|1( 23122312 ?????????? XXPXXPXXPXXP 21121111 ??????? 22121211)2(12 ??????? )2(21 ??????? ppppp )2(22 ??????? ppppp第四節(jié) 馬氏決策 ， 所以二步轉(zhuǎn)移矩陣為： 由剛才的計(jì)算過(guò)程知： 結(jié)論： 一般地有，若 P為一步轉(zhuǎn)移矩陣，則 k步轉(zhuǎn)移矩陣 ?????????)2(P??????????????????????22221221212211212212121121121111)2(22)2(21)2(12)2(11)2(ppppppppppppppppppppP 22221121122211211 Ppppppppp ??????????????????k)k(NN)k(2N)k(1N)k(N2)k(22)k(21)k(N1)k(12)k(11)k( PpppppppppP ???????????????????????二、市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè) 例：某地區(qū)有甲、乙、丙三家公司銷售同一類型的產(chǎn)品。過(guò)去的歷史資料表明：這三家公司某產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率分別為 50％、30％和 20％。不久前，丙公司制定了一項(xiàng)把甲、乙兩公司的顧客吸引到本公司來(lái)的銷售與服務(wù)措施。此時(shí)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下所示，現(xiàn)需要分析丙公司新經(jīng)營(yíng)方針的影響效益，即三家公司在下周擁有的市場(chǎng)占有率和最終的市場(chǎng)占有率。 第四節(jié) 馬氏決策 ???????????P下面我們對(duì)市場(chǎng)占有率進(jìn)行預(yù)測(cè) 設(shè) 表示預(yù)測(cè)對(duì)象 k季度以后的市場(chǎng)占有率，初始分布為 ，市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)模型為 首先，我們有 ，由此，我們可預(yù)測(cè)任意時(shí)期甲、乙、丙三廠家的市場(chǎng)占有率．例如，一周以后的預(yù)測(cè)值為： 第四節(jié) 馬氏決策 ),( )(3)(2)(1)( kkkk pppS ? ),( )0(3)0(2)0(1)0( pppS ? PSPSS kkk ???? ? )1()0()( ),(S )0( ?),(),(PSS )0()1( ????????????? 如果我們按上述公式繼續(xù)逐步求甲、乙、丙三家的市場(chǎng)占有率，會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng) k大到一定的程度， S(k)將不會(huì)有多少改變，即有穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率，設(shè)其穩(wěn)定值為 ，滿足 。 事實(shí)上，如果市場(chǎng)的顧客流動(dòng)趨向長(zhǎng)期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過(guò)一段時(shí)期以后的市場(chǎng)占有率將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即顧客的流動(dòng)，不會(huì)影響市場(chǎng)的占有率，而且這種占有率與初始分布無(wú)關(guān)．如何求出這種穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率呢？ 第四節(jié) 馬氏決策 ),( 321 pppS ? 1321 ??? ppp下面我們對(duì)市場(chǎng)占有率進(jìn)行預(yù)測(cè) 以甲、乙、丙三家的情況為例，當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)平衡狀態(tài)時(shí)，從市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)模型公式可得方程 S=SP，即 由此得 經(jīng)整理，并加上條件 ，得 第四節(jié) 馬氏決策 ???????????)p,p,p()p,p,p( 321321??????????????3213321232111321 ??? ppp第四節(jié) 馬氏決策 1 2 31 2 31 2 31 2 3( 1 ) p p p 0 p ( 1 ) p p 0 p p ( 1 ) p 0p p p 1? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??上面方程組是三個(gè)變量四個(gè)方程的方程組，在前三個(gè)方程中只有二個(gè)是獨(dú)立的，任意刪去一個(gè)，從剩下的三個(gè)方程中，可求出唯一解： 這就是甲、乙、丙三家公司的最終市場(chǎng)占有率． ? 2 ? 3 ? 第四節(jié) 馬氏決策 對(duì)一個(gè)公司市場(chǎng)占有率進(jìn)行馬爾可夫分析，在決策過(guò)程中是很有用的，例如，假設(shè)丙公司努力進(jìn)行促銷，目的是增加自己原有顧客的忠誠(chéng)度而不是試圖將顧客從其它公司那里吸引過(guò)來(lái)。在此情形下，就會(huì)增加 的值，減少 和 。只要能夠知道變化的數(shù)量，就可以計(jì)算出新的穩(wěn)態(tài)下的市場(chǎng)占有率以及對(duì)利潤(rùn)產(chǎn)生的影響。 23p13p33p
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