【正文】 ????????2122211211pp llllll??L???????? ??????cossinsincosT ?????????????????????????????*2*1*12*11212112111211*cossi nsi ncoscossi nsi ncospppppp llllllllllll????????????LTL81 當(dāng)公共因子個數(shù)大于 2時，可以逐次對每兩個進(jìn)行上述的旋轉(zhuǎn)，如果存在 m個公共因子，則需要進(jìn)行 次變換，這樣就完成一輪旋轉(zhuǎn)。如果旋轉(zhuǎn)完畢，并不能認(rèn)為已經(jīng)達(dá)到預(yù)期的效果，可以在第一輪所得結(jié)果基礎(chǔ)上繼續(xù)上述旋轉(zhuǎn)過程，可得第二輪旋轉(zhuǎn)結(jié)果。每一次旋轉(zhuǎn)以后，所得載荷矩陣各列平方的相對方差之和總會比上一次有所增加，而另一方面由于載荷矩陣每一個元素的絕對值均不大于 1，因此，其方差最終一定會收斂于某一個極限。實際中，通常經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)以后，如果總方差改變不大，則可以停止旋轉(zhuǎn)。 82 因子旋轉(zhuǎn)的操作 為了使得因子具有實際的意義，可以對初始回歸的結(jié)果進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)。在 EViews中簡單地點擊因子對象工具條中的 Rotate按鈕，或者選擇 Proc/Rotate...，都可以調(diào)用Factor Rotation對話框，如圖 。 圖 因子旋轉(zhuǎn)設(shè)定對話框 83 Type和 Method下拉菜單可用于設(shè)定基本的選轉(zhuǎn)類型和方法，其中的一些方法，可能需要輸入一些參數(shù)值。默認(rèn)的，在旋轉(zhuǎn)前， EViews不列出載荷權(quán)重。為了標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，可以點擊 Row weight下拉菜單選擇 Kaiser或者 CuretonMulaik。 另外，如果沒有旋轉(zhuǎn)載荷， EViews自動使用單位矩陣作為旋轉(zhuǎn)迭代的初值。也可以在 Starting values下拉菜單中選擇合適的方式，如 Random或 Userspecified。如果已經(jīng)完成一次旋轉(zhuǎn)，也可以使用已經(jīng)存在的結(jié)果作為下一次旋轉(zhuǎn)的初值。 設(shè)置完畢單擊 OK即可。 EViews的估計結(jié)果將列出旋轉(zhuǎn)的載荷、因子相關(guān)關(guān)系、因子旋轉(zhuǎn)矩陣、旋轉(zhuǎn)后的載荷矩陣和旋轉(zhuǎn)目標(biāo)函數(shù)值。 EViews會把結(jié)果保存在因子對象中，從因子對象中選擇 View/Rotation Results，可以隨時查看旋轉(zhuǎn)結(jié)果的輸出表。 84 例 紐約股票交易所股票收益率的因子分析（ 2） 從因子旋轉(zhuǎn)后結(jié)果可以看出石油股票（德士古和?？松┰谝蜃?F?1有較高的載荷，而化學(xué)股票（阿萊德化學(xué)、杜邦、聯(lián)合碳化物）在因子 F?2有較高的載荷。進(jìn)一步表明正交化的因子旋轉(zhuǎn)將行業(yè)區(qū)分開，因子 F?1 代表引起石油股票波動的獨特的經(jīng)濟(jì)力量，因子 F?2 代表引起化學(xué)股票波動的獨特的經(jīng)濟(jì)力量。在例 一般市場因子的 F1被破壞了。 例 影響我國物價波動多因素的因子分析（ 2） 本例對例 進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，希望得到更好的結(jié)果，本例進(jìn)行了兩次旋轉(zhuǎn)以后，總方差變化不大，結(jié)束旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)后的公共因子記為 （ i=1， 2， … ， 4），相應(yīng)的載荷記為 ，其結(jié)果如表 。 iF~ ijl~指標(biāo)名稱 F1載荷 li1 F2載荷 li2 F3載荷 li3 F4載荷 li4 CPI 居民消費價格指數(shù) (CPI) 成本 因素 原材料、燃料、動力購進(jìn)價格指數(shù) 工業(yè)品出廠價格指數(shù) 農(nóng)副產(chǎn)品類購進(jìn)價格指數(shù) 商品房銷售價格指數(shù) 工業(yè)企業(yè)成本費用利潤率 需求 因素 全部從業(yè)人員人均報酬增速 城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入增速 貨幣 因素 外匯儲備同比增速 貨幣乘數(shù) M2增速 GDP增長率 國際 因素 G7工業(yè)品出廠價格指數(shù) G7支出法 GDP同比增速 股價指數(shù) 上證收盤綜合指數(shù)同比增速 表 影響物價波動多因素的因子分析旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果 從表 表的意義更明確：代表成本因素的各上游價格指數(shù)和 G7_ PPI的變化在公因子 F1上有較高的載荷，可稱 F1為成本因子，同時也表明我國價格的變化，尤其是原材料類價格的變化和國際 PPI的變化有較高的相關(guān)性；而代表居民需求增長的兩個收入變量在公因子 F3上有最高的載荷，可稱 F3為需求因子；而表示包括 GDP增長率在內(nèi)的貨幣因素在公因子 F2上的載荷都是最大的，可稱 F2為貨幣因子；而代表財富變化的股票指數(shù)和表示國際經(jīng)濟(jì)形勢的 G7_GDP指數(shù)同比增速在公因子 F4上載荷最大，稱為財富因子和國際經(jīng)濟(jì)因子。通過觀察旋轉(zhuǎn)后的因子載荷，可以發(fā)現(xiàn)各因子所代表實際意義更明確。 本例主要考察物價波動，通過觀察可以發(fā)現(xiàn) CPI在各公因子的載荷分別為 、 、 ，可見代表成本和需求變動的因子和對 CPI變化的解釋能力是最強(qiáng)。 88 因子得分 前面介紹了如何獲得公共因子和估計因子載荷矩陣，但有時候需要把公共因子表示成原始變量的線性組合，對每個樣本計算公共因子的估計值，也就是求因子得分，因子得分可以作為進(jìn)一步分析的原始數(shù)據(jù)。例如：對學(xué)生的各科成績進(jìn)行分析，可發(fā)現(xiàn)依賴于兩個因子 ——全面智力和適應(yīng)開閉卷的能力，實際中我們不僅僅希望歸納出影響學(xué)生成績的因子，而且希望知道每一個學(xué)生對這兩種能力作出什么評價，或者說他在這兩個公共因子上應(yīng)打多少分。這就需要求解個體在公共因子上的得分。下面介紹兩種常用的因子得分估計方法。 89 1．加權(quán)最小二乘法 對于因子模型 （ ） 因子載荷矩陣 L及特殊因子方差陣 ?是已知的，可以假定特殊因子 ? 是誤差。如果 var(?i) = ?i 對于 i = 1, 2, …, p 不全相等，巴特萊特（ Bartlett， 1937）建議采用加權(quán)最小二乘法。采用誤差方差的倒數(shù)作為權(quán)系數(shù)，則誤差平方的加權(quán)和可以表示為： （ ） εLFZ ?? )()( 1112LFZΨLFZεΨεε ?????? ????pi ii?90 選擇 F的估計值使得式（ ）最小化，其解為： （ ） 當(dāng)采用極大似然法求解因子載荷矩陣時，需要滿足唯一性條件： L?? L是對角矩陣。若對原載荷矩陣改用旋轉(zhuǎn)后的載荷矩陣 L*=LT，則相應(yīng)的因子得分可表示為 。 如果采用主成分分析方法估計因子載荷矩陣，習(xí)慣上采用未加權(quán)的最小二乘過程生成因子得分，則因子得分為 （ ） ZΨLLΨLF 111 )(? ??? ??? FTF ?? * ?? ZLLLF ???? 1)(?91 2．回歸法 仍然考慮因子模型（ ） （ ） 假設(shè)原始變量已標(biāo)準(zhǔn)化。在因子模型中也可以反過來將公共因子表示為變量的線性組合，建立公因子 F 對變量 Z 的回歸方程： （ ） 令 則 B 是需要估計的回歸系數(shù)，但是 Fj 是不可觀測的。 εLFZ ?? ),1(2211 mjZbZbZb jpjpjjj ?? ?????? ????????????????mpmmppbbbbbbbbb??????212222111211B92 由因子載荷的意義有： （ ） 即 則有 ，其中 R為樣本相關(guān)矩陣，于是公共因子的估計為： （ ） 由樣本計算相關(guān)矩陣，并估計因子載荷矩陣即可求得因子得分的估計值。 )2,1(,)]([)(22112211pirbrbrbZbZbZbZEFZElipjpijijpjpjjijiij???????????? ),2,1(1111111mjlrbrblrbrbpjppjppjjpjpj???????????????????1??? RLB ZRLBZF 1? ????93 3．因子得分的評價 由于因子的不確定性，使得大量學(xué)者關(guān)注模型估計結(jié)果評價的問題。 Gorsuch (1983) 和 Grice(2023) 給出了關(guān)于下述測量方法的詳細(xì)討論。 （ 1）不確定性指標(biāo)（ Indeterminacy Indices） 度量不確定性的指標(biāo)可以分為截然不同的兩類。第一類指標(biāo)測量每一個因子和被觀測變量之間的多元相關(guān)系數(shù) r和它的平方 r2。多元相關(guān)系數(shù)的平方是矩陣 P = ? 1L的對角線元素，其中 ? 可觀測的離差矩陣。這些指標(biāo)的取值在 0和 1之間，數(shù)值越大越好。 第二類不確定性指標(biāo)給出可供選擇的因子得分之間的最小相關(guān)系數(shù) r*， r* = 2r21。最小相關(guān)系數(shù)取值范圍為 1 到1。較大的正值是比較滿意，因為它表明不同的得分集合將會產(chǎn)生相似的結(jié)果。 94 （ 2）有效性、單一性和相關(guān)精確性指標(biāo) 定義 Rff 作為總體因子相關(guān)矩陣， Rss 作為因子得分相關(guān)矩陣， Rfs作為已知因子與被估計得分的相關(guān)矩陣。一般來說，希望這些矩陣是相似的。 Rfs 的對角元素被稱為有效性系數(shù)，這些系數(shù)在 1到 1之間，較高的正值是理想的。有效性系數(shù)和多元相關(guān)系數(shù) r存在差異，表明計算得到的因子得分的確定性較低。一般獲得的有效性值至少為 ，如果希望使用得分序列作為替代變量，則有效系數(shù)需要大于 。 Rfs 的非對角線元素稱為單一性，用于測量被估計的因子得分與其他因子的相關(guān)程度。 95 1．顯示形式 為了獲得得分系數(shù)和得分序列，在因子對象的工具條中單擊 Score，或者從因子對象菜單選擇 View/Scores...，可得到因子得分設(shè)定對話框。 計算因子得分 圖 因子得分設(shè)定對話框 96 在圖 （ Display）： （ 1） Table summary，以表的形式顯示因子得分系數(shù)、不確定性指標(biāo)、有效系數(shù)和單一性測量； （ 2） Spreadsheet，因子得分值表； （ 3） Line graph，得分線性圖； （ 4） Scatterplot，成對因子的得分散點圖； （ 5） Biplot graph，成對因子得分和載荷的雙標(biāo)圖。 97 2．得分系數(shù) 估計得分，需要先設(shè)定一個計算得分系數(shù)的方法，確定是使用精確系數(shù)（ Exact coefficients）、還是粗略系數(shù)（ Coarse coefficients）、或者基于因子載荷計算的粗略系數(shù)（ Coarse loadings）。默認(rèn)的， EViews采用精確系數(shù)估計得分。根據(jù)相應(yīng)的選擇，還需要提供其他的信息： （ 1）如果選擇 Exact coefficients或者 Coarse coefficients，將提示選擇估計方法（ Coef Method），在其下拉菜單中可以選擇：回歸 (Thurst one’s regression)、Bartlett加權(quán)最小二乘 (Bartlett weighted least squares)等方法。 （ 2）如果選擇 Coarse coefficients或者 Coarse loadings， EViews將提示 coarse方法和中止值。 98 3．得分序列 在計算得分時，需要給定可觀測變量的集合以及相應(yīng)的樣本，得分的計算將基于給定樣本范圍內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)化后觀測值的線性組合得到。 EViews自動在 Observables編輯框中填入用于計算的原始變量的名字，需要選擇標(biāo)準(zhǔn)化時采用估計得到的矩還是原觀測值的矩（均值）。特殊的，計算得分和估計時采用相同的數(shù)據(jù)，則兩種情況的矩是相同的。因此，如果計算得分的觀