【導(dǎo)讀】2017年河南省鄭州市、平頂山市、濮陽市高考數(shù)學二模試卷（理。選項中，只有一項是符合題目要求的）。1．已知復(fù)數(shù)f=in，則集合{z|z=f}中元素的個數(shù)是（）。A．4B．3C．2D．無數(shù)。2．設(shè)x=，y=log32，z=cos2，則（）。A．z＜y＜xB．z＜x＜yC．y＜z＜xD．x＜z＜y. +的結(jié)果，如圖程序框圖中的判斷框內(nèi)可以填（）。A．n＜2017B．n≤2017C．n＞2017D．n≥2017. 4．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）。5．下列命題是真命題的是（）。D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要條件。有兩個相異零點的概率是（）。項和，則S2017的值為（）。8．已知實數(shù)x，y滿足，則z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）。10．將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為（）。13．正方體的8個頂點中，有4個恰是正四面體的頂點，則正方體與正四面體的。為樣本，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得到如圖頻率分布直方圖．

　　

【正文】 ，即可求得 a 的取值范圍； （ ii）由題意可知： x1， x2，分別是方程 lnx﹣ ax=0 的兩個根，則只需證明 lnt＞， t＞ 1，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得 g（ t） ＞ g（ 1） =0，即可證明 lnt＞ ，成立，則 x1?x2＞ e2． 【解答】 解：（ Ⅰ ） f（ x） =xlnx﹣ x， x＞ 0，求導(dǎo) f′（ x） =lnx，令 f′（ x） =0，解得： x=1， 則當 f′（ x） ＞ 0，解得： x＞ 1，當 f′（ x） ＜ 0 時，解得： 0＜ x＜ 1， ∴ f（ x）單調(diào)遞增區(qū)間為（ 1， +∞ ），單調(diào)遞減區(qū)間為（ 0， 1）， 由 g（ x） = x2﹣ ax（ a∈ R）在（ 1， +∞ ）單調(diào)遞增，在（ 0， 1）單調(diào)遞減， 則 g（ x）開口向上，對稱軸 x=1， 則 a＞ 0， ∴ a 的取值范圍（ 0， +∞ ）； （ Ⅱ ） （ ⅰ ）依題意，函數(shù) h（ x） =f（ x）﹣ g（ x）﹣ ax=xlnx﹣ x﹣ x2的 定義域為（ 0， +∞ ）， 求導(dǎo) h′（ x） =lnx﹣ ax， 則方程 h′（ x） =0 在（ 0， +∞ ）有兩個不同根， 即方程 lnx﹣ ax=0 在（ 0， +∞ ）有兩個不同根． （解法一）轉(zhuǎn)化為，函數(shù) y=lnx 與函數(shù) y=ax 的圖象在（ 0， +∞ ）上有兩個不同 交點，如圖． 可見，若令過原點且切于函數(shù) y=lnx 圖象的直線斜率為 k， 只須 0＜ a＜ k． …6 分 令切點 A（ x0， lnx0），則 k=y′ = ，又 k= ， = ， 解得， x0=1，于是 k= ， ∴ 0＜ a＜ ； …8 分 解法二：令 g（ x） =lnx﹣ ax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù) g（ x）有兩個不同零點， 求導(dǎo) g′（ x） = ﹣ ax= （ x＞ 0） 若 a≤ 0，可見 g′（ x）在（ 0， +∞ ）上恒成立， g（ x）在（ 0， +∞ ）單調(diào)增， 此時 g（ x）不可能有兩個不同零點． …5 分 若 a＞ 0，在 0＜ x＜ 時， g′（ x） ＞ 0，在 x＞ 時， g′（ x） ＜ 0， ∴ g（ x）在（ 0， ）上單調(diào)增，在（ ， +∞ ）上單調(diào)減， 從而 g（ x）的極大值， g（ x） 極大值 =g（ ） =ln ﹣ 1， …6 分 又在 x→0 時， g（ x） → ﹣ ∞ ，在 x→ +∞ 時， g（ x） → ﹣ ∞ ，于是只須： g（ x） 極大值 ＞ 0，即 ln ﹣ 1＞ 0， ∴ 0＜ a＜ ， …7 分 綜上所述， 0＜ a＜ ； …8 分 （ ⅱ ）證明：由（ i）可知 x1， x2，分別是方程 lnx﹣ ax=0 的兩個根， 即 lnx1=ax1， lnx2=ax2， 不妨設(shè) x1＞ x2，作差得， ln =a（ x1﹣ x2），即 a= ， 原不等式 x1?x2＞ e2等價于 lnx1+lnx2＞ 2，則 a（ x1+x2） ＞ 2， ln ＞ ， 令 =t，則 t＞ 1， ln ＞ ，則 lnt＞ ， …10 分 設(shè) g（ t） =lnt﹣ ， t＞ 1， g′（ t） = ＞ 0， ∴ 函數(shù) g（ t）在（ 0， +∞ ）上單調(diào)遞增， ∴ g（ t） ＞ g（ 1） =0， 即不等式 lnt＞ ，成立， 故所證不等式 x1?x2＞ e2成立． 【點評】 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，分析法證明不等式成立，屬于中檔題． 四、請考生在第 2 23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時，用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑． 選修 44：坐標系與參數(shù)方程 22．（ 10 分）（ 2017?濮陽二模）已知直線 l 的極坐標方程是 ρsin（ θ﹣ ） =0，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，曲線 C 的參數(shù)方程是 （ α為參數(shù)）． （ Ⅰ ）求直線 l 被曲線 C 截得的弦長； （ Ⅱ ）從極點作曲線 C 的弦，求各弦中點軌跡的極坐標方程． 【考點】 簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】 （ I）直線 l 的極坐標方程是 ρsin（ θ﹣ ） =0，展開可得： =0，化為直角坐標方程． 曲線 C 的參數(shù)方程是 （ α為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù) α可得普通方程，求出圓心 C 到直線 l 的距離 d， 可得直線 l 被曲線 C 截得的弦長=2 ． （ II）設(shè) Q 圓 C 上的任意一點， P（ x， y）為線段 OQ 的中點，則 Q（ 2x， 2y），代入圓 C 的方程可得各弦中點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可． 【解答】 解：（ I）直線 l 的極坐標方程是 ρsin（ θ﹣ ） =0，展開可得： =0，化為： y﹣ x=0． 曲線 C 的參數(shù)方程是 （ α為參數(shù)），消去參數(shù) α可得： x2+（ y﹣ 2）2=4，圓心 C（ 0， 2），半徑 r=2． ∴ 圓心 C 到直線 l 的距離 d= =1， ∴ 直線 l 被曲線 C 截得的弦長 =2 =2 =2 ． （ II）設(shè) Q 圓 C 上的任意一點， P（ x， y）為線段 OQ 的中點，則 Q（ 2x， 2y）， 代入圓 C 的方程可得：（ 2x） 2+（ 2y﹣ 2） 2=4，化為： x2+y2﹣ 2y﹣ 3=0， 可得 ρ2﹣ 2ρcosθ﹣ 3=0，即為各弦中點軌跡的極坐標方程． 【點評】 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、弦長公式、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 選修 45：不等式選講 23．（ 2017?濮陽二模）已知函數(shù) f（ x） =|2x+1|， g（ x） =|x|+a （ Ⅰ ）當 a=0 時，解不等式 f（ x） ≥ g（ x）； （ Ⅱ ）若存在 x∈ R，使得 f（ x） ≤ g（ x）成立，求實數(shù) a 的取值范圍． 【考點】 絕對值不等式的解法；帶絕對值的函數(shù)． 【分析】 （ Ⅰ ）當 a=0 時，由不等式可得 |2x+1|≥ |x|，兩邊平方整理得 3x2+4x+1≥ 0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集． （ Ⅱ ）由 f（ x） ≤ g（ x） 得 a≥ |2x+1|﹣ |x|，令 h（ x） =|2x+1|﹣ |x|，則 h （ x） = ，求得 h（ x）的最小值，即可得到從而所求實數(shù) a的范圍． 【解答】 解：（ Ⅰ ）當 a=0 時，由 f（ x） ≥ g（ x）得 |2x+1|≥ |x|，兩邊平方整理得 3x2+4x+1≥ 0， 解得 x≤ ﹣ 1 或 x≥ ﹣ ， ∴ 原不等式的解集為 （﹣ ∞ ，﹣ 1]∪ [﹣ ， +∞ ）． （ Ⅱ ）由 f（ x） ≤ g（ x） 得 a≥ |2x+1|﹣ |x|，令 h（ x） =|2x+1|﹣ |x|，即 h（ x） = ， 故 h（ x） min=h（﹣ ） =﹣ ，故可得到所求實數(shù) a 的范圍為 [﹣ ， +∞ ）． 【點評】 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．