【正文】 S2R 11( , , ) ( ( , , ) , ( , , ) )M S u v u S u v v S u v? ? ? ? ? ??SS 2R 12( , , ) ( ( , , ) , ( , , ) )m S u v m S u v m S u v? ? ? ? ? ??SS2R 1 1 1 2( , , ( , , ) ) ( , , ( , , )( , )22u S u v m S u v v S u v m S u v? ? ? ? ? ? ? ???SS2R 12,u u u u??1vv? 2? 有了上述定義后，對納什談判解初始參考點除了前面介紹的 1和 2之外還可以有下列的選取法： 3. 采用 的 最小期望點 作為新的初始參考點； 4. 采用 的 最小妥協(xié)點 作為新的初始參考點； 5. 包含 的 最小矩形的中心 作為新的初始參考點。 除此之外，也有其它初始參考點的選取法，這里不作一一列舉。 SSS 例 例 設(shè)有一凸集，由曲線 和 圍成。記（ 1） 為 初始參考點 ， 為納什談判解；（ 2） 為 最小期望點 ， 為以 為初始參考點所得的納什談判解；（ 3） 為 最小妥協(xié)點 ， 為以 為初始參考點所得的納什談判解；（ 4） 為含 的最小矩陣的中心 ， 為以 為初始參考點所得的納什談判解。 經(jīng)計算有： 。 則得到 不同的納什談判解 ： 分別如右圖所示。 27. 5 0. 1v u u? ? ?0u?(0,0)ON eEe ccC fSFf1 2 1 1 115 , 5 , 5 , 10 , 0u u m v m? ? ? ? ? ?( 0 , 0) , ( 5 , 0) , ( 10 , 5 ) , ( 5 , 5 )O e c f? ? ? ?( 4 , 1 )N (10 .7 7, 6. 67 )E( 9. 08 , 8. 33 )F (11 .0 8 , 6. 31 )C 167。 其它談判解 ※ RKS談判解 ※ RKS談判解的公理體系 ※ 定理 談判解的唯一性定理 ※ 例題求解 RKS談判解 RKS談判解 （ RaiffaKalaiSmorodinsky bargaining solution ） ,它由 Raiffa（ 1957）提出，而由 Kalai和 Smorodinsky對該模型進行公理化。 設(shè)兩人談判問題的可達集 H為凸集， 為初始參考點， 是 H的理想點。作一條連接 和 的直線，該直線與可達集 H的邊界相交交點 稱為 RKS談判解，具體見下圖。 設(shè) 2人談判解的可達集 H是 一個凸集 ， 為談判的 初始參考點 ， 兩個局中人可 接受的 RKS談判解結(jié)果為 ， 令 。 ( , )uv??11( , )uv( , )11,?( , )uv??( , )uv( , ) ( , , )u v H u v???? H RKS談判解的公理體系 公理 1（個體合理性） ； 公理 2（可行性） ； 公理 3（帕累托最優(yōu)性） 若有 ，且 ，則一定有： ； 公理 5（線性變換的無關(guān)性） 設(shè) D是由線性變換從 H得到，即 ， 如果 ，則一定有： 公理 6（對稱性） 若 ，必有 ，則當 ，則有： 。 公理 7（單調(diào)性） 若 ，則 ),(),( ??? vuvu( , )u v H?( , )u H? ),(),( vuvu ?( , ) ( , )u v u v?1 1 2 2 1 2{ ( 39。, 39。) | 39。 , 39。 , 0 , 0 , ( , ) }D u v u u v u u v H? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , , )u v H u v? ??? 1 1 2 2 1 1 2 2( , , ) ( , )T u v u v? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?( , )u v H?( , )v u H??? ? vuvu ?TH? ( , , ) ( , , )T u v H u v??? ? ? ?? 這 6個公理中，前 5個公理與納什公理體系是一致的（注意缺少公理 4）。最后一個公理（單調(diào)性）說明可達域越大，則談判的結(jié)果對雙方都會更好，這顯然也是合理的。 定義 滿足上述 Kalai和 Smorodinsky提出公理體系下的 ，稱為 RKS談判解 。 ( , )uv 定理 談判解的唯一性定理 設(shè)二人談判問題的結(jié)果集 H為凸集， 為談判的初始參考點，則存在唯一滿足上述公理體系的 RKS談判解 。 該定理的證明略去。 在 RKS談判解中，兩個人的收益效用轉(zhuǎn)換稱為可自由配置（ free disposal） 。 ( , )uv??( , ) ( , , )u v H u v? ??? 例題求解 我們對例 RKS談判解的計算。在此，我們?nèi)匀? 。 若局中人 1是公司老板，其收益為 ，增加的效用 。局中人 2為雇員，其收益為 ，在原有 10萬元的基礎(chǔ)上，其增加的效用為 （其中 取 1）。他們對 10萬元盈利進行分配。同前面分析一樣，二人可達集 H如上圖所示，其 H的右上曲線函數(shù)為： 。 0uv????x ux?y l n( 10 ) l n( 10 )vy? ? ?c 20ln10uv ?? uv0ln 210M? 該談判問題的理想點 。 RKS談判解 可以對下面方程組求解得到： 其中后一個是連接初始參考點（ 0， 0）和理想點 的直線方程。經(jīng)求解可得 。即兩人談判的可分配數(shù)為： （萬元）， （萬元） 這個結(jié)果與前面納什談判解的結(jié)果差異不大，其經(jīng)濟解釋是相同的。 (10 , ln 2)M ?20ln10l n 2 10uvuv?? ???? ???(10,ln 2) ? ? 4. 57y ? 對于例 ，我們也可進行 RKS談判解 計算。 該博弈的結(jié)果集 H為 中（ 6， 1），（ 1， 3），（ 2， 4）和（ 4， 1） 4個結(jié)果所圍成的凸集，初始參考點，我們?nèi)匀榧{什均衡結(jié)果點： 。 圖 凸集 H的中帕累托邊界直線為： 而連接初始參考點 和理想點 的直線為： ，因此 RKS談判解 為下列方程組的解： 經(jīng)求解： 2 **( , ) ( 132 / 35 , 187 / 70) ( 7, 7 )uv ??123462 4????? ? ?? ? ?( 1 , 3 )(4 ,1 ) ( 6 ,1 )(2 , 4 )M?( , )uv??uv0( , )uv.3 4 22uv??** 22 11( , ) ( , )75uv ?(6, 4)M ?63 110 62? ? ?3 4 2263 110 22uvuv????? ? ??( , ) ( 88 / 23 , 12 1 / 46 ) ( 3. 83 , 2. 63 )uv 167。 威脅 ※ 例 對納什談判解的質(zhì)疑 ※ 有效威脅的兩個條件 ※ 納什建議進行討價還價的三個步驟 ※ 含威脅的納什討價還價解求解思路 ※ 定理 均衡威脅策略的存在性定理 ※ 定理 納什仲裁值 的唯一性定理 ※ 例 例 對納什談判解的質(zhì)疑 一 個工廠的工人有兩種選擇，要么工作，要么不工作。如果工作，他將得到能夠維持他生存的薪水，同時老板能夠得到 10美元。用（ 0， 10）來表示此時工人與老板各自得到的效用。如果他不工作，他將會挨餓，同時老板沒有利潤，用（ 500， 0）來表示此時工人與老板各自得到的效用。當然，如果老板愿意的話，他會分一點利潤給工人。假定效用是線性轉(zhuǎn)移的， 是 平面第一象限中包括了所有 的點。明顯地， ，納什談判解為 。然而，納什談判解忽視了第二個參與人即老板比他的對手（工人）處于更有利的地位。事實上，工人不能阻止老板獲得 10美元的利潤，雖然他可能采用不工作來作為威脅，但是以不工作來作為威脅并不可信，因此他只有繼續(xù)工作以領(lǐng)取能維持他生存的薪水。 毫無疑問，上例的提出確實表明了納什談判解的不足。因此如何對具有威脅的考慮，來修正納什的解法是我們在本節(jié)需要考慮的問題。 S2R 10uv?? 0?? ?? vu 5? vu 有效威脅的兩個條件 一般說來，必須滿足以下兩個條件， 威脅 才算是有效的： 第一 、它必須是可信的； 第二 、它能夠改善威脅者（對被威脅者）的地位。 例如，將殺人作為威脅比將生氣作為威脅更有效。因為殺手對于受害者來說地位當然提高了，然而生氣卻做不到這一點。另一方面，將毀滅整個地球作為威脅雖然能夠改善威脅者的地位，但它是不可信的，因此它不是有效的 納什建議進行討價還價的三個步驟 1． 參與人 1宣布一個威脅策略； 2． 參與人 2在沒有考慮到的情況下，宣布一個威脅策略； 3． 參與人 1和 2 開始討價還價談判。如果他們能夠達成一致，則收益按照一致的意見分配（此時不再考慮威脅）。如果不能達成一致，則各自使用他們的威脅策略 和 。兩個參與人的支付由這種方式?jīng)Q定。 自然地，我們要關(guān)心這些威脅是如何起作用的。如果一個參與人宣布了一個很瘋狂的威脅，他會發(fā)現(xiàn)自己不愿意在以后將這個威脅實現(xiàn)（比如說殺人）。當然，不管參與人愿不愿意將威脅實現(xiàn)，我們都假定參與人的行為在一定程度上與他的威脅有關(guān)的。 xy 含威脅的納什討價還價解求解思路 我們將關(guān)心局中人的威脅策略如何產(chǎn)生，以及在具有威脅的情況下，納什談判解是什么？下面，我們僅針對 2人雙矩陣非合作博弈討論問題。 在一個 2人雙矩陣非合作博弈中，局中人 1和局中人 2的收益矩陣分別為 和 。若局中人 1采用威脅策略 ，局中人 2采用威脅策略 ，則威脅值 和 可作為納什談判過程中的初始參考點 和 。于是含威脅的納什討價還價解 為最大化