農(nóng)業(yè)調(diào)查問卷-資料下載頁
2025-01-01 03:08本頁面
【正文】 值我們不能全部得知，故真正的參數(shù)也不可能得知。可以知道的只是抽出的那組樣本。因此，在實(shí)際操作中，我們只是用樣本的估計(jì)量來代替參數(shù)本身，并用樣本方差 來代替總體方差 ，從而估計(jì)出估計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差。比如：若抽得樣本（ 2， 3， 7），則比起真正的標(biāo)準(zhǔn)誤差 ，近似標(biāo)準(zhǔn)誤差還不至于太令人失望。令人安慰的是，適當(dāng)加大樣本容量 n ， 我們將做得更好。 前面討論的主要是無偏估計(jì)的情況。對(duì)于有偏估計(jì)來說在一定的條件下，也有類似的結(jié)果。 設(shè) 是 的有偏估計(jì)，即 。稱 為 的偏倚，記為 。此時(shí)， 的均方誤差為 當(dāng) 是 的漸近無偏估計(jì)，并且上式右端第二項(xiàng)是比 更高階的無窮小，則仍可使用 的方差 和均方誤差 來近似地度量隨機(jī)誤差的大小。也就是說：當(dāng) n適當(dāng)大后，如果第二項(xiàng) 比起 來是小得可以忽略不計(jì)的量，那么可以用均方誤差 MSE近似地取代方差 。正態(tài)曲線的應(yīng)用與置信區(qū)間 如果隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為當(dāng) 時(shí)，該曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線，其概率密度為分布函數(shù)為則稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為 的正態(tài)分布。記為其中 是隨機(jī)變量的期望（平均值）， 為隨機(jī)變量的方差， 為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。 分布函數(shù)給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量小于實(shí)數(shù) t 的概率。一個(gè)隨機(jī)變量的變化規(guī)律用正泰曲線來描述，稱該隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記作： 一個(gè)隨機(jī)變量的變化如果受到許多因素的共同影響，但沒有一個(gè)或數(shù)個(gè)因素起主導(dǎo)作用，那么我們認(rèn)為這個(gè)變量服從正態(tài)分布。這個(gè)事實(shí)是由中心極限定理嚴(yán)格論證了的。一般地，當(dāng)這些變量所來自的母體具有非零有限方差 ，而 時(shí)，成立：也就是說，當(dāng) n 很大時(shí)， 的分布可以近似地用 代替。這就是在實(shí)際中我們把樣本平均數(shù)歸結(jié)為它具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的原因。 在抽樣調(diào)查中，情況稍有不同，但結(jié)論類似。主要原因是抽樣調(diào)查中總體是有限總體，大多數(shù)抽樣方式是隨機(jī)無放回，因而樣本的抽取不滿足獨(dú)立同分布，不能直接應(yīng)用上述中心極限定理。然而，當(dāng) N(總體總數(shù) )相當(dāng)大，抽樣樣本容量 n 相對(duì)較小時(shí)，隨機(jī)有放回與隨機(jī)無放回常有相類同的概率習(xí)性。二十世紀(jì)六七十年代，一些概率統(tǒng)計(jì)工作者，如 Hajek等人，對(duì)有限總體無放回抽樣的樣本平均數(shù)進(jìn)行了研究，得到如下與獨(dú)立同分布變量相同的結(jié)論： 定理 ：設(shè)有限總體單元為 ，從中隨機(jī)無放回抽取 n 個(gè)單元，記為 ，它們的平均數(shù)記為 ，總體平均數(shù)記作 ，方差記為 ，則當(dāng) 時(shí)，成立： 上述定理告訴我們，當(dāng) N,n,N－ n相當(dāng)大時(shí)，可將 的分布近似地用看作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由于 1/N比 1/n小的多，將 1/N忽略， 代替 S，上式和前式即為一致。 在抽樣調(diào)查理論中，樣本平均數(shù) 的近似正態(tài)性的重要作用之一，就是給出待估參數(shù) 和 的置信區(qū)間。前面講了總體平均數(shù) 的估計(jì) 以及標(biāo)準(zhǔn)誤差由此可以構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，用 代替 ，得下面區(qū)間：由于 是未知參數(shù)，是某一固定值。由于 和 是隨機(jī)樣本的函數(shù)，所以該區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間。它可能覆蓋 ，也可能沒有覆蓋 。由可知，上述區(qū)間覆蓋 這一隨機(jī)事件的概率為 68% ，稱此區(qū)間為待估參數(shù) 的置信度為 68% 的置信區(qū)間。其含義為如果我們做了 100次抽樣調(diào)查，每次得到一個(gè)這樣的區(qū)間，在這些區(qū)間中大約有 68個(gè)覆蓋了 。由可得 的置信水平為 95% 的置信區(qū)間：由可得 的置信水平為 % 的置信區(qū)間：一般地，由可得 的置信水平為 的置信區(qū)間：可查顯著性水平為 的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表獲得。 美中不足的是置信水平提高了，但是置信區(qū)間的寬度卻加大了。在實(shí)際操作中只能是選擇適當(dāng)?shù)闹眯潘?，或者加大樣本容? n 來彌補(bǔ)。比如，在上海市 1994年人口變動(dòng)抽樣調(diào)查中，常住人口總量 95% 置信水平的置信區(qū)間估計(jì)為： ，而估計(jì)的和實(shí)際登記的戶籍人口總數(shù)為1289萬，后一個(gè)數(shù)字是很精確的。但是，常住人口總量的置信區(qū)間下界為 —= 萬，比戶籍人口數(shù)小了近 20萬人。眾所周知，人口總量應(yīng)該比戶籍人口總量大，顯然，這里置信水平 95% 過大了，選為 90% 就可以了。例 某大學(xué)有 25000名注冊(cè)學(xué)生。某學(xué)期進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查以估計(jì)常住在學(xué)校的學(xué)生的百分?jǐn)?shù)。 1個(gè)月內(nèi)有 20天以上住在學(xué)校者為常住。抽取了一個(gè) 400名學(xué)生的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，結(jié)果是317名學(xué)生常住學(xué)校。試估計(jì)該學(xué)期該大學(xué)常住學(xué)校的學(xué)生的百分比，并求估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差以及 68% 的置信區(qū)間。 前面我們說過，比例的估計(jì)只是平均數(shù)估計(jì)的特例，只要引進(jìn) 0—1 指標(biāo)即可。此時(shí)總體比例數(shù) P= ，樣本比例數(shù)p= ，總體方差和樣本方差分別為解： 樣本百分比為它是總體百分比的估計(jì)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差置信水平為 68% 的置信區(qū)間：即約有 的學(xué)生常住學(xué)校習(xí)題 1調(diào)查某地區(qū) 25000戶家庭內(nèi)汽車和電視機(jī)的比例，抽取了 500戶家庭作為樣本，調(diào)查結(jié)果顯示在樣本中有 179戶家庭有汽車，有 498戶人家有電視機(jī)，請(qǐng)估計(jì) 25000戶家庭有電冰箱和電視機(jī)的比例及其 95% 的區(qū)間估計(jì)解：汽車： N=25000 n=500為擁有汽車比例的估計(jì)樣本方差估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為置信水平為 95％的置信區(qū)間為電視機(jī)： N=25000 n=500為擁有電視機(jī)比例的估計(jì)樣本方差估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為置信水平為 95％的置信區(qū)間為
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