天津市紅橋區(qū)20xx屆高三一模數(shù)學(xué)理試題word版含解析-資料下載頁
2024-11-15 09:16本頁面
【導(dǎo)讀】1．集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，則（?5．α，β表示不重合的兩個平面，m，l表示不重合的兩條直線．若α∩β=m，l?β，則“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α且l∥β”的（）。7．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則?8．已知函數(shù)f=，若有三個不同的實數(shù)a，b，11．已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinA=2sinC，x∈（0，2），3x≤x3；④等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=3，則S7=21；（Ⅰ）求函數(shù)f的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）在該團的省內(nèi)游客中隨機采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機變量ξ，17．（13分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，（Ⅱ）求PD與平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一點F，使得平面DEF⊥平面PCE？若函數(shù)f有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范圍；當S=15時，不滿足進入循環(huán)的條件，
【正文】 2，可得 a2q=a2（ q2﹣ 2）， ∴ q2﹣ q﹣ 2=0，解得 q=2． ∴ a1+a2=2a2﹣ 2，即 a1=a2﹣ 2=2a1﹣ 2，解得 a1=2． ∴ an=2n． （ II） n 為奇數(shù)時， bn= = = ． n 為偶數(shù)時， bn= ． ∴ T2n= + +… + + +… + = + +… + = + +… + ． 設(shè) A= +… + ， 則 A= +… + + ， ∴ A= +… + ﹣ = ﹣ ， ∴ A= ﹣ ． ∴ T2n= + ﹣ ． 【點評】 本題考查了 “錯位相減法 ”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、分類討論方法、 “裂項求和 ”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 19．（ 14 分）（ 2017?紅橋區(qū)一模）已知函數(shù) f（ x） =x﹣ ﹣ 2lnx， a∈ R． （ 1）討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ 2）若函數(shù) f（ x）有兩個極值點 x1， x2，且 x1＜ x2，求 a 的取值范圍； （ 3）在（ 2）的條件下，證明： f（ x2） ＜ x2﹣ 1． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的定義域為（ 0， +∞ ），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令 f′（ x） =0， ①當 △≤ 0， ② 當 △＞ 0， a＜ 1 時，若 a≤ 0，若 a＞ 0，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號， 得到函數(shù)的單調(diào)性．當 0＜ a＜ 1 時， （ 2）求出函數(shù) f（ x）有兩個極值點 x1， x2，等價于方程 x2﹣ 2x+a=0 在（ 0， +∞ ），直接推出結(jié)果． （ 3）通過（ 1），（ 2），推出 0＜ a＜ 1，構(gòu)造新函數(shù) g（ t） =t﹣ 2lnt﹣ 1， 1＜ t＜ 2，利用新函數(shù)的單調(diào)性證明 求解即可． 【解答】 （本小題滿分 14 分） （ 1 ） 解 ： 函 數(shù) 的 定 義 域 為 （ 0 ， + ∞ ）， … （ 1 分） 令 f′（ x） =0，得 x2﹣ 2x+a=0，其判別式 △ =4﹣ 4a， ① 當 △≤ 0，即 a≥ 1 時， x2﹣ 2x+a≥ 0， f′（ x） ≥ 0，此時， f（ x）在（ 0， +∞ ）上單 調(diào)遞增； … （ 2 分） ② 當 △＞ 0，即 a＜ 1時，方程 x2﹣ 2x+a=0的兩根為 ， ， …（ 3 分） 若 a≤ 0，則 x1≤ 0，則 x∈ （ 0， x2）時， f′（ x） ＜ 0， x∈ （ x2， +∞ ）時， f′（ x）＞ 0， 此時， f（ x）在（ 0， x2）上單調(diào)遞減，在（ x2， +∞ ）上單調(diào)遞增； … （ 4 分） 若 a＞ 0，則 x1＞ 0，則 x∈ （ 0， x1）時， f′（ x） ＞ 0， x∈ （ x1， x2）時， f′（ x）＜ 0， x∈ （ x2， +∞ ）時， f′（ x） ＞ 0， 此時， f（ x）在（ 0， x1）上單調(diào)遞增，在（ x1， x2）上單調(diào)遞減，在（ x2， +∞ ）上單調(diào)遞增． … 綜上所述，當 a≤ 0 時，函數(shù) f（ x）在（ 0， x2）上單調(diào)遞減，在（ x2， +∞ ）上單調(diào)遞增； 當 0＜ a＜ 1 時，函數(shù) f（ x）在（ 0， x1）上單調(diào)遞增，在（ x1， x2）上單調(diào)遞減，在（ x2， +∞ ）上單調(diào)遞增； 當 a≥ 1 時，函數(shù) f（ x）在（ 0， +∞ ）上單調(diào)遞增． … （ 6 分） （ 2）解：由（ 1）可知，函數(shù) f（ x）有兩個極值點 x1， x2，等價于方程 x2﹣ 2x+a=0在（ 0， +∞ ）有 兩不等實根，故 0＜ a＜ 1． … （ 7 分） （ 3）證明：由（ 1），（ 2）得 0＜ a＜ 1， ，且 1＜ x2＜ 2， ． …（ 8 分） ， … （ 9 分） 令 g（ t） =t﹣ 2lnt﹣ 1， 1＜ t＜ 2， 則 ， … （ 10 分） 由于 1＜ t＜ 2，則 g′（ t） ＜ 0，故 g（ t）在（ 1， 2）上單調(diào)遞減． … （ 11 分） 故 g（ t） ＜ g（ 1） =1﹣ 2ln1﹣ 1=0． … （ 12 分） ∴ f（ x2）﹣ x2+1=g（ x2） ＜ 0． … （ 13 分） ∴ f（ x2） ＜ x2﹣ 1． … （ 14 分） 【點評】 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 20．（ 14 分）（ 2017?紅橋區(qū)一模）已知橢圓 E： （ a＞ b＞ 0）的離心率 ，且點 在橢圓 E 上． （ Ⅰ ）求橢 圓 E 的方程； （ Ⅱ ）直線 l與橢圓 E交于 A、 B兩點，且線段 AB的垂直平分線經(jīng)過點 ．求△ AOB（ O 為坐標原點）面積的最大值． 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】 （ Ⅰ ）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得 a， b，進而得到橢圓方程； （ Ⅱ ）設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），討論直線 AB 的斜率為 0 和不為 0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的最值的求法，可得面積的最大值． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由已知， e= = ， a2﹣ b2=c2， ∵ 點 在橢圓上， ∴ ，解得 a=2， b=1． ∴ 橢圓方程為 ； （ Ⅱ ）設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， ∵ AB 的垂直平分線過點 ， ∴ AB 的斜率 k 存在． 當直線 AB 的斜率 k=0 時， x1=﹣ x2， y1=y2， ∴ S△ AOB= ?2|x|?|y|=|x|? = ≤ ? =1， 當且僅當 x12=4﹣ x12，取得等號， ∴ 時，（ S△ AOB） max=1； 當直線 AB 的斜率 k≠ 0 時，設(shè) l： y=kx+m（ m≠ 0）． 消去 y 得：（ 1+4k2） x2+8kmx+4m2﹣ 4=0， 由 △＞ 0 可得 4k2+1＞ m2① ， x1+x2=﹣ ， x1x2= ，可得 ， ， ∴ AB 的中點為 ， 由直線的垂直關(guān)系有 ，化簡得 1+4k2=﹣ 6m② 由 ①② 得﹣ 6m＞ m2，解得﹣ 6＜ m＜ 0， 又 O（ 0， 0）到直線 y=kx+m的距離為 ， ， = ， ∵ ﹣ 6＜ m＜ 0， ∴ m=﹣ 3 時， ． 由 m=﹣ 3， ∴ 1+4k2=18，解得 ； 即 時，（ S△ AOB） max=1； 綜上：（ S△ AOB） max=1． 【點評】 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及基本 不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．
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