【正文】 0?？紤]下列期限結(jié)構(gòu)：a） 如果投資者認為明年的期限結(jié)構(gòu)與現(xiàn)在一樣， 1年期零息債券與 4年期零息債券哪個預期 1年期收益率會更高？b） 如果你認為預期理論正確，又會如何？ 名稱 年到期收益率(%)名稱 年到期收益率(%)1年期零息債券 3年期零息債券 2年期零息債券 4年期零息債券 1 1年期零息債券的到期收益率為 5%，兩年期零息債券為 6%。息票利率為 12%（每年付息）的兩年期債券的到期收益率為%。投資者是否有套利機會？該套利行為的利潤是多少？1假定 1年期零息債券面值 100元，現(xiàn)價 ，而兩年期零息債券現(xiàn)價 元。你正考慮購買兩年期每年付息的債券，面值 100元，息票利率 12%。a） 兩年期零息債券的到期收益率是多少？兩年期有息債券呢？b） 第二年的遠期利率是多少？ c） 如果預期理論成立，該有息債券的第 1年末的預期價格和預期持有期收益率各是多少？d） 如果投資者認為流動性偏好理論成立，則預期收益率是升高還是降低？ 第 4章 久期與凸度n 債券價格的利率敏感性n 債券的久期n 債券的凸度 n 債券價格的利率敏感性 思考：如何從經(jīng)濟學意義上解釋債券價格與收益之間存在反向變動關(guān)系？ 債券定價法則 關(guān)于債券價格的利率敏感性，以下 6條法則已經(jīng)得到證明： 1）債券價格與收益呈反向變動關(guān)系：當收益上升時，債券價格下降；當收益下降時，債券價格上升?！　　?2）債券收益變化引起的價格變化具有不對稱性，即由收益上升引起的價格下降幅度低于由收益的等規(guī)模（相同的基本點）下降引起的價格上升的幅度。 3）長期債券比短期債券具有更強的利率敏感性，即對于等規(guī)模的收益變動，長期債券價格的變動幅度大于短期債券。 4）當?shù)狡谄谙拊黾訒r，價格對收益變化的敏感性以一下降的比率增加，即債券價格的利率敏感性的增加低于相應的債券期限的增加。 5）債券的息票利率越高 /低，由收益變動引起的價格變動的百分比越小 /大。也就是說，息票利率較高的債券，其價格的利率敏感性低于息票利率較低的債券。 6）當債券的初始到期收益率較低時，價格的利率敏感性較高。 圖 41中四種債券的收益 價格關(guān)系曲線可以說明上述 6條法則。 影響利率敏感性的因素 上述 6條法則中的后面 4條指出了影響利率敏感性的三個主要因素，即到期期限、息票利率和到期收益率。從表 41中的數(shù)據(jù)可以看出這三個因素是如何影響利率敏感性的。同時，第 1條和第 2條法則也能夠由表中的數(shù)據(jù)得到體現(xiàn)。 表 41 9種債券的價格息票利率（％）到期期限（年）到期收益率（％） 5 15 30 5 15 30 5 15 30 n 債券的久期 久期的含義 久期也稱為麥考利期限，或有效期限，它是債券的每次息票利息或本金支付時間的加權(quán)平均，權(quán)重則是每一時點的現(xiàn)金流的現(xiàn)值在總現(xiàn)值（即債券價格）中所占的比例。一張 T年期債券， t時刻的現(xiàn)金支付為 Ct（ 1≤t≤T）， 與債券的風險程度相適應的收益率為 y。 則債券的價格為（ 41）債券久期為 （ 42） 例、息票利率為 8％和零息票兩種債券。表 42給出了這兩種債券久期的計算。結(jié)果表明，零息票債券的久期就等于它的到期期限，而息票債券的久期比它的到期期限短。F思考：結(jié)合上例，如何來理解久期與到期期限的區(qū)別？ 表 42 兩種債券的久期計算名稱 (1)至支付的時間 /年(2)支付 /美元(3)半年 5%折現(xiàn)支付 /美元(4)權(quán)重(5)(1)(4)債券 A8％ 債券 40 40 40 1040 總計 債券 B零息票債券 ～ 0 0 0 0 1000 2總計 2 利用久期測度利率敏感性 將式（ 41）看作 P與 1+y之間的函數(shù)，可以有對于 P和 1+y的微小變化，有（ 43）這表明，債券價格的利率敏感性與久期成比例。 令 D*=D/(1+y)， Δ(1+y)=Δy， 式（ 43）可以寫為（ 43’）通常定義 D*=D/(1+y)為 “修正久期 ”。式（43’）表明，債券價格變化的百分比恰好等于修正久期與債券到期收益率變化的乘積。因此，修正久期可以用來測度債券在利率變化時的風險暴露程度。F思考：在上面的例子中， 2年期息票債券的久期為 。如果有期限為 零息票債券，兩者的利率敏感性是否相同？ 什么決定久期 影響利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和到期收益率。以下的 8個法則歸納了久期與這三個因素之間的關(guān)系。圖 42表明了這些法則。 久期法則 1：零息票債券的久期等于它的到期時間。 久期法則 2：到期日相同時，債券的久期隨著息票利率的降低而延長。 久期法則 3：當息票利率相同時，債券的久期通常隨著債券到期期限的增加而增加，但久期的增加速度慢于到期期限的增加速度。 久期法則 4：在其他因素都不變，債券的到期收益率較低時，息票債券的久期較長。 久期法則 5：無限期債券的久期 為 久期法則 6：穩(wěn)定年金的久期由下式給出： 這里 ， T為支付次數(shù)， y是每個支付期的年金收益率。 久期法則 7：息票債券的久期等于 這里 ， c為每個支付期的息票利率， T為支付次數(shù)， y是每個支付期的年金收益率。 久期法則 8：由于息票債券以面值出售，法則 7可簡化為 n 債券的凸度 久期的局限性根據(jù)式（ 43’），債券價格變化的百分比作為到期收益率變化的函數(shù)，其圖形是一條斜率為 D*的直線。因此，當債券收益變化時，可以這條直線對新產(chǎn)生的價格進行估計。例如，圖 43中的債券 A為 30年期、 8％息票利率、初始到期收益率 8％的債券，可知其初始修正久期為 。所以，當收益上升1個基點時，債券價格將下跌 ＝，即 ％。也就是說，根據(jù)修正久期，可以估計債券價格將跌至 。而根據(jù)式（ 21）可以計算出此時的價格為。 然而，從圖 41以及關(guān)于債券價格的利率敏感性的 6條法則可以看到，債券價格變化的百分比與收益變化之間的關(guān)系并不是線性的，這使得對于債券收益的較大變化，利用久期對利率敏感性的測度將產(chǎn)生明顯的誤差。圖 43表明了這一點。債券 A和債券 B在初始處有相同的久期，相應的兩條曲線在這一點相切，同時也與久期法則預期的價格變化百分比的直線相切于該點。這說明，對于債券收益的微小變化，久期可以給出利率敏感性的精確測度。但隨著收益變化程度的增加，對應于債券 A和債券B的兩條曲線與久期近似直線之間的 “間隔 ”不斷擴大，表明久期法則越來越不準確。 從圖 43還可以看到，久期近似值總是在債券實際價格的下方。也就是說，當收益率下降時，它低估債券價格的增長程度，當收益率上升時，它高估債券價格的下跌程度。債券 A和債券 B在初始處有相同的久期，但它們只是對較小的收益變化的敏感程度相同。對于較大的收益變化，債券 A比債券 B有更大的價格增長或更小的價格下跌。這是因為債券 A比債券 B具有更大的凸度。 債券凸度的計算價格 收益曲線的曲率就稱為債券的凸度（ convexity）。 凸度意味著債券的價格 收益曲線的斜率隨著收益率而變化：在較高收益率時變得平緩，即斜率是較小的負值；在較低收益率時變得陡峭，即斜率是較大的負值。因此，凸度實際上是價格 收益曲線斜率的變化率。由式（ 43’）可以得可見， D*是價格 收益曲線的斜率，凸度等于 D*對 y的導數(shù) 求出 ，可得 付息周期數(shù)為 n，周期收益率為 y的債券的凸度計算公式如下：其中， Ct為 t時刻的現(xiàn)金支付。利用下面的公式可把分期限計算的凸度轉(zhuǎn)化為按年計算的凸度：其中 m為每年的付息次數(shù)。 對于零息票債券，有 考慮凸度的利率敏感性 考慮凸度后，式（ 43’）可以修正為：（ 44）由式（ 4