【正文】 新的起點(diǎn)？ ? 師：從個(gè)別特例中形成猜想，并舉例驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時(shí)，從已有的結(jié)論通過適當(dāng)變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結(jié)論。比如（教師指讀剛才的結(jié)論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變?！蹦敲?，在 — ? 生：減法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置，差會(huì)不會(huì)也不變？ （學(xué)生中馬上有人作出反應(yīng)：差肯定會(huì)變！） 生：同樣乘法中，交換兩個(gè)乘數(shù)的位置積會(huì)不會(huì)變？ ? 生：除法中呢？交換兩個(gè)數(shù)的位置商會(huì)不會(huì)變呢？ （教師板書上述三個(gè)猜想。） ? 師：通過聯(lián)想，同學(xué)們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價(jià)值的思考。大家選擇猜想，再舉例驗(yàn)證。 ? 全班交流 ? 生：我只舉了一個(gè)例子， 86=2，但 68卻不夠減，所以我認(rèn)為，減法中交換兩個(gè)數(shù)的位置差會(huì)變的，也就是減法中沒有交換律。 ? 生：我發(fā)現(xiàn)，要想說明某個(gè)猜想是對(duì)的，必須舉好多例子來證明，但要想說明某個(gè)猜想是錯(cuò)的，只要舉出一個(gè)不符合的例子就可以了。 ? 師：多深刻的認(rèn)識(shí)??！事實(shí)上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作“正例”，不符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱為“反例”。 ? （猜想乘法、除法的過程略） 怎樣的收獲更有價(jià)值？ ? 師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？ ? 生：加法和乘法中有交換律，減法和除法卻沒有。 ? 生：我發(fā)現(xiàn)，有了猜想，還需要舉許多例子來驗(yàn)證，這樣得出的結(jié)論才準(zhǔn)確。 ? 生：我還發(fā)現(xiàn)，只要能舉出一個(gè)反例，那我們就能肯定猜想是錯(cuò)誤的。 ? 生：舉例驗(yàn)證時(shí)，例子應(yīng)盡可能多，而且，應(yīng)盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結(jié)論才更可靠。 必要的拓展：讓結(jié)論增值！ ? 師：在本課即將結(jié)束時(shí)，依然有一些問題要留給大家進(jìn)一步展開思考。（教師出示如下算式： 2086○ 2068；60247。 2247。 3○ 60247。 3247。 2） ? 師：交換兩個(gè)減數(shù)或除數(shù)，結(jié)果又會(huì)怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進(jìn)一步的舉例驗(yàn)證猜想并得出結(jié)論嗎？ ? 思考：“交換律”只是一個(gè)簡單的知識(shí)點(diǎn)，為什么張齊華老師能把它上成為一節(jié)超越知識(shí)之上的體現(xiàn)思想的啟迪、精神的熏陶的具有多元文化價(jià)值的數(shù)學(xué)課呢？ “超越知識(shí)之上” —— 作為某一特定運(yùn)算的交換律知識(shí)被弱化了； “思想的啟迪” —— 滲透“變與不變”的辨證關(guān)系，突顯由“此知”及“彼知”的數(shù)學(xué)聯(lián)想； “精神的熏陶” —— 超越知識(shí)學(xué)習(xí)的技巧性與功利性追求，擁有數(shù)學(xué)課堂本該擁有的思辨的文化氣質(zhì)和從容姿態(tài)。 （四）關(guān)注數(shù)學(xué)化過程 “用數(shù)學(xué)方法把實(shí)際材料組織起來叫做數(shù)學(xué)化。”（弗賴登塔爾）數(shù)學(xué)化由低到高有兩個(gè)層次：一是橫向數(shù)學(xué)化，即把生活世界引向符號(hào)世界；二是縱向數(shù)學(xué)化，即在符號(hào)世界里，符號(hào)生成、重塑和被使用。 “將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型”即數(shù)學(xué)建模的過程，我認(rèn)為這就既是數(shù)學(xué)化的過程，也是數(shù)學(xué)化的結(jié)果。 數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)屬性決定了數(shù)學(xué)化是揭示“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的必由之路。 （四）關(guān)注數(shù)學(xué)化過程 ? 首先，要處理好“活動(dòng)化”與“數(shù)學(xué)化”的關(guān)系。 ? 其次，要處理好“生活化”與“數(shù)學(xué)化”的關(guān)系。 （四）關(guān)注數(shù)學(xué)化過程 ? 首先，要處理好“活動(dòng)化”與“數(shù)學(xué)化”的關(guān)系。 ? 數(shù)學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)化的載體，數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征。 （四）關(guān)注數(shù)學(xué)化過程 ? 案例 15：丁杭纓老師 《三角形邊的關(guān)系》 ? 課始，丁老師組織了一個(gè)圍一圍的數(shù)學(xué)活動(dòng)：把一根吸管任意“剪”成三段，用線把它們首尾串起來，再搜集三種不同的情況粘貼于黑板上：①兩邊和大于第三邊；②兩邊和等于第三邊；③兩邊和小于第三邊，再引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么有的不能圍成三角形”，在思考討論中學(xué)生完成了初步的建構(gòu)：“三角形兩條邊之和大于第三邊”。此時(shí)建構(gòu)起來的數(shù)學(xué)知識(shí)還有一定的局限性，因此丁老師又通過數(shù)學(xué)活動(dòng)解構(gòu)概念，提出了“只要兩邊的和大于第三邊就一定能圍成三角形嗎？”引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)邏輯推理角度對(duì)這個(gè)結(jié)論加以驗(yàn)證和修正。 （四）關(guān)注數(shù)學(xué)化過程 ? 其次，要處理好“生活化”與“數(shù)學(xué)化”的關(guān)系。 ? 數(shù)學(xué)化有兩個(gè)層次：一是橫向的數(shù)學(xué)化，即把生活世界引向符號(hào)世界。二是縱向的數(shù)學(xué)化，即在符號(hào)世界里，符號(hào)生成、重塑和被使用 。 ? 兩個(gè)層次的出發(fā)點(diǎn)不同，但最終的指向都相同，都要回到抽象的符號(hào)世界，都要讓學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)的抽象過程，都要上升到“數(shù)學(xué)模型” 。 （四）關(guān)注數(shù)學(xué)化過程 ? 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)接，但在活動(dòng)化、生活化的同時(shí)，要喚醒學(xué)生心理上與數(shù)學(xué)本質(zhì)相通的生活體驗(yàn)與相關(guān)知識(shí)，適時(shí)對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組、改造和提升，以防止數(shù)學(xué)內(nèi)涵的流失?；顒?dòng)化、生活化的最終歸宿是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。 數(shù)學(xué)本質(zhì) —— 數(shù)學(xué)有效教學(xué)的追求 ? 如果把整個(gè)數(shù)學(xué)體系看作一棵參天大樹的話，那么對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的理性思考是土壤，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想是根，數(shù)學(xué)知識(shí)是果實(shí)?！叭~茂需根深，樹大需土厚”，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，是引導(dǎo)學(xué)生不斷追問數(shù)學(xué)內(nèi)涵的過程，是學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，也是彰顯數(shù)學(xué)文化、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的過程。 ?結(jié)束語： 只有正確把握“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，我們才不會(huì)被一些偶發(fā)細(xì)節(jié)所纏繞，讓自己陷入尷尬之地。只有正確把握“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，我們才能達(dá)到“胸有丘壑氣自豪，方寸課堂任我游”的教學(xué)境界！ ?讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)本質(zhì)靠近些，再靠近些！